Юнг и математика
gignomai процитировал интереснейший фрагмент из воспоминаний К.Г.Юнга.
"... математики я просто боялся. Учитель делал вид, что алгебра - вполне обычная вещь, которую следует принимать как нечто само собой разумеющееся, тогда как я не понимал даже, что такое числа. Они не были камнями, цветами или животными, они не были тем, что можно вообразить, они представляли собой просто количества - они получались при счете. Мое замешательство усиливалось от того, что эти количества не были обозначены буквами, как звуки, которые, по крайней мере, можно было слышать. Но, как ни странно, мои одноклассники оказались в состоянии справиться с этими вещами и даже находили их очевидными. Никто не мог объяснить мне, что такое число, и я даже не мог сформулировать вопрос. С ужасом обнаружил я, что никто не понимает моего затруднения. Нужно признать, что учитель пытался самым тщательным образом объяснить мне цель этой любопытной операции перевода количеств в звуки. Наконец до меня дошло, что целью была некая система сокращений, с помощью которой многие количества могут быть сведены к короткой формуле. Но это ни в коей мере не интересовало меня. Я считал, что весь процесс был совершенно произвольным. Почему числа должны выражаться буквами? С тем же успехом можно было выразить буквы через обиходные вещи, которые на эти буквы начинаются. a, b, с, х, у не были конкретными и говорили мне о сущности чисел не более, чем их предметные символы.
Но что больше всего выводило меня из себя, так это равенство: если а = b и b = с, то а = с. Если по определению а было чем-то отличным от b, оно не могло быть приравнено к b, не говоря уже о с. Когда вопрос касался эквивалентности, говорилось, что а = а и b = b и т. д. Это я мог понять, тогда как a = b казалось мне сплошной ложью и надувательством. Точно также меня раздражало, когда учитель, вопреки собственному определению, заявлял, что параллельные прямые сходятся в бесконечности. Это мне казалось фокусом, на который можно поймать только крестьянина, и я не мог и не желал иметь с этим ничего общего. Чувство интеллектуальной честности боролось во мне с этими замысловатыми противоречиями, которые навсегда сделали для меня невозможным понимание математики. Сейчас, будучи пожилым человеком, я безошибочно чувствую, что, если бы тогда я, как мои школьные товарищи, принял без борьбы утверждение, что а = b или что солнце равно луне, собака кошке и т. д., - математика дурачила бы меня до бесконечности. Каких размеров достиг бы обман, я стал понимать, только когда мне исполнилось восемьдесят четыре. Для меня на всю жизнь осталось загадкой, почему я не преуспел в математике, ведь, без сомнения, я мог хорошо считать. Невероятно, но основным препятствием стали соображения морального характера.
Уравнения становились понятными мне лишь после подстановки конкретных чисел вместо букв и перепроверки фактическим подсчетом. По мере того как мы продвигались в математике, я старался более или менее не отставать, списывая алгебраические формулы, значения которых не понимал, запоминая лишь, где находится та или иная комбинация букв на доске. Однако в какой-то момент я переставал успевать и не мог больше заменять буквы числами, потому что учитель время от времени произносил: "Здесь мы напишем такое-то выражение", и черкал несколько букв на доске. Я не имел представления, откуда он их взял и зачем это делал. Единственной причиной я считал то, что это давало ему возможность довести всю процедуру до конца и испытать удовлетворение. Из-за моего непонимания я был так запуган, что не смел задавать вопросы. Уроки математики превратились для меня в настоящий кошмар".
Тут я сразу вспомнил узбекских крестьян, мышление которых изучал А.Лурия (см. https://a-bugaev.livejournal.com/1162854.html).
Мы предъявили силлогизм: «Хлопок может расти только там, где жарко и сухо. В Англии холодно и сыро. Может ли там расти хлопок?»
«Я не знаю».
«Подумай об этом».
«Я был только в Кашгаре. Ничего больше я не знаю».
«Но на основании того, что я сказал, может ли хлопок там расти?»
«Если земля хорошая, хлопок будет там расти, но если там сыро и земля плохая, он расти не будет. Если там похоже на Кашгар, он там тоже будет расти. Конечно, если почва там рыхлая, он тоже будет там расти».
Затем силлогизм был повторен.
«Что ты можешь заключить из моих слов?»
«Если там холодно, он не будет расти. Если почва хорошая и рыхлая - будет».
«Но на какую мысль наводят мои слова?»
«Знаешь, мы - мусульмане, мы - кашгарцы. Мы никогда нигде не бывали и не знаем, жарко там или холодно».
Был предъявлен другой силлогизм.
«На Дальнем Севере, где снег, все медведи белые. Новая Земля - на Дальнем севере. Какого цвета там медведи?»
«Медведи бывают разные».
Силлогизм повторяется.
«Я не знаю. Я видел черного медведя. Других я никогда не видел. В каждой местности свои животные - если она белая, они будут белые, если желтая - они будут желтые».
«Но какие медведи водятся на Новой Земле?» «Мы всегда говорим только о том, что мы видим. Мы не говорим о том, чего мы не видели».
«Но на какую мысль наводят мои слова?»
Силлогизм снова повторяется.
«Ну, это вот на что похоже: наш царь не похож на вашего, а ваш не похож на нашего. На твои слова может ответить только кто-то, кто там был, а если человек там не был, он ничего не может сказать на твои слова».
«Но на основе моих слов: „На севере, где всегда снег, медведи - белые“, - можешь ты догадаться, какие медведи водятся на Новой Земле?»
«Если человеку шестьдесят или восемьдесят лет и он видел белого медведя и рассказал об этом - ему можно верить, но я никогда его не видел, и потому не могу сказать. Это мое последнее слово. Те, кто видел, могут сказать, а те, кто не видел, ничего сказать не могут».
Возражения Юнга по делу, он ведь не от глупости не понимал математические концепции и формализмы. Он прямо указывает именно на тот разрыв между конкретным и абстрактным уровнем мышления, который действительно существует и который требуется преодолеть, чтобы освоить оперирование абстрактными объектами. Преодоление этого разрыва, подъём на ступень абстрактного мышления не происходит сам собой, это требует усилий и специального обучения. Одним переход даётся легко, другие испытывают затруднения, кто-то вообще не способен. Особенно трудно в зрелом возрасте, как тем крестьянам у Лурии.
В отличие от крестьянина, Юнг учился в школе, ему доступно теоретическое мышление высокого уровня. Затруднение у него не с абстрактным вообще, а именно с математикой, с математическими объектами. Вот это и удивительно.
Конечно, затруднения в этом переходе могут быть вызваны не ограниченностью мышления, а, наоборот, слишком далёким охватом, своеобразной дальнозоркостью.
В комментарии к рассуждениям про работу Лурии я набросал некоторую схему развития мышления, в которой просматривается своеобразная цикличность, в том смысле, что следующий этап является преодолением слабостей и ограничений предыдущего (это смутно напоминает пресловутое "отрицание отрицания", но за формулировку я не держусь и аналогию прошу считать случайной).
Так вот, мысль в том, что переход на следующий уровень облегчается, если обучаемый сам чувствует эту самую ограниченность текущего уровня, т.е. как бы испытывает потребность взобраться на следующую ступеньку. Но если он обладает определённой дальнозоркостью и сразу видит (или чувствует) ограничение этой самой следующей ступеньки, это может стать препятствием для подъёма.
И в процитированных словах Юнга мне как раз видится что-то подобное. Может быть, он не принимает формализм не из-за непонимания правил оперирования символами, а потому, что видит ограничения и потенциальные противоречия в предлагаемой формальной игре?
"... математики я просто боялся. Учитель делал вид, что алгебра - вполне обычная вещь, которую следует принимать как нечто само собой разумеющееся, тогда как я не понимал даже, что такое числа. Они не были камнями, цветами или животными, они не были тем, что можно вообразить, они представляли собой просто количества - они получались при счете. Мое замешательство усиливалось от того, что эти количества не были обозначены буквами, как звуки, которые, по крайней мере, можно было слышать. Но, как ни странно, мои одноклассники оказались в состоянии справиться с этими вещами и даже находили их очевидными. Никто не мог объяснить мне, что такое число, и я даже не мог сформулировать вопрос. С ужасом обнаружил я, что никто не понимает моего затруднения. Нужно признать, что учитель пытался самым тщательным образом объяснить мне цель этой любопытной операции перевода количеств в звуки. Наконец до меня дошло, что целью была некая система сокращений, с помощью которой многие количества могут быть сведены к короткой формуле. Но это ни в коей мере не интересовало меня. Я считал, что весь процесс был совершенно произвольным. Почему числа должны выражаться буквами? С тем же успехом можно было выразить буквы через обиходные вещи, которые на эти буквы начинаются. a, b, с, х, у не были конкретными и говорили мне о сущности чисел не более, чем их предметные символы.
Но что больше всего выводило меня из себя, так это равенство: если а = b и b = с, то а = с. Если по определению а было чем-то отличным от b, оно не могло быть приравнено к b, не говоря уже о с. Когда вопрос касался эквивалентности, говорилось, что а = а и b = b и т. д. Это я мог понять, тогда как a = b казалось мне сплошной ложью и надувательством. Точно также меня раздражало, когда учитель, вопреки собственному определению, заявлял, что параллельные прямые сходятся в бесконечности. Это мне казалось фокусом, на который можно поймать только крестьянина, и я не мог и не желал иметь с этим ничего общего. Чувство интеллектуальной честности боролось во мне с этими замысловатыми противоречиями, которые навсегда сделали для меня невозможным понимание математики. Сейчас, будучи пожилым человеком, я безошибочно чувствую, что, если бы тогда я, как мои школьные товарищи, принял без борьбы утверждение, что а = b или что солнце равно луне, собака кошке и т. д., - математика дурачила бы меня до бесконечности. Каких размеров достиг бы обман, я стал понимать, только когда мне исполнилось восемьдесят четыре. Для меня на всю жизнь осталось загадкой, почему я не преуспел в математике, ведь, без сомнения, я мог хорошо считать. Невероятно, но основным препятствием стали соображения морального характера.
Уравнения становились понятными мне лишь после подстановки конкретных чисел вместо букв и перепроверки фактическим подсчетом. По мере того как мы продвигались в математике, я старался более или менее не отставать, списывая алгебраические формулы, значения которых не понимал, запоминая лишь, где находится та или иная комбинация букв на доске. Однако в какой-то момент я переставал успевать и не мог больше заменять буквы числами, потому что учитель время от времени произносил: "Здесь мы напишем такое-то выражение", и черкал несколько букв на доске. Я не имел представления, откуда он их взял и зачем это делал. Единственной причиной я считал то, что это давало ему возможность довести всю процедуру до конца и испытать удовлетворение. Из-за моего непонимания я был так запуган, что не смел задавать вопросы. Уроки математики превратились для меня в настоящий кошмар".
Тут я сразу вспомнил узбекских крестьян, мышление которых изучал А.Лурия (см. https://a-bugaev.livejournal.com/1162854.html).
Мы предъявили силлогизм: «Хлопок может расти только там, где жарко и сухо. В Англии холодно и сыро. Может ли там расти хлопок?»
«Я не знаю».
«Подумай об этом».
«Я был только в Кашгаре. Ничего больше я не знаю».
«Но на основании того, что я сказал, может ли хлопок там расти?»
«Если земля хорошая, хлопок будет там расти, но если там сыро и земля плохая, он расти не будет. Если там похоже на Кашгар, он там тоже будет расти. Конечно, если почва там рыхлая, он тоже будет там расти».
Затем силлогизм был повторен.
«Что ты можешь заключить из моих слов?»
«Если там холодно, он не будет расти. Если почва хорошая и рыхлая - будет».
«Но на какую мысль наводят мои слова?»
«Знаешь, мы - мусульмане, мы - кашгарцы. Мы никогда нигде не бывали и не знаем, жарко там или холодно».
Был предъявлен другой силлогизм.
«На Дальнем Севере, где снег, все медведи белые. Новая Земля - на Дальнем севере. Какого цвета там медведи?»
«Медведи бывают разные».
Силлогизм повторяется.
«Я не знаю. Я видел черного медведя. Других я никогда не видел. В каждой местности свои животные - если она белая, они будут белые, если желтая - они будут желтые».
«Но какие медведи водятся на Новой Земле?» «Мы всегда говорим только о том, что мы видим. Мы не говорим о том, чего мы не видели».
«Но на какую мысль наводят мои слова?»
Силлогизм снова повторяется.
«Ну, это вот на что похоже: наш царь не похож на вашего, а ваш не похож на нашего. На твои слова может ответить только кто-то, кто там был, а если человек там не был, он ничего не может сказать на твои слова».
«Но на основе моих слов: „На севере, где всегда снег, медведи - белые“, - можешь ты догадаться, какие медведи водятся на Новой Земле?»
«Если человеку шестьдесят или восемьдесят лет и он видел белого медведя и рассказал об этом - ему можно верить, но я никогда его не видел, и потому не могу сказать. Это мое последнее слово. Те, кто видел, могут сказать, а те, кто не видел, ничего сказать не могут».
Возражения Юнга по делу, он ведь не от глупости не понимал математические концепции и формализмы. Он прямо указывает именно на тот разрыв между конкретным и абстрактным уровнем мышления, который действительно существует и который требуется преодолеть, чтобы освоить оперирование абстрактными объектами. Преодоление этого разрыва, подъём на ступень абстрактного мышления не происходит сам собой, это требует усилий и специального обучения. Одним переход даётся легко, другие испытывают затруднения, кто-то вообще не способен. Особенно трудно в зрелом возрасте, как тем крестьянам у Лурии.
В отличие от крестьянина, Юнг учился в школе, ему доступно теоретическое мышление высокого уровня. Затруднение у него не с абстрактным вообще, а именно с математикой, с математическими объектами. Вот это и удивительно.
Конечно, затруднения в этом переходе могут быть вызваны не ограниченностью мышления, а, наоборот, слишком далёким охватом, своеобразной дальнозоркостью.
В комментарии к рассуждениям про работу Лурии я набросал некоторую схему развития мышления, в которой просматривается своеобразная цикличность, в том смысле, что следующий этап является преодолением слабостей и ограничений предыдущего (это смутно напоминает пресловутое "отрицание отрицания", но за формулировку я не держусь и аналогию прошу считать случайной).
Так вот, мысль в том, что переход на следующий уровень облегчается, если обучаемый сам чувствует эту самую ограниченность текущего уровня, т.е. как бы испытывает потребность взобраться на следующую ступеньку. Но если он обладает определённой дальнозоркостью и сразу видит (или чувствует) ограничение этой самой следующей ступеньки, это может стать препятствием для подъёма.
И в процитированных словах Юнга мне как раз видится что-то подобное. Может быть, он не принимает формализм не из-за непонимания правил оперирования символами, а потому, что видит ограничения и потенциальные противоречия в предлагаемой формальной игре?