Модальная логика.

Feb 07, 2008 19:15

В прошлых сериях мы обсудили основания математики. Мы выяснили, что такое формальный язык и доказательство; узнали, что вся современная математика была поставлена на верифицируемую (лишенную субъективности проверки) основу, что была доказана непротиворечивость основ математики и хорошо понята их неполнота. Ещё мы поняли, что теория множеств - это идеализация, помогающая строить модели - в первую очередь модели для естественных наук.

Назовём мир теории множеств платоническим раем. В нем нёту объектов, в нем есть только значения. В смысле есть values и нет objects. В чём разница?
Вот яблоко - это яблоко. Его можно потрогать. Если у вас два разных яблока - это два разных яблока. Вас можно спросить - «а сколько у тебя яблок» - и вы скажете, что два. Можно поинтересоваться, сколько в мире вообще есть яблок и всё это будет иметь смысл. Яблоко - это объект.
А вот если у вас есть число 5 - это значение, с ним всё совсем иначе. Во-первых число пять не бывает «у вас». Оно бывает только "вообще". Во-вторых, вопрос «а сколько есть чисел пять?» - вопрос идиотский и бессмысленный. И даже сам вопрос «а существует ли число пять?» начисто лишён привычного смысла. В математике просто нету понятия «существует ли в принципе». Слово «существует» используется в совершенно другом смысле. Вот в таком: «Существует ли натуральное число, равное 4 + 1» - да, существует. «А существует ли натуральное число, равное 3/2» - нет, не существует. Т.е. мы интересуемся, являются ли указанные нами свойства взаимоисключающими. В первом случае эти свойства «является натуральным числом» и «равняется 4 + 1». И в данном случае они не являются взаимоисключающими. Во втором - являются. Согласитесь, ничего общего с существованием яблока.

Вопросом существования яблок в своё время занялся математик Крипке. Но прежде чем я расскажу, как он решил этот вопрос, надо рассказать, откуда у нас в голове берутся объекты.




Вот у нас на руках появилась физическая модель. Сложная как чёрт и непрерывная. Даже если в простой классической картине мира, не вдаваясь в подробности теорий относительности и квантовой механики... Перед нами трехмерное пространство, наполненное полями. Т.е. каждой его точке сопоставлены векторы электрического, магнитного и гравитационного поля. Во всём этом в огромном количестве плавают частицы, двигаясь под действием силы полей. Вот у нас в комнате стоит стул, а вокруг него воздух. Но между ними нет никакой пространственной границы. Всё размазано. Нету никаких объектов, даже отдалённо. Только числа в пространстве. Мно-о-ого чисел, и что самое страшное, если вдаваться в подробности квантовой механики, ещё и в бесконечномерном пространстве. Отвратительно, правда? Откуда в этом месиве значений взяться нашим замечательным объектам, которыми мы оперируем в голове?

Через органы чувств - глаза, уши и т.д. - к нам в мозг поступает поток отдельных значений - из ушей звуковые семплы, из глаз картинки. Пока мы рассматриваем моментальный временной срез - перед нами только значения. Концепция объекта возникает из нашего восприятия времени. Наш мозг умудряется отфильтровать из потока входящей информации куски, которые «постепенно эволюционируют» во времени. Т.е. часть их свойств меняется, а часть остаётся постоянной. Мы отфильтровываем из большого входящего потока значений значения, у которых часть свойств не меняется. Получившуюся последовательность значений мы называем объектом. Отдельные значения из этой последовательности мы называем состоянием объекта на такой-то момент, а неизменную часть свойств - уникальным признаком объекта. Вот, собственно, и всё.

Из этого определения вытекает всё, что нужно знать об объектах:
1) «Уникальный признак объекта» не меняется во времени. (По построению)
2) В любой момент времени уникальный признак объекта однозначно определяет объект (иначе наши мозги бы не смогли построить объект - в какой-то момент по признаку поймались бы два входящих сообщения)

Тут выясняется, что «уникальный признак объекта» тоже имеет свойство меняться во времени (только медленно и плавно) и поэтому наш мозг несколько абстрагируется и придумывает уникальный признак, не связанный со внешними свойствами объекта. То есть, просто "имя". Вот я, например, очень существенно менялся за последние 22 года и на взгляд идентифицировать меня сразу после рождения и сейчас сложно. Однако если следить за мной регулярно - нет проблем. А уникальный идентификатор - это моё имя и фамилия, которые на мне нигде не написаны.

Имеенно такую абстракцию привёл в логику Сауль Крипке.
Теория множеств и другие теории чистой математики - это теории с очень экономичным словарём. Кроме общих для всей математики союзов (типа «и» и «поэтому»), местоимений и грамматики там содержится буквально пара слов. «Принадлежать», например. Набор аксиом там тоже мал. Задача такая была. Создать аккуратную и проверяемую теорию, в которое можно засунуть всё.

Вместо этого Крипке предлагает использовать теории, где слов в словаре очень много, но работают они все очень просто. Там есть математические связки, есть специальные слова типа «существует», «возможно» и «обязательно», но подавляющее большинство слов в теории - имена собственные. Это объекты, с которыми мы работаем. Точно также с аксиомами. Есть несколько аксиом касающихся специальных слов, но большинство - произвольные высказывания об объектах. Эти аксиомы называются фактами, а их множество - knowledge base, база знаний. Объекты имеющие одинаковые свойства, но разные имена, считаются разными. Это плод той абстракции, о которой мы говорили выше. «На самом деле» у объектов конечно есть какие-то внутренние свойства, позволяющие их различить, но мы просто оставляем эти свойства за скобками теории.

Такие логики называются модальными. Они все являются логиками первого порядка, а следовательно в них нету открытых вопросов. Они просты и полны. Их непротиворечивость проверяется в два счёта. В рамках таких логик нельзя вести рассуждений о бесконечностях и действительных числах, зато на них прекрасно ложится задача накопления знаний об объектах реального мира и деланьи выводов из этих знаний. Примеры высказываний, которые возможны в рамках самой простой модальной логики:
«akuklev существует», «этот текст написал akuklev», «Возможно президентом США станет Джон МакКейн».

Модальные логики отличаются друг от друга набором специальных слов. В вышеприведённой это только «возможно» и «обязательно». В темпоральной есть «после того как» и «сейчас». В общем, богат выбор. Основная область применения модальных логик - формализация фраз на естественном языке, математическая лингвистика. Существуют могучие логические системы, способные выразить всё богатство смысловых конструкций естественных языков (смысловых, не эмоциональных) и компьютерные программы, анализирующие тексты и превращающие их в knowledge bases. И это не просто можно сделать, это уже делается. Задайте в Google вопрос «When was Elvis Presley born?».

* * *
Стоит также упомянуть, что в рамках модальной логики великолепно формализуется этика. Если добавить унарных операторов «можно», «следует» и унарный оператор императива в одну известную модальную логику, то получается богатый язык, содержащий такие сложные понятия как «заслуживать» и «сожалеть». Для дальнейшего ознакомления рекомендую книгу Formal Ethics 1996 года (находится в два счёта через Google) и свежие статьи на тему. В частности становится понятно, что при достаточно богатом словаре юридических терминов, законы можно тоже записывать на формальном и строгом языке, не допускающем разночтений.
http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_ethics
Previous post Next post
Up