Дубль два
Я хочу рассказать о двух основопологающих в науке абстракциях, которые вызвают сомнения у людей, тяготеющих к объективизму и другим формам жесткого реализма, отказывающего в состоятельности любым понятиям, не проистекающим напрямую из объективных свойств наблюдаемой физической реальности. Я постараюсь как можно более детально объяснить, почему обе эти абстракции не смотря на свою эфемерность совершенно необходимы для анализа и понимания этой самой объективной реальности. Речь пойдёт о бесконечности и о точке.
Интеграция наблюдений и концепция бесконечности
Бесконечность это не число, не объект и не явление. Это концепция. И возникает эта концепция, когда люди занимаются интегративной деятельностью, то есть анализируют наблюдения, выводят закономерности и экстраполируют их.
Исторически появление концепции бесконечности совпадает с отрывом вербального мышления от конкретного образного:
Образное мышление отлично работает на этапе накопления наблюдений:
[вчера я бросил камень и он упал]
(одно утверждение = один образ в памяти)
Образное мышление справляется и на этапе вывода закономерностей о совершённых наблюдениях:
[всякий раз, когда мы бросали камни, они падали]
(одно утверждение суммирует несколько образов в памяти)
Образное мышление отказывает, на этапе экстраполяции закономерностей:
[брошеные камни падают]
(это утверждение описывает эпизоды, которые ещё не случились или случились не в нашем присутствии, оно не может быть понятно на уровне конкретного образного мышления. Для того, чтобы понять это образно, требуется выработка абстрактного образного мышления, оперирующего в данном случае «камнем общего вида, который абстрактно бросили».)Нетривиальная идея тут в том, что, что можно в рамках одной мысли (одного утверждения) охватить потенциально неограниченное количество ситуаций. Концепция «охватывания потенциально неограниченного количества вариантов» называется концепцией потенциальной бесконечности.
Точные науки и концепция числа
Утверждения вроде [брошеные камни падают] называются качественными. В законах качественного характера очень сложно чётко охарактеризовать класс случаев, к которым они применимы - нужно очень чётко сформулировать, что такое бросить и, главное, что такое камень, а это очень уж всё расплывчато.
Другой тип утверждений - утверждения количественные: [Ахав-Плотник выменял обменял 20 яблок на 30.5 локтей пряжи]. У объектов и явлений реального мира бывают характеристики, поддающиеся стандартизированному измерению, такие как количество, длина, продоложительность. Судя по всему нужда в измерениях возникла в связи с нуждами торговли, но метод оказался ценен и во всех других областях человеческой деятельности. Науки, оперирующие количественными дисциплинами, называются точными, а наука о самих количественных утверждениях - математикой.
Примеры величин: количество, длина
Методы измерения: пересчёт, сличение с эталоном
Совокупность потенциально возможных результатов измерения величины называется её спектром, а элементы спектров - значениями: Spec(количество) = натуральный ряд ℤ≥0, Spec(длина) = вещественная шкала ℝ≥0. Идея, что можно оперировать эфемерными идеализированными “результатами измерений” - точками, на мысленной шкале (спектре), которые нельзя пощупать и увидеть - называется концепцией числа или концепцией точки (случае одномерных шкал значения обычно называют числами, а в случае многомерных точками). Концепция точки, судя по всему, получила распространение прежде концепции бесконечности, т.к. более дружествена к образному мышлению - абстрактное пространственное мышление судя по всему присуще человеку от природы, и люди очень рано начали представлять себе идеализированную плоскость, оторванную от конкретного листа бумаги.
Комбинируя концепцию потенциальной бесконечности и концепцию числа/точки, можно формулировать утверждения обо всех возможных значениях величины сразу, например: [от перестановки слагаемых сумма не изменяется] или, на более формальном языке, [для любых чисел n и m выполняется n + m = m + n]. Формирование и применение утверждений такого рода составляет сущность точных наук, которым мы обязаны научнотехническим прогрессом последних тысячелетий и огромным его рывком в последние 250 лет.
Типы и их ёмкости
Утверждения, охватывающие более чем один частный случай в логике принято записывать с использованием переменных, а переменным приписывать тип - «диапазон охвата».
Например утверждение [от перестановки слагаемых (целых чисел) сумма не изменяется] записывается формально так:
(n: ℤ, m: ℤ) ⇒ [n + m = m + n].
Читается так: «берём любые натуральные числа n и m, получаем что n + m = m + n».
Утверждение [всякий раз, когда мы бросали камни, они падали]:
(s: «случаи, когда мы бросали камни») ⇒ [в случае s камень упал].
Во втором случае переменная s охватывает конечное количество конкретных случаев, в первом переменные n и m охватывают неограниченно большое количество вариантов. Имеет смысл говорить о ёмкости типа.
Ёмкость типа из трёх элементов {‘а’, ‘б’, ‘в’} составляет 3. Ёмкость типа “Натуральное число” бесконечна.
Выясняется, что существуют по меньшей мере две разных бесконечных ёмкости! Все натуральные числа «влезают» в вещественную прямую, но не наоборот. Ниже ещё подробно будет доказано, что это так. Вполне может быть у каких-нибудь величин ёмкость спектра бесконечная, но не совпадает ни с ёмкостью натурального ряда, ни с ёмкостью вещественной прямой. Существование таких величин ничему не противоречит, однако на данный момент таких величин мы не знаем и их существование представляется очень сомнительным.
Ёмкость натурального ряда является самой малой бесконечной ёмкостью. Дело в том, что ёмкость типа называется конечной в точности тогда, когда всех его представителей можно пронумеровать числами от 1 до некоторого фиксированного натурального n. Если ёмкость типа T бесконечна, т.е. такого n не существует, получается что тип T содержит как минимум столко элементов, сколько можно пронумеровать всеми натуральными числами, т.е. все натуральные числа туда “влезут”.
Если ряд натуральных чисел имеет минимально возможную бесконечную ёмкость, то какую же ёмкость имеет его часть, например рядом четных чисел?
Ряд натуральных чисел равноёмок любому своему бесконечному подмножеству, мысленный эксперимент на эту тему известен как «отель Гильберта»: представим отель с бесконечным количеством комнат, пронумерованных натуральными числами. Даже если он полон, в нём всё равно можно разместить ещё одного гостя. Надо просто попросить каждого гостя переместиться в следующую комнату, а нового посетителя разместить в первой. Это возможно т.к. число n+1 всегда существует. Таким образом в полный отель Гильберта можно подселить любое конечное число гостей!
Можно ли в отель Гильберта подселить бесконечное количество гостей? Это зависит от ёмкости множества прибывших посетителей. Если она превышает ёмкость натурального ряда, то конечно же нет. А вот если равна, то да! В полный отеле Гильберта можно заселить ещё столько же гостей сколько в нём уже есть - достаточно попросить каждого гостя из комнаты n переместиться в комнату 2n.
Финитарные и нефинитарные объекты
Наиболее конкретной и прозрачной из точных наук является информатика, из-за чего на ней особенно удобно иллюстрировать необходимость на практике тех или иных общих концепций.
Информатика оперирует программами и данными. Программы преобразуют данные. Любую программу и любые данные по определению можно написать, используя фиксированный конечный «алфавит» букв, цифр и прочих символов, и конечное количество бумаги/компьютерной памяти. Программы преобразуют данные шаг за шагом по простым прозначным недвусмысленно определённым законам, которые реализованы in silico в миллиардах компьютеров по всему миру. Запускаешь программу, скармливаешь ей данные, тык-тык-тык, программа выплёвывает результат. Что может быть конкретней?
Если для типа Х существует способ представлять элементы X в виде данных, тип Х называется конечно-представимым, а его объекты финитарными. Натуральные числа финитарны, мы все умеем записывать их при помощи конечного алфавита из десяти цифр; любое конкретное натуральное число потребует конечного количества бумаги/памяти для записи. Обратное тоже верно: любая конечная последовательность значков алфавита из n символов может быть проинерпретирована как натуральное число, записанное в n-ичной системе счисления. Таким образом, все бесконечные финитарные типы равноёмки натуральному ряду.
Ограничиваясь в рассуждениях исключительно финитарными типами и преобразованиями, представимыми в виде Г-вычислимых программ, мы стоим обеими ногами на твёрдой суше: предметы рассуждений в этом случае хоть и являются умозрительными абстракциями вроде чисел, но в любой момент могут быть материализованы в стекле и камне пером на бумаге.
Существуют, однако, нефинитарные объекы, крайне ценные на практике - в первую очередь это вещественные числа. Такие объекты нельзя охарактеризовать однозначно, используя конечное количество дискретной информации; для их характеризации требуется «актуальная бесконечность» символов. Идея, что можно оперировать в рассуждениях и вычислениях нефинитарными объектами называется концепцией актуальной бесконечности.
Для физики перво-наперво необходимо, чтобы среди чисел, которыми мы оперируем, были все безразмерные природные константы. Откуда они берутся? - из измерений. Измерения величин (если мы не говорим об априорно дискретных величинах вроде «количества») состоит в том, что мы «загоняем» измеряемую величину во всё более узкие интервалы, однако установить константу совсем точно мы не можем, у любого измерения есть погрешность! Не существует (и не может существовать, см. ниже) измерительного прибора, который мог бы установить в точности равенство двух величин, всякий прибор может лишь сказать «они различаются» или «они неразличимы с моей точностью». Таким образом, результат измерения - это не рациональное или алгебраическое или ещё какое-нибудь удобное для записи число, а сходящаяся последовательность вложенных интервалов.
Снова обратимся к информатике. Как обращаются с вещественными числами программы? Тут тоже используется идея последовательных приближений: Вещественные числа приближенно представимы с любой наперёд заданной точностью при помощи десятичных или цепных дробей. Чтобы записать вещественное число точно (десятичной дробью), нам бы потребовалось актуально бесконечное количество памяти/бумаги, но для любой конечной точности достаточно конечного. Вещественное число можно рассматривать как отображение f(n: ℤ≥0): ℚ, которое принимает n и выдаёт десятичную дробь до n-ного знака после запятой.
Пространство отображений ℤ≥0 ⇒ ℚ не счётное; конечно же, часть таких отображений можно реализовать как программы, однако лишь изчезающе малую часть. Для обращения с такими штуковинами была придумана концепция коданных - коданное это «внешнее устройство», которому можно передавать данные и получать другие данные в ответ. В случае вещественного числа, «внешнему устройству “число”» предаётся желаемая точность, а оно в ответ выдаёт приближение себя этой точности.
Применяя программирование или логику к физическому миру, мы вынуждены принять, что такие «чёрные ящики» могут требовать для точной записи своего содержимого актуальной бесконечности дискретной памяти. Это не значит, что этот самый внешний объект (скажем, вещественное число) внутри себя содержит огромное количество информации или как-то особенно сложно устроен! Все заслуги этого объекта заканчиваются на том, что он просто объективно сущесвует, а информация порождается в процессе измерения объекта нами.
Финитарная часть математики работает в полном соответствии с нашей интуицией, в то время как нефинитарные объекты подвержены парадоксам, т.е. обладают свойствами, которые кажутся людям странными и противоестественными; при слишком вольном “неформальном” обращении с нефинитарными, легко можно прийти к противоречию, т.к. интуиция с ними не работает и не убережёт от ошибки. Очень заманчиво сказать «нефинитарные объекты это ересь, их и не существует вовсе»... если бы не то обстоятельство, что нефинитарными объектами являются вещественные числа - фундаментальный элемент геометрии и физики.
Концепция актуальной бесконечности - это, безусловно, сильнейшая абстракция и идеализация. Однако в мире (реально существующем объективном физическом мире) наблюдаются величины, для характеризации которых требуется счётная актуальная бесконечность дискретной информации.
Индукция и интерполяция
Существуют соображения, заставляющие думать, что бесконечных ёмкостей кроме счётной бесконечности и бесконечного континуума в природе не наблюдается. Во-первых, данные всегда имеют не более чём счётную информационную ёмкость, а коданные не более чем континуальную, т.к. представимы в виде отображения данные ⇒ данные.
Во-вторых, известно лишь два конструктивных метода, позволяющих сделать из конечных предпосылок универсальные выводы.
Первый - индукция. Если мы можем показать, что утверждение P(n) выполняется для нуля и P(n) ⇒ P(n + 1), можно сделать вывод что P(n) выполняется для всех натуральных чисел. Этот способ обобщается с натуральных чисел на все индуктивные (в сущности, все конечно-представимые) типы, к нефинитарным объектам этот метод неприменим.
Второй - интерполяция. Если мы можем доказать, что утверждение P(x) выполняется для некоего плотного подмножества D пространства S (например, для рациональных чисел как подмножества вещественых), в очень многих случаях мы можем распространить P(x) на всё S. Только этим способом можно конструктивно доказать что-либо для типа ёмкостью больше натурального ряда.
Спектры всех известных на данный момент физических величин либо дискретны и описываются индуктивным типом, либо являются измеримым подмножеством пространства, содержащего плотное индуктивное подмножество. Говоря интуитивно, это связано с тем, что только с такими спектрами мы фактически можем работать.
Минимальный и максимальный топос
За последнюю сотню лет было предложено много десятков возможных топосов - “математических миров”, в пригодных для моделирования всевозможных структур.
Универсальным топосом является стандартная теория множеств (ZFC/NBG), она позволяет формировать типы сколь угодно общего вида, кроме заведомо паталогических, и оперировать сколь угодно мощными актуальными и потенциальными бесконечностями; она очень удобна в своём могуществе для практической работы, однако несколько пугает количеством абстракций, не мотивированных физической реальностью и практическими нуждами, а мотивированных лишь универсальностью/элегантностью. Некоторые математики опасается, что такого рода конструкция может оказаться противоречивой, и избегают пользоваться ею.
Минимальные топосы напротив допускают только две бесконечных ёмкости - натуральный ряд и вещественную прямую - и предлагают очень ограниченный инструментарий для работы с ними, не включающий сомнительных методов построения вроде общей аксиомы выбора. Это немного неудобно в практической работе, однако все используемые концепции и операции хорошо мотивированы реальным миром и практической необходимостью.
Приложение “Так ли необходимы ли вещественные числа?”
Всех людей, которые впервые встретились с несчётностью поля вещественных чисел, терзает по-началу вопрос: действительно и зачем-нибудь нужны все-все бесконечные дроби? Ведь на самом деле мы всегда пользуемся какими-то пригодными для записи числами: 1, 2, 3/5, √2, π, e.
Есть поле Dℝ определимых действительных чисел, таких действительных чисел, определения которых мы можем записать конечным числом симовлов. Это поле, конечно же, счётное, а все его элементы финитарны. Беда его в том, что с ним невозможно работать на практике. Для того, чтобы работать на практике, нам нужна возможность округлять числа, т.е. функция round(x: Dℝ) ⇒ ℤ. Не важно как она работает в случае, когда x = _.5, пусть округляет хоть в верх, хоть вниз, главное чтобы больше чем на единицу никогда не ошибалась.
Предположим, мы как-то занумеровали все опредилимые числа, и у нас есть вычислимая (заданная программой) функция round(n: ℤ≥0): ℤ, которая находит целую часть n-ного определимого числа.
Она позволяет нам вычислить n-ный (после запятой) знак разложения x в десятичную дробь: decimal(x, n) = round( (x - 1/2) * 10n)/10n mod 10.
Теперь возьмём и построим число x, у которого целая часть равна нулю, а дробная часть задаётся десятичной дробью, такой что её n-ный знак вычисляется по формуле xn = decimal(n, n) + 2 mod 10.
Если у нас:
Dℝ #0 = 1.000..
Dℝ #1 = 0.032..
Dℝ #2 = 7.237..
, то x 0.259... Первый знак после запятой - сдвиг на два первой цифры первого числа, второй знак - сдвиг на два первой цифры второго знака второго числа, и так далее.Это число, как я уже сказал, конечным числом символов, значит содержится в Dℝ. Однако, по построению оно отличается как минимум в одном знаке дробной части от каждого Dℝ #n. Противоречие!
То есть для поля Dℝ невозможно найти представление, допускающее функцию round! Таким образом работать с этим полем на практике мы не можем, т.к. не можем в явном виде вычислять числа. И тут есть только два варианта дальнейших действий:
- Либо мы берём какое-то поле чуть поменьше, допускающее функцию round и теряем нужные вещественные числа;
- Либо мы берём какое-то поле чуть побольше, допускающее функцию round. Это поле, конечно, будет содержать какие-то невыразимые (нефинитарные) числа, зато будет содержать всё нужное!
Поле «чуть побольше», допускающее функцию round - это поле вещественных чисел ℝ. Не смотря на нефинитарность, не нужно его бояться - это очень удобный в работе и универсальный объект: поле ℝ - единственное вполне упорядоченное полное по Дедекинду поле. Вопросы нефинитарности ℝ в приложениях не мешают.
Квадратно-гнездовая механика невозможна
tarkhil: А вещественные числа - это точно не математическая абстракция? Если мир квантован - то именно абстракция... Как не может быть 0.8 атома углерода.
Это не так. Картина мира, где все физические величины кратны некой достаточно малой величине, называется не квантовой, а допифагорианской. В это действительно верили древние греки, пока Пифагор не открыл иррациональные числа. Квантовый мир совершенно не похож на клеточный автомат.
Во-первых, в квантовой механике только некоторые величины имеют дискретный спектр значений, большая же часть величин имеет непрерывный спектр или смешаный спектр, например энергия электрона в атоме водорода имеет дискретные уровни от нуля до 13.6 eV (энергии ионизации водорода), а начиная с этого уровня - непрерывный спектр, т.к. электрон свободен. Кроме непрерывной части и дискретной части, спектры величин могут ещё содержать фрактальную часть, для описания которой также требуются вещественные числа.
В мире, где все величины имели бы дискретный спектр, ничего бы не происходило - дискретные уровни энергии отвечают стационарным колебательным процессам. Только благодаря существованию величин с непрерывным и фрактальным спектром возможна нетривиальная эволюция. Характерным примером величины, имеющей непрерывный спектр, является длина. Так должно быть в любой теории, где хотя бы макроскопически соблюдается принцип относительности - а он макроскопически соблюдается, тут глупо спорить с фактами.
В качестве примера величины, которю мы не можем теоретически предсказать, но можем измерить с любой желаемой точнстью, является отношение средних радиусов атома водорода и позитрония - это конкретное вещественное число, одинаковое в любой области вселенной и во все времена, это природная константа, которую нельзя вычислить, но можно измерить со сколь угодно высокой точностью. Никаких физических преград, мешающих измерению с любой точностью не наблюдается ни в одной из существующих физических теорий: хоть по Аристотелю с Эвклидом, хоть по Ньютону, хоть согласно релятивистской квантовой теории поля, теории струн, петлевой квантовой гравитации (LQG) или некоммутативной геометрии - везде длины не квантованы и выражаются совершенно произвольными (в определённом положительном интервале) вещественными числами, а отношение указанных двух длин можно измерить с любой желаемой точностью при наличии достаточного количества энергии, а её во вселенной потенциально сколько угодно.
Таким образом, вещественные числа фундаментально необходимы для описания наблюдаемых результатов измерений независимо от того, квантовый у нас мир или классический.
Однако в гораздо большей степени они нужны для того, чтобы моделировать динамику. Вот например спин электрона квантован, это возможно вследствие того что его невозможно измерить недеструктивно. Каким бы методом и приспособлением мы не измеряли спин, измерение характеризуется ровно одной вещью направлением измерения v. В результате измерения мы получаем одно из двух значений: либо в результате измерения спин стал соноправлен v, либо -v. Два результата измерения - это конечный набор. Однако что происходит со спином между измерениями? Между измерениями спин электрона это единичный вектор w, которых континуум вариантов. Мы можем при помощи электромагнитного поля влиять на него, всяческие его крутить на сколь угодно малые углы. Однако не можем деструктивно измерить, даже самую капельку. А если хотим что-то измерить, то можем сунуть в аппарат штерна-герлаха с осью v, при прохождеии сквозь аппарат электрон выровняет спин вдоль этой оси и станет либо v, либо -v, вся точная информация об исходном направлении спина w сотрётся, об исходном положении спина останется лишь статистический отголосок: дело в том, что электрон примет состояние v с вероятностью sin ∡(w, v)/2 и -v с комплементарной вероятностью. Таким образом, если исходное направление w и ось аппарата v лежали рядом или наоборот почти диаметрально противоположно, то исход опыта практически предрешён, если исходный спин лежал близко к перпендикулярно оси плоскости, то мы напротив имеем дело с квантовым «подбрасыванием монетки».
Конечное/счётное число исходов измерений у квантованых величин никак не отменяет такого факта, что вся промежуточная между измерениями эволюция континуальна и без вещественных чисел никак не описуема. Законы динамики, описывающие эволюцию подсистем наблюдаемого мира с течением времени, хоть в квантовом, хоть в неквантовом случае, нуждаются в поле вещественных чисел. Ещё со времён Ньютона и по наши дни законы динамики выражаются дифференциальными уравнениями или сводятся к последним. Вообще говоря, это могут быть и более общие законы, однако есть два важных ограничения:
а) Шкала времени не может быть дискретной, это бы противоречило принципу относительности (сжатие времени в зависимости от скорости наблюдателя), который макроскопически проверен настолько хорошо, что ему есть основания доверять больше, чем своим глазам; исходя из верности макроскопического принципа относительности, шкала времени должна быть по меньшей мере плотна;
б) Весь опыт накопленный человечеством говорит нам, что ход вещей с течением времени непрерывен за исключением, возможно, конечного числа локализованных скачков в любой заданный интервал времени.
Говоря математически, динамика это кусочно-непрерывное действие плотного подмножества действительных чисел на пространство моментальных состояний физического мира. Эмми Нётер показала, что такое действие обязательно приводит к появлению локальной константы движения - в данном случае, закона сохранения энергии. В 1960ые средствами эргодической теории было показано, что комбинаторные уравнения (в т.ч. разностные, которыми можно аппроксимировать дифференциальные) на финитарных объектах неспособны порождать динамику с законами сохранения. Наблюдаемая нами воочию динамика может быть описана точно только с привлечением нефинитарных концепций.
В заключение позволю себе привести взгляд на вещественные числа глазами практика:
certus: Всегда можно сказать, что для ответа на конкретный физический вопрос нужно просто перелопатить достаточно большой, но конечный объём данных: отказать всем континуальным моделям в фундаментальности, заменив их их дискретными приближениями и ограничив область их применимости ещё и соображениями, вытекающими из теории численных методов. Но это, конечно, будет обманом трудящихся: ведь подавляющее большинство моделей, накопленных физикой к настоящему моменту, всё же основаны на геометрических представлениях о прямых и пространстве, опирающихся на вещественные числа. Более того, подход, основанный на вещественных числах, ещё и позволяет с отличной точностью предсказывать, что получится при разных способах дискретного приближения. Именно поэтому вещественным числам как фундаменту физики отдаётся предпочтение - других столь же удобных инструментов под рукой нет (и не предвидится, в силу того, что вещественные числа - единственное вполне упорядоченное полное по Дедекинду поле).
Интеграция наблюдений и концепция бесконечности
Бесконечность это не число, не объект и не явление. Это концепция. И возникает эта концепция, когда люди занимаются интегративной деятельностью, то есть анализируют наблюдения, выводят закономерности и экстраполируют их.
Исторически появление концепции бесконечности совпадает с отрывом вербального мышления от конкретного образного:
Образное мышление отлично работает на этапе накопления наблюдений:
[вчера я бросил камень и он упал]
(одно утверждение = один образ в памяти)
Образное мышление справляется и на этапе вывода закономерностей о совершённых наблюдениях:
[всякий раз, когда мы бросали камни, они падали]
(одно утверждение суммирует несколько образов в памяти)
Образное мышление отказывает, на этапе экстраполяции закономерностей:
[брошеные камни падают]
(это утверждение описывает эпизоды, которые ещё не случились или случились не в нашем присутствии, оно не может быть понятно на уровне конкретного образного мышления. Для того, чтобы понять это образно, требуется выработка абстрактного образного мышления, оперирующего в данном случае «камнем общего вида, который абстрактно бросили».)Нетривиальная идея тут в том, что, что можно в рамках одной мысли (одного утверждения) охватить потенциально неограниченное количество ситуаций. Концепция «охватывания потенциально неограниченного количества вариантов» называется концепцией потенциальной бесконечности.
Точные науки и концепция числа
Утверждения вроде [брошеные камни падают] называются качественными. В законах качественного характера очень сложно чётко охарактеризовать класс случаев, к которым они применимы - нужно очень чётко сформулировать, что такое бросить и, главное, что такое камень, а это очень уж всё расплывчато.
Другой тип утверждений - утверждения количественные: [Ахав-Плотник выменял обменял 20 яблок на 30.5 локтей пряжи]. У объектов и явлений реального мира бывают характеристики, поддающиеся стандартизированному измерению, такие как количество, длина, продоложительность. Судя по всему нужда в измерениях возникла в связи с нуждами торговли, но метод оказался ценен и во всех других областях человеческой деятельности. Науки, оперирующие количественными дисциплинами, называются точными, а наука о самих количественных утверждениях - математикой.
Примеры величин: количество, длина
Методы измерения: пересчёт, сличение с эталоном
Совокупность потенциально возможных результатов измерения величины называется её спектром, а элементы спектров - значениями: Spec(количество) = натуральный ряд ℤ≥0, Spec(длина) = вещественная шкала ℝ≥0. Идея, что можно оперировать эфемерными идеализированными “результатами измерений” - точками, на мысленной шкале (спектре), которые нельзя пощупать и увидеть - называется концепцией числа или концепцией точки (случае одномерных шкал значения обычно называют числами, а в случае многомерных точками). Концепция точки, судя по всему, получила распространение прежде концепции бесконечности, т.к. более дружествена к образному мышлению - абстрактное пространственное мышление судя по всему присуще человеку от природы, и люди очень рано начали представлять себе идеализированную плоскость, оторванную от конкретного листа бумаги.
Комбинируя концепцию потенциальной бесконечности и концепцию числа/точки, можно формулировать утверждения обо всех возможных значениях величины сразу, например: [от перестановки слагаемых сумма не изменяется] или, на более формальном языке, [для любых чисел n и m выполняется n + m = m + n]. Формирование и применение утверждений такого рода составляет сущность точных наук, которым мы обязаны научнотехническим прогрессом последних тысячелетий и огромным его рывком в последние 250 лет.
Типы и их ёмкости
Утверждения, охватывающие более чем один частный случай в логике принято записывать с использованием переменных, а переменным приписывать тип - «диапазон охвата».
Например утверждение [от перестановки слагаемых (целых чисел) сумма не изменяется] записывается формально так:
(n: ℤ, m: ℤ) ⇒ [n + m = m + n].
Читается так: «берём любые натуральные числа n и m, получаем что n + m = m + n».
Утверждение [всякий раз, когда мы бросали камни, они падали]:
(s: «случаи, когда мы бросали камни») ⇒ [в случае s камень упал].
Во втором случае переменная s охватывает конечное количество конкретных случаев, в первом переменные n и m охватывают неограниченно большое количество вариантов. Имеет смысл говорить о ёмкости типа.
Ёмкость типа из трёх элементов {‘а’, ‘б’, ‘в’} составляет 3. Ёмкость типа “Натуральное число” бесконечна.
Выясняется, что существуют по меньшей мере две разных бесконечных ёмкости! Все натуральные числа «влезают» в вещественную прямую, но не наоборот. Ниже ещё подробно будет доказано, что это так. Вполне может быть у каких-нибудь величин ёмкость спектра бесконечная, но не совпадает ни с ёмкостью натурального ряда, ни с ёмкостью вещественной прямой. Существование таких величин ничему не противоречит, однако на данный момент таких величин мы не знаем и их существование представляется очень сомнительным.
Ёмкость натурального ряда является самой малой бесконечной ёмкостью. Дело в том, что ёмкость типа называется конечной в точности тогда, когда всех его представителей можно пронумеровать числами от 1 до некоторого фиксированного натурального n. Если ёмкость типа T бесконечна, т.е. такого n не существует, получается что тип T содержит как минимум столко элементов, сколько можно пронумеровать всеми натуральными числами, т.е. все натуральные числа туда “влезут”.
Если ряд натуральных чисел имеет минимально возможную бесконечную ёмкость, то какую же ёмкость имеет его часть, например рядом четных чисел?
Ряд натуральных чисел равноёмок любому своему бесконечному подмножеству, мысленный эксперимент на эту тему известен как «отель Гильберта»: представим отель с бесконечным количеством комнат, пронумерованных натуральными числами. Даже если он полон, в нём всё равно можно разместить ещё одного гостя. Надо просто попросить каждого гостя переместиться в следующую комнату, а нового посетителя разместить в первой. Это возможно т.к. число n+1 всегда существует. Таким образом в полный отель Гильберта можно подселить любое конечное число гостей!
Можно ли в отель Гильберта подселить бесконечное количество гостей? Это зависит от ёмкости множества прибывших посетителей. Если она превышает ёмкость натурального ряда, то конечно же нет. А вот если равна, то да! В полный отеле Гильберта можно заселить ещё столько же гостей сколько в нём уже есть - достаточно попросить каждого гостя из комнаты n переместиться в комнату 2n.
Финитарные и нефинитарные объекты
Наиболее конкретной и прозрачной из точных наук является информатика, из-за чего на ней особенно удобно иллюстрировать необходимость на практике тех или иных общих концепций.
Информатика оперирует программами и данными. Программы преобразуют данные. Любую программу и любые данные по определению можно написать, используя фиксированный конечный «алфавит» букв, цифр и прочих символов, и конечное количество бумаги/компьютерной памяти. Программы преобразуют данные шаг за шагом по простым прозначным недвусмысленно определённым законам, которые реализованы in silico в миллиардах компьютеров по всему миру. Запускаешь программу, скармливаешь ей данные, тык-тык-тык, программа выплёвывает результат. Что может быть конкретней?
Если для типа Х существует способ представлять элементы X в виде данных, тип Х называется конечно-представимым, а его объекты финитарными. Натуральные числа финитарны, мы все умеем записывать их при помощи конечного алфавита из десяти цифр; любое конкретное натуральное число потребует конечного количества бумаги/памяти для записи. Обратное тоже верно: любая конечная последовательность значков алфавита из n символов может быть проинерпретирована как натуральное число, записанное в n-ичной системе счисления. Таким образом, все бесконечные финитарные типы равноёмки натуральному ряду.
Ограничиваясь в рассуждениях исключительно финитарными типами и преобразованиями, представимыми в виде Г-вычислимых программ, мы стоим обеими ногами на твёрдой суше: предметы рассуждений в этом случае хоть и являются умозрительными абстракциями вроде чисел, но в любой момент могут быть материализованы в стекле и камне пером на бумаге.
Существуют, однако, нефинитарные объекы, крайне ценные на практике - в первую очередь это вещественные числа. Такие объекты нельзя охарактеризовать однозначно, используя конечное количество дискретной информации; для их характеризации требуется «актуальная бесконечность» символов. Идея, что можно оперировать в рассуждениях и вычислениях нефинитарными объектами называется концепцией актуальной бесконечности.
Для физики перво-наперво необходимо, чтобы среди чисел, которыми мы оперируем, были все безразмерные природные константы. Откуда они берутся? - из измерений. Измерения величин (если мы не говорим об априорно дискретных величинах вроде «количества») состоит в том, что мы «загоняем» измеряемую величину во всё более узкие интервалы, однако установить константу совсем точно мы не можем, у любого измерения есть погрешность! Не существует (и не может существовать, см. ниже) измерительного прибора, который мог бы установить в точности равенство двух величин, всякий прибор может лишь сказать «они различаются» или «они неразличимы с моей точностью». Таким образом, результат измерения - это не рациональное или алгебраическое или ещё какое-нибудь удобное для записи число, а сходящаяся последовательность вложенных интервалов.
Снова обратимся к информатике. Как обращаются с вещественными числами программы? Тут тоже используется идея последовательных приближений: Вещественные числа приближенно представимы с любой наперёд заданной точностью при помощи десятичных или цепных дробей. Чтобы записать вещественное число точно (десятичной дробью), нам бы потребовалось актуально бесконечное количество памяти/бумаги, но для любой конечной точности достаточно конечного. Вещественное число можно рассматривать как отображение f(n: ℤ≥0): ℚ, которое принимает n и выдаёт десятичную дробь до n-ного знака после запятой.
Пространство отображений ℤ≥0 ⇒ ℚ не счётное; конечно же, часть таких отображений можно реализовать как программы, однако лишь изчезающе малую часть. Для обращения с такими штуковинами была придумана концепция коданных - коданное это «внешнее устройство», которому можно передавать данные и получать другие данные в ответ. В случае вещественного числа, «внешнему устройству “число”» предаётся желаемая точность, а оно в ответ выдаёт приближение себя этой точности.
Применяя программирование или логику к физическому миру, мы вынуждены принять, что такие «чёрные ящики» могут требовать для точной записи своего содержимого актуальной бесконечности дискретной памяти. Это не значит, что этот самый внешний объект (скажем, вещественное число) внутри себя содержит огромное количество информации или как-то особенно сложно устроен! Все заслуги этого объекта заканчиваются на том, что он просто объективно сущесвует, а информация порождается в процессе измерения объекта нами.
Финитарная часть математики работает в полном соответствии с нашей интуицией, в то время как нефинитарные объекты подвержены парадоксам, т.е. обладают свойствами, которые кажутся людям странными и противоестественными; при слишком вольном “неформальном” обращении с нефинитарными, легко можно прийти к противоречию, т.к. интуиция с ними не работает и не убережёт от ошибки. Очень заманчиво сказать «нефинитарные объекты это ересь, их и не существует вовсе»... если бы не то обстоятельство, что нефинитарными объектами являются вещественные числа - фундаментальный элемент геометрии и физики.
Концепция актуальной бесконечности - это, безусловно, сильнейшая абстракция и идеализация. Однако в мире (реально существующем объективном физическом мире) наблюдаются величины, для характеризации которых требуется счётная актуальная бесконечность дискретной информации.
Индукция и интерполяция
Существуют соображения, заставляющие думать, что бесконечных ёмкостей кроме счётной бесконечности и бесконечного континуума в природе не наблюдается. Во-первых, данные всегда имеют не более чём счётную информационную ёмкость, а коданные не более чем континуальную, т.к. представимы в виде отображения данные ⇒ данные.
Во-вторых, известно лишь два конструктивных метода, позволяющих сделать из конечных предпосылок универсальные выводы.
Первый - индукция. Если мы можем показать, что утверждение P(n) выполняется для нуля и P(n) ⇒ P(n + 1), можно сделать вывод что P(n) выполняется для всех натуральных чисел. Этот способ обобщается с натуральных чисел на все индуктивные (в сущности, все конечно-представимые) типы, к нефинитарным объектам этот метод неприменим.
Второй - интерполяция. Если мы можем доказать, что утверждение P(x) выполняется для некоего плотного подмножества D пространства S (например, для рациональных чисел как подмножества вещественых), в очень многих случаях мы можем распространить P(x) на всё S. Только этим способом можно конструктивно доказать что-либо для типа ёмкостью больше натурального ряда.
Спектры всех известных на данный момент физических величин либо дискретны и описываются индуктивным типом, либо являются измеримым подмножеством пространства, содержащего плотное индуктивное подмножество. Говоря интуитивно, это связано с тем, что только с такими спектрами мы фактически можем работать.
Минимальный и максимальный топос
За последнюю сотню лет было предложено много десятков возможных топосов - “математических миров”, в пригодных для моделирования всевозможных структур.
Универсальным топосом является стандартная теория множеств (ZFC/NBG), она позволяет формировать типы сколь угодно общего вида, кроме заведомо паталогических, и оперировать сколь угодно мощными актуальными и потенциальными бесконечностями; она очень удобна в своём могуществе для практической работы, однако несколько пугает количеством абстракций, не мотивированных физической реальностью и практическими нуждами, а мотивированных лишь универсальностью/элегантностью. Некоторые математики опасается, что такого рода конструкция может оказаться противоречивой, и избегают пользоваться ею.
Минимальные топосы напротив допускают только две бесконечных ёмкости - натуральный ряд и вещественную прямую - и предлагают очень ограниченный инструментарий для работы с ними, не включающий сомнительных методов построения вроде общей аксиомы выбора. Это немного неудобно в практической работе, однако все используемые концепции и операции хорошо мотивированы реальным миром и практической необходимостью.
Приложение “Так ли необходимы ли вещественные числа?”
Всех людей, которые впервые встретились с несчётностью поля вещественных чисел, терзает по-началу вопрос: действительно и зачем-нибудь нужны все-все бесконечные дроби? Ведь на самом деле мы всегда пользуемся какими-то пригодными для записи числами: 1, 2, 3/5, √2, π, e.
Есть поле Dℝ определимых действительных чисел, таких действительных чисел, определения которых мы можем записать конечным числом симовлов. Это поле, конечно же, счётное, а все его элементы финитарны. Беда его в том, что с ним невозможно работать на практике. Для того, чтобы работать на практике, нам нужна возможность округлять числа, т.е. функция round(x: Dℝ) ⇒ ℤ. Не важно как она работает в случае, когда x = _.5, пусть округляет хоть в верх, хоть вниз, главное чтобы больше чем на единицу никогда не ошибалась.
Предположим, мы как-то занумеровали все опредилимые числа, и у нас есть вычислимая (заданная программой) функция round(n: ℤ≥0): ℤ, которая находит целую часть n-ного определимого числа.
Она позволяет нам вычислить n-ный (после запятой) знак разложения x в десятичную дробь: decimal(x, n) = round( (x - 1/2) * 10n)/10n mod 10.
Теперь возьмём и построим число x, у которого целая часть равна нулю, а дробная часть задаётся десятичной дробью, такой что её n-ный знак вычисляется по формуле xn = decimal(n, n) + 2 mod 10.
Если у нас:
Dℝ #0 = 1.000..
Dℝ #1 = 0.032..
Dℝ #2 = 7.237..
, то x 0.259... Первый знак после запятой - сдвиг на два первой цифры первого числа, второй знак - сдвиг на два первой цифры второго знака второго числа, и так далее.Это число, как я уже сказал, конечным числом символов, значит содержится в Dℝ. Однако, по построению оно отличается как минимум в одном знаке дробной части от каждого Dℝ #n. Противоречие!
То есть для поля Dℝ невозможно найти представление, допускающее функцию round! Таким образом работать с этим полем на практике мы не можем, т.к. не можем в явном виде вычислять числа. И тут есть только два варианта дальнейших действий:
- Либо мы берём какое-то поле чуть поменьше, допускающее функцию round и теряем нужные вещественные числа;
- Либо мы берём какое-то поле чуть побольше, допускающее функцию round. Это поле, конечно, будет содержать какие-то невыразимые (нефинитарные) числа, зато будет содержать всё нужное!
Поле «чуть побольше», допускающее функцию round - это поле вещественных чисел ℝ. Не смотря на нефинитарность, не нужно его бояться - это очень удобный в работе и универсальный объект: поле ℝ - единственное вполне упорядоченное полное по Дедекинду поле. Вопросы нефинитарности ℝ в приложениях не мешают.
Квадратно-гнездовая механика невозможна
tarkhil: А вещественные числа - это точно не математическая абстракция? Если мир квантован - то именно абстракция... Как не может быть 0.8 атома углерода.
Это не так. Картина мира, где все физические величины кратны некой достаточно малой величине, называется не квантовой, а допифагорианской. В это действительно верили древние греки, пока Пифагор не открыл иррациональные числа. Квантовый мир совершенно не похож на клеточный автомат.
Во-первых, в квантовой механике только некоторые величины имеют дискретный спектр значений, большая же часть величин имеет непрерывный спектр или смешаный спектр, например энергия электрона в атоме водорода имеет дискретные уровни от нуля до 13.6 eV (энергии ионизации водорода), а начиная с этого уровня - непрерывный спектр, т.к. электрон свободен. Кроме непрерывной части и дискретной части, спектры величин могут ещё содержать фрактальную часть, для описания которой также требуются вещественные числа.
В мире, где все величины имели бы дискретный спектр, ничего бы не происходило - дискретные уровни энергии отвечают стационарным колебательным процессам. Только благодаря существованию величин с непрерывным и фрактальным спектром возможна нетривиальная эволюция. Характерным примером величины, имеющей непрерывный спектр, является длина. Так должно быть в любой теории, где хотя бы макроскопически соблюдается принцип относительности - а он макроскопически соблюдается, тут глупо спорить с фактами.
В качестве примера величины, которю мы не можем теоретически предсказать, но можем измерить с любой желаемой точнстью, является отношение средних радиусов атома водорода и позитрония - это конкретное вещественное число, одинаковое в любой области вселенной и во все времена, это природная константа, которую нельзя вычислить, но можно измерить со сколь угодно высокой точностью. Никаких физических преград, мешающих измерению с любой точностью не наблюдается ни в одной из существующих физических теорий: хоть по Аристотелю с Эвклидом, хоть по Ньютону, хоть согласно релятивистской квантовой теории поля, теории струн, петлевой квантовой гравитации (LQG) или некоммутативной геометрии - везде длины не квантованы и выражаются совершенно произвольными (в определённом положительном интервале) вещественными числами, а отношение указанных двух длин можно измерить с любой желаемой точностью при наличии достаточного количества энергии, а её во вселенной потенциально сколько угодно.
Таким образом, вещественные числа фундаментально необходимы для описания наблюдаемых результатов измерений независимо от того, квантовый у нас мир или классический.
Однако в гораздо большей степени они нужны для того, чтобы моделировать динамику. Вот например спин электрона квантован, это возможно вследствие того что его невозможно измерить недеструктивно. Каким бы методом и приспособлением мы не измеряли спин, измерение характеризуется ровно одной вещью направлением измерения v. В результате измерения мы получаем одно из двух значений: либо в результате измерения спин стал соноправлен v, либо -v. Два результата измерения - это конечный набор. Однако что происходит со спином между измерениями? Между измерениями спин электрона это единичный вектор w, которых континуум вариантов. Мы можем при помощи электромагнитного поля влиять на него, всяческие его крутить на сколь угодно малые углы. Однако не можем деструктивно измерить, даже самую капельку. А если хотим что-то измерить, то можем сунуть в аппарат штерна-герлаха с осью v, при прохождеии сквозь аппарат электрон выровняет спин вдоль этой оси и станет либо v, либо -v, вся точная информация об исходном направлении спина w сотрётся, об исходном положении спина останется лишь статистический отголосок: дело в том, что электрон примет состояние v с вероятностью sin ∡(w, v)/2 и -v с комплементарной вероятностью. Таким образом, если исходное направление w и ось аппарата v лежали рядом или наоборот почти диаметрально противоположно, то исход опыта практически предрешён, если исходный спин лежал близко к перпендикулярно оси плоскости, то мы напротив имеем дело с квантовым «подбрасыванием монетки».
Конечное/счётное число исходов измерений у квантованых величин никак не отменяет такого факта, что вся промежуточная между измерениями эволюция континуальна и без вещественных чисел никак не описуема. Законы динамики, описывающие эволюцию подсистем наблюдаемого мира с течением времени, хоть в квантовом, хоть в неквантовом случае, нуждаются в поле вещественных чисел. Ещё со времён Ньютона и по наши дни законы динамики выражаются дифференциальными уравнениями или сводятся к последним. Вообще говоря, это могут быть и более общие законы, однако есть два важных ограничения:
а) Шкала времени не может быть дискретной, это бы противоречило принципу относительности (сжатие времени в зависимости от скорости наблюдателя), который макроскопически проверен настолько хорошо, что ему есть основания доверять больше, чем своим глазам; исходя из верности макроскопического принципа относительности, шкала времени должна быть по меньшей мере плотна;
б) Весь опыт накопленный человечеством говорит нам, что ход вещей с течением времени непрерывен за исключением, возможно, конечного числа локализованных скачков в любой заданный интервал времени.
Говоря математически, динамика это кусочно-непрерывное действие плотного подмножества действительных чисел на пространство моментальных состояний физического мира. Эмми Нётер показала, что такое действие обязательно приводит к появлению локальной константы движения - в данном случае, закона сохранения энергии. В 1960ые средствами эргодической теории было показано, что комбинаторные уравнения (в т.ч. разностные, которыми можно аппроксимировать дифференциальные) на финитарных объектах неспособны порождать динамику с законами сохранения. Наблюдаемая нами воочию динамика может быть описана точно только с привлечением нефинитарных концепций.
В заключение позволю себе привести взгляд на вещественные числа глазами практика:
certus: Всегда можно сказать, что для ответа на конкретный физический вопрос нужно просто перелопатить достаточно большой, но конечный объём данных: отказать всем континуальным моделям в фундаментальности, заменив их их дискретными приближениями и ограничив область их применимости ещё и соображениями, вытекающими из теории численных методов. Но это, конечно, будет обманом трудящихся: ведь подавляющее большинство моделей, накопленных физикой к настоящему моменту, всё же основаны на геометрических представлениях о прямых и пространстве, опирающихся на вещественные числа. Более того, подход, основанный на вещественных числах, ещё и позволяет с отличной точностью предсказывать, что получится при разных способах дискретного приближения. Именно поэтому вещественным числам как фундаменту физики отдаётся предпочтение - других столь же удобных инструментов под рукой нет (и не предвидится, в силу того, что вещественные числа - единственное вполне упорядоченное полное по Дедекинду поле).