Что касается математики, то тут сложнее. Скажем так, я на стороне платоников в вопросе о собственно математических объектах и истинах, и ближе к социологам в вопросе о доказательствах (о социальной природе признания доказательства
( ... )
Число 2 существует как идеальный объект. Если более строго, то существуют разные числа 2. То есть имеется ряд идеальных объектов (N, Z, Q, R, C), в каждом из них есть элемент, обозначаемый 2. Эти структуры естественным образом вкладываются, двойки тем самым отождествляются. В этом смысле можно говорить о двойке самой по себе.
Разумеется, отождествляется не символ 2, а именно идеальный объект, который можно обозначить также различными другими символами (II, β, b, б и т.п.)
Более строго ситуацию с натуральными числами рассматривает Успенский в многократно цитировавшейся статье (если Вы вдруг это рассуждение не читали, то получите большое удовольствие).
Береговая линия как идеальный объект, видимо, тоже существует (и каждая конкретная линия, и идея Береговой Линии). Но мне кажется, что идея числа 2 существует более универсально, независимо и как-то более надежно, что ли. Должно быть идея числа 2 более необходима в мироздании, чем идея Береговой Линии и чем идея береговой линии острова Олений.
Вот простейший и очень красивый пример: циклическая группа порядка n. Более абстрактные объекты (их можно рассматривать и как категории объектов): группа, кольцо, поле, алгебра, топологическое пространство.
Именованные объекты - уже упоминавшиеся N, Z, Q, R, C.
насколько понимаю, такая циклическая группа определяется через понятие множества или класса - группа любых элементов с такими-то свойствами.
Свойства эти (а также само понятие множества или класса) задаются через слова и понятия обыденного языка - а язык этот, как вы сами показываете - есть набор конвенций. Некоторые конвенции подчиняются необходимостям - более или менее сильным - но и эти необходимости время от времени меняются. Необходимости эти зафиксированы к примеру в аксиомах системы цермело-френкеля - и в логических аксиомах типа исключенного третьего. Насколько я знаком с философией математики и логики твердых обоснований природы этих необходимостей кроме установить не удалось. Иногда их обосновывают генетическим кодом мозга - иногда - как привычки рожденные из практики и взаимодействия с миром - но и в том и в другом случае - ни о каких идеальных обьектах речь идти не может.
Для понимания устройства конечной циклической группы порядка n достаточно конечного множества мощности n. Да, при объяснении (на обыденном языке) понятия конечного множества требуется обращение к каким-то базовым интуициям (например, представление о существовании раздельных и неизменных предметов). Думаю, что способность воспринимать такие понятия обеспечивается и устройством мозга, и практикой (меня чтение Лоренца подталкивает к мнению о приоритете врожденных свойств мозга).
Но мне кажется, тут нужно различать понятие группы и путь к пониманию понятия группы. Путь же связан не столько с самим понятием группы, а больше с особенностями ученика. Кому-то эта идея дается легко и естественно, другим же не помогают никакие разъяснения.
Вот только что я провел эксперимент - объяснил про циклическую группу младшему сыну (ему 9 лет). Он вполне успешно усвоил это понятие, и без всякой опоры на теорию множеств (достаточно представления о начале натурального ряда, сложении и остатке по модулю).
способность воспринимать понятия обеспечивается многими вещами, которые могут значительно различаться в каждом индивидуальном случае. мне кажется, основная проблема не в этом - а в содержании понятий как таковых
( ... )
Хочу возразить по поводу идеального мира в физике. Насколько я понимаю, идеальные объекты (в физических моделях) не являются первосущностями, а предназначены описывать природную реальность, соответствовать ей. Вот в этом искомом (но не обеспеченном автоматически) соответствии принципиально разнородных сущностей - природной реальности и идеальной модели - и заключена принципиальная проблема. В математике же этого природного мира нет, ее объект изначально идеален (вопрос о возникновении математических идей из потребностей реального моделирования, из той же физики, оставим за скобками).
Если же считать первичными онтологическими объектами в физике уравнения, от разница действительно невелика.
на самом деле я хочу сказать, что и в физике и в математике реалисты делают утверждение о реальном существовании некоторых обьектов, к которым реферируют теории. С этим я думаю спорить никто не будет.
Примерами таких обьектов в физике является электрон, в математике - конечная группа, которую вы привели. Вы утверждаете, что электрон неидеален, а конечная группа идеальна. Я примерно понимаю смысл этого утверждения - и сам его утверждал много раз - но тут хотел бы у вас спросить, как вы определяете идеальность.
Прошу прощения, что не ответил на вопрос. Но содержательно определить идеальность я не в состоянии. Не знаю, насколько это в принципе возможно (скорее всего тут базовое различение, которое можно лишь пояснить). Но сам я об этом не думал всерьез, и образования не хватает, чтобы сослаться на подходящий (для меня) разбор этого вопроса.
Reply
Если да, то почему такая разница?
Reply
Если более строго, то существуют разные числа 2. То есть имеется ряд идеальных объектов (N, Z, Q, R, C), в каждом из них есть элемент, обозначаемый 2. Эти структуры естественным образом вкладываются, двойки тем самым отождествляются. В этом смысле можно говорить о двойке самой по себе.
Разумеется, отождествляется не символ 2, а именно идеальный объект, который можно обозначить также различными другими символами (II, β, b, б и т.п.)
Более строго ситуацию с натуральными числами рассматривает Успенский в многократно цитировавшейся статье (если Вы вдруг это рассуждение не читали, то получите большое удовольствие).
Береговая линия как идеальный объект, видимо, тоже существует (и каждая конкретная линия, и идея Береговой Линии). Но мне кажется, что идея числа 2 существует более универсально, независимо и как-то более надежно, что ли. Должно быть идея числа 2 более необходима в мироздании, чем идея Береговой Линии и чем идея береговой линии острова Олений.
Reply
Reply
Более абстрактные объекты (их можно рассматривать и как категории объектов): группа, кольцо, поле, алгебра, топологическое пространство.
Именованные объекты - уже упоминавшиеся N, Z, Q, R, C.
Reply
Свойства эти (а также само понятие множества или класса) задаются через слова и понятия обыденного языка - а язык этот, как вы сами показываете - есть набор конвенций. Некоторые конвенции подчиняются необходимостям - более или менее сильным - но и эти необходимости время от времени меняются. Необходимости эти зафиксированы к примеру в аксиомах системы цермело-френкеля - и в логических аксиомах типа исключенного третьего. Насколько я знаком с философией математики и логики твердых обоснований природы этих необходимостей кроме установить не удалось. Иногда их обосновывают генетическим кодом мозга - иногда - как привычки рожденные из практики и взаимодействия с миром - но и в том и в другом случае - ни о каких идеальных обьектах речь идти не может.
Reply
Для понимания устройства конечной циклической группы порядка n достаточно конечного множества мощности n. Да, при объяснении (на обыденном языке) понятия конечного множества требуется обращение к каким-то базовым интуициям (например, представление о существовании раздельных и неизменных предметов). Думаю, что способность воспринимать такие понятия обеспечивается и устройством мозга, и практикой (меня чтение Лоренца подталкивает к мнению о приоритете врожденных свойств мозга).
Но мне кажется, тут нужно различать понятие группы и путь к пониманию понятия группы. Путь же связан не столько с самим понятием группы, а больше с особенностями ученика. Кому-то эта идея дается легко и естественно, другим же не помогают никакие разъяснения.
Вот только что я провел эксперимент - объяснил про циклическую группу младшему сыну (ему 9 лет). Он вполне успешно усвоил это понятие, и без всякой опоры на теорию множеств (достаточно представления о начале натурального ряда, сложении и остатке по модулю).
Reply
Reply
Насколько я понимаю, идеальные объекты (в физических моделях) не являются первосущностями, а предназначены описывать природную реальность, соответствовать ей. Вот в этом искомом (но не обеспеченном автоматически) соответствии принципиально разнородных сущностей - природной реальности и идеальной модели - и заключена принципиальная проблема. В математике же этого природного мира нет, ее объект изначально идеален (вопрос о возникновении математических идей из потребностей реального моделирования, из той же физики, оставим за скобками).
Если же считать первичными онтологическими объектами в физике уравнения, от разница действительно невелика.
Reply
на самом деле я хочу сказать, что и в физике и в математике реалисты делают утверждение о реальном существовании некоторых обьектов, к которым реферируют теории. С этим я думаю спорить никто не будет.
Примерами таких обьектов в физике является электрон, в математике - конечная группа, которую вы привели. Вы утверждаете, что электрон неидеален, а конечная группа идеальна. Я примерно понимаю смысл этого утверждения - и сам его утверждал много раз - но тут хотел бы у вас спросить, как вы определяете идеальность.
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
Leave a comment