Троянские солнечные зайцы
Большинство астероидов имеют форму, далёкую от сферической. Их гравитационное поле на расстоянии меньше нескольких радиусов довольно сильно отклоняется от сферической симметрии. Соответственно, орбиты тел, обращающихся вокруг астероида на небольшом расстоянии нетривиально отличаются от кеплеровских.
Тем не менее, если астероид вытянут и более-менее симметричен вокруг длинной геометрической оси, можно приблизить его поле полем двух гравитирующих точек, обращающихся вокруг общего центра масс. Если при этом тело вращается вокруг оси, перпендикулярной его длинной геометрической оси (*), к движению тела вокруг астероида можно применить математические наработки для ограниченной задачи трех тел.
[Замечание](*) Замечание: ось, перпендикулярная длинной - главная ось инерции, которой соответствует наибольший момент инерции (ГОИНМИ). При вращении вокруг этой оси тело имеет минимально возможную вращательную кинетическую энергию при фиксированном моменте импульса. Поэтому любое деформируемое тело при отсутствии внешних воздействий при наличии достаточного времени придет к вращению вокруг ГОИНМИ. Динамически этот процесс выглядит так: при вращении вокруг оси, отличной от ГОИНМИ, внутри тела будут возникать переменные механические напряжения, которые приводят к деформации тела, трению между его слоями и преобразовании вращательной кинетической энергии в тепло. Чем крупнее тело - тем быстрее процесс диссипации энергии и тем быстрее оно придет к вращению вокруг ГОИНМИ.
Из ограниченной задачи трех тел известно, что для пробного тела пренебрежимо малой массы, на которое действует поле двух массивных тел, будут существовать пять точек равновесия, называемых точками Лагранжа. В случае астероида, точка L1 будет находится в его глубинах. А все остальные точки будут находится на астеороидостационарной орбите, т.е. вращаться вокруг астероида с периодом, равным периоду обращения астероида. На всякий случай подчеркну - речь в данном случае идет не о точках Лагранжа системы астероид-Солнце, а о точках Лагранжа, возникающих рядом с самим астероидом из-за его несферичности.
Задача об определении условий устойчивости равновесия в точках либрации в окрестностях вытянутого астероида, приближенного парой точечных тел, называется задачей Черных (Chermnykh problem).
Равновесие в коллинеарных точках (L2 и L3) неустойчиво всегда. А вот устойчивость равновесия в троянских точках (L4 и L5) зависит от скорости вращения астероида. Естественным масштабом тут является угловая скорость вращения Ω0, которая равна скорости обращения двух массивных точечных тел, полем которых мы приближаем поле астероида, если бы они удерживались на круговой орбите вокруг друг друга только гравитацией.
Если угловая скорость больше Ω0, то центробежные силы, раздирающие астероид, больше гравитационных, и астероид развалится на два куска от первой же трещины. Поэтому у подавляющего числа астероидов угловая скорость меньше, чем Ω0.
В случае Ω= Ω0, равновесие в троянских точках устойчиво, если отношение масс тел, имитирующих поле астероида, больше 25. Астероид, идеально соответствующий такой модели, будет выглядеть как два слепленных вместе шара, диаметр одного из которых меньше диаметра второго приблизительно в три раза.
Если скорость вращения астероида меньше Ω0, условия устойчивости становятся менее жесткими. Если скорость вращения меньше Ω0 более чем в 5.08… раз, равновесие в троянских точках устойчиво вне зависимости от отношения масс. Пробное тело, помещенное вблизи одной из троянских точек, будет двигаться по орбите вокруг точки и никогда не покинет ее окрестностей без внешнего воздействия.
(слева) Орбиты вокруг троянских точек (в вращающейся системе координат), соответствующие нормальным модам колебаний в плоскости «экватора» для случая, когда отношение масс «частей» астероида M1/M2=16, а скорость Ω= Ω0/2.5. (справа) Пример орбиты, соответствующей сумме нормальных мод. Ось х на направлена вдоль длинной оси астероида, ось y - в плоскости «экватора» астероида поперек длинной оси.
Поскольку периоды колебаний в плоскости «экватора» и вдоль вертикальной оси разные, траектория пробного тела будет трехмерной кривой Лиссажу. Период колебаний по вертикальной оси (т.е. направленной вдоль оси вращения астероида) будет равен периоду вращения астероида. Периоды колебаний у нормальных мод в плоскости «экватора» астероида больше, чем у вертикальной, и зависят от отношения масс «составляющих» астероида и его скорости вращения. Отношение периодов в общем случае не равно отношению целых чисел, так что траектория не замкнута.
[Литература]Литература: T.Prieto-Llanos and M.A.Gomez-Tierno, Stationkeeping at Libration Points of Natural Elongated Bodies, JOURNAL OF GUIDANCE, CONTROL, AND DYNAMICS, Vol.17, No.4, 1994
После этого длинного и строго академического введения, перейдем к изобретательству и рационализаторству. Ничто так не закрепляет знания, как попытка их как-то использовать.
В троянских точках астероида можно разместить зеркала, и концентрировать ими солнечный свет на базу на астероиде.
Обычно, когда речь заходит о размещении зеркал в космосе, людям представляется что-то монолитно-огромное. Однако, если мы сравним энергию, которая нужна для придания одной и той угловой скорости одному 100метровому зеркалу и нарезанным из него ста 10метровым зеркалам, окажется, что во втором случае ее потребуется в сто раз меньше (потому, что линейная скорость краев зеркала во втором случае в 10 меньше). А несущие конструкции подвержены закону, отрытому еще Галилеем - при линейном росте с сохранением пропорций прочность растет квадратично, а масса - кубически.
Так что оптимальный вариант - облако мелких зеркал. В троянской точке облако будет удерживаться от расползания. Для ориентации зеркал каждое можно оснастить гиродином, например.
Некоторой проблемой является предотвращение столкновений зеркал. Для этого нужно разместить их на непересекающихся орбитах. Простейший вариант, который приходит мне в голову: размещение зеркал на орбитах, соответствующих одной и той же нормальной моде, но с разной амплитудой. Тогда они будут двигаться в плоскости «экватора» астероида по эллипсам разных размеров вокруг троянской точки. Если зеркал нужно много, их можно разместить цепочкой на одной и той же орбите. Правда, если зеркал реально много, а плоскость «экватора» астероида совпадает с плоскостью его орбиты вокруг Солнца, они будут заслонять друг друга. Но можно придать им колебания вдоль «вертикальной» оси с разной амплитудой. Большую часть времени зеркала будут проводить вблизи «вертикальной» точки поворота.
Траектории зеркал на предлагаемых орбитах. Размах вертикальных колебаний завышен для наглядности.
Такая «конструкция» не очень стабильна. Из-за ангармонических членов в эффективном потенциале, зеркала будут постепенно сползать с орбит, соответствующих нормальным модам, что в итоге приведет к столкновениям. Так что понадобятся еще активно маневрирующие «пастухи», поправляющие орбиты зеркал. Впрочем, они и так понадобятся, хотя бы для периодической разгрузки гиродинов зеркал.
С другой стороны, учитывая, что первая космическая скорость для 10км астероида всего несколько метров в секунду, а скорость столкновений в облаке зеркал будет еще на пару порядков меньше, столкновения можно просто игнорировать. Хаотически движущиеся зеркала собьются в два вытянутых облака вокруг троянских точек, напоминающие разрезанное на два куска кольцо.
Тем не менее, если астероид вытянут и более-менее симметричен вокруг длинной геометрической оси, можно приблизить его поле полем двух гравитирующих точек, обращающихся вокруг общего центра масс. Если при этом тело вращается вокруг оси, перпендикулярной его длинной геометрической оси (*), к движению тела вокруг астероида можно применить математические наработки для ограниченной задачи трех тел.
[Замечание](*) Замечание: ось, перпендикулярная длинной - главная ось инерции, которой соответствует наибольший момент инерции (ГОИНМИ). При вращении вокруг этой оси тело имеет минимально возможную вращательную кинетическую энергию при фиксированном моменте импульса. Поэтому любое деформируемое тело при отсутствии внешних воздействий при наличии достаточного времени придет к вращению вокруг ГОИНМИ. Динамически этот процесс выглядит так: при вращении вокруг оси, отличной от ГОИНМИ, внутри тела будут возникать переменные механические напряжения, которые приводят к деформации тела, трению между его слоями и преобразовании вращательной кинетической энергии в тепло. Чем крупнее тело - тем быстрее процесс диссипации энергии и тем быстрее оно придет к вращению вокруг ГОИНМИ.
Из ограниченной задачи трех тел известно, что для пробного тела пренебрежимо малой массы, на которое действует поле двух массивных тел, будут существовать пять точек равновесия, называемых точками Лагранжа. В случае астероида, точка L1 будет находится в его глубинах. А все остальные точки будут находится на астеороидостационарной орбите, т.е. вращаться вокруг астероида с периодом, равным периоду обращения астероида. На всякий случай подчеркну - речь в данном случае идет не о точках Лагранжа системы астероид-Солнце, а о точках Лагранжа, возникающих рядом с самим астероидом из-за его несферичности.
Задача об определении условий устойчивости равновесия в точках либрации в окрестностях вытянутого астероида, приближенного парой точечных тел, называется задачей Черных (Chermnykh problem).
Равновесие в коллинеарных точках (L2 и L3) неустойчиво всегда. А вот устойчивость равновесия в троянских точках (L4 и L5) зависит от скорости вращения астероида. Естественным масштабом тут является угловая скорость вращения Ω0, которая равна скорости обращения двух массивных точечных тел, полем которых мы приближаем поле астероида, если бы они удерживались на круговой орбите вокруг друг друга только гравитацией.
Если угловая скорость больше Ω0, то центробежные силы, раздирающие астероид, больше гравитационных, и астероид развалится на два куска от первой же трещины. Поэтому у подавляющего числа астероидов угловая скорость меньше, чем Ω0.
В случае Ω= Ω0, равновесие в троянских точках устойчиво, если отношение масс тел, имитирующих поле астероида, больше 25. Астероид, идеально соответствующий такой модели, будет выглядеть как два слепленных вместе шара, диаметр одного из которых меньше диаметра второго приблизительно в три раза.
Если скорость вращения астероида меньше Ω0, условия устойчивости становятся менее жесткими. Если скорость вращения меньше Ω0 более чем в 5.08… раз, равновесие в троянских точках устойчиво вне зависимости от отношения масс. Пробное тело, помещенное вблизи одной из троянских точек, будет двигаться по орбите вокруг точки и никогда не покинет ее окрестностей без внешнего воздействия.
(слева) Орбиты вокруг троянских точек (в вращающейся системе координат), соответствующие нормальным модам колебаний в плоскости «экватора» для случая, когда отношение масс «частей» астероида M1/M2=16, а скорость Ω= Ω0/2.5. (справа) Пример орбиты, соответствующей сумме нормальных мод. Ось х на направлена вдоль длинной оси астероида, ось y - в плоскости «экватора» астероида поперек длинной оси.
Поскольку периоды колебаний в плоскости «экватора» и вдоль вертикальной оси разные, траектория пробного тела будет трехмерной кривой Лиссажу. Период колебаний по вертикальной оси (т.е. направленной вдоль оси вращения астероида) будет равен периоду вращения астероида. Периоды колебаний у нормальных мод в плоскости «экватора» астероида больше, чем у вертикальной, и зависят от отношения масс «составляющих» астероида и его скорости вращения. Отношение периодов в общем случае не равно отношению целых чисел, так что траектория не замкнута.
[Литература]Литература: T.Prieto-Llanos and M.A.Gomez-Tierno, Stationkeeping at Libration Points of Natural Elongated Bodies, JOURNAL OF GUIDANCE, CONTROL, AND DYNAMICS, Vol.17, No.4, 1994
После этого длинного и строго академического введения, перейдем к изобретательству и рационализаторству. Ничто так не закрепляет знания, как попытка их как-то использовать.
В троянских точках астероида можно разместить зеркала, и концентрировать ими солнечный свет на базу на астероиде.
Обычно, когда речь заходит о размещении зеркал в космосе, людям представляется что-то монолитно-огромное. Однако, если мы сравним энергию, которая нужна для придания одной и той угловой скорости одному 100метровому зеркалу и нарезанным из него ста 10метровым зеркалам, окажется, что во втором случае ее потребуется в сто раз меньше (потому, что линейная скорость краев зеркала во втором случае в 10 меньше). А несущие конструкции подвержены закону, отрытому еще Галилеем - при линейном росте с сохранением пропорций прочность растет квадратично, а масса - кубически.
Так что оптимальный вариант - облако мелких зеркал. В троянской точке облако будет удерживаться от расползания. Для ориентации зеркал каждое можно оснастить гиродином, например.
Некоторой проблемой является предотвращение столкновений зеркал. Для этого нужно разместить их на непересекающихся орбитах. Простейший вариант, который приходит мне в голову: размещение зеркал на орбитах, соответствующих одной и той же нормальной моде, но с разной амплитудой. Тогда они будут двигаться в плоскости «экватора» астероида по эллипсам разных размеров вокруг троянской точки. Если зеркал нужно много, их можно разместить цепочкой на одной и той же орбите. Правда, если зеркал реально много, а плоскость «экватора» астероида совпадает с плоскостью его орбиты вокруг Солнца, они будут заслонять друг друга. Но можно придать им колебания вдоль «вертикальной» оси с разной амплитудой. Большую часть времени зеркала будут проводить вблизи «вертикальной» точки поворота.
Траектории зеркал на предлагаемых орбитах. Размах вертикальных колебаний завышен для наглядности.
Такая «конструкция» не очень стабильна. Из-за ангармонических членов в эффективном потенциале, зеркала будут постепенно сползать с орбит, соответствующих нормальным модам, что в итоге приведет к столкновениям. Так что понадобятся еще активно маневрирующие «пастухи», поправляющие орбиты зеркал. Впрочем, они и так понадобятся, хотя бы для периодической разгрузки гиродинов зеркал.
С другой стороны, учитывая, что первая космическая скорость для 10км астероида всего несколько метров в секунду, а скорость столкновений в облаке зеркал будет еще на пару порядков меньше, столкновения можно просто игнорировать. Хаотически движущиеся зеркала собьются в два вытянутых облака вокруг троянских точек, напоминающие разрезанное на два куска кольцо.