(no subject)
Мы написали работу http://arxiv.org/abs/1506.08324, мне эта работа дороже, чем про группы сфер. Дело вот в чем. Когда-то давно, лет 10 или больше назад, пришла идея о том, что то 2-кручение, что мы видим в размерных факторах - это то самое кручение, что есть в гомотопических группах сфер. Дальше же пытался осмыслить "размерные факторы - это ядра обобщенных гомоморфизмов Гуревича", но все как-то выходило слишком спекулятивным. А идея о связи 2-кручения вообще казалась неправильной шизофренической ассоциацией.
Есть два похожих явления, с которыми ты часто сталкиваешься, и очень хочется их связать. Количество голубей, прилетающих к твоему дому по утрам и номер маршрутки, на которой едешь к метро. Курс доллара и твой собственный вес. Если это связывается в одну систему, чаще всего является связкой "пространства неправильных ассоциаций" и служит кормом для деформированного сознания.
Сейчас подробнее расскажу. В теории групповых колец почти нет методов извне. Это огромная область с множеством тончайших трюков и понятий. Одна из фундаментальных задач там - описание подгрупп, высекаемых 2-сторонними идеалами. Задается идеал, смотрим, что он высекает в группе G\cap (1+идеал). Получаются весьма сложные ответы типа. Если RF\cap (1+ffr)=[R\cap F', R\cap F'][R,R,R] - простейший случай проблемы Фокса.
И вот, наш результат на пальцах. Берем любую группу G и три нормальные подгруппы R,S,T. Смотрим соответствующие идеалы r,s,t в Z[G]. Делаем тройной коммутант ||R,S,T|| и тройное произведение идеалов ||r,s,t||. Спрашивается, верно ли, ||r,s,t|| высекает в точности ||R,S,T||? Это верно для двух подгрупп, а для трех оказывается неверно. Но получается, что фактор G\cap (1+||r,s,t||) по ||R,S,T|| - это всегда лишь 2-кручение.
Док-во целиком гомотопическое! Используются скрещенные кубы в категории симплициальных колец, кубы расслоений и т д. Это 2-кручение лежит в ядре гом-ма Гуревича \pi_2(\Omega X) ---> H_2(\Omega X) для некоторого X. X - это гомотопический пушаут диаграммы из восьми классифицирующих пр-в, построенных по G,R,S,T.
Для любого связного пр-ва X, ядро гом-ма Гуревича \pi_2(\Omega X) ---> H_2(\Omega X) это всегда лишь 2-кручение. Просто ядро \pi_3(X) ---> H_3(X) может быть чем угодно, а после взятия петель вот так.
Как ни смешно, первый пример, когда рассматриваемый фактор нетривиален, мы придумали, используя К-теорию. Ядро K_3(Z) =Z/48 ---> H_3(SL(Z)) =Z/24 это Z/2, и это Z/2 красиво реализуется как этот обобщенный размерный фактор для определенного выбора G,R,S,T.
То есть, получилось таки! 2-кручение в обобщенной размерной подгруппе - это именно то же самое 2-кручение, что есть в обобщенном гомоморфизме Гуревича. Задача про буквы, текст, сокращение в групповом кольце решается методом из совершенно другой области! Прошлая работа из этой области http://arxiv.org/abs/1506.02124 - другого типа, там получилось, что производные функторы оказались внутри обобщенных размерных факторов - тоже неожиданно и красиво, но все же круче прямая связь текст --- пространство --- текст с явными результатами о групповых кольцах, которые непонятно как сделать комбинаторно.
Есть два похожих явления, с которыми ты часто сталкиваешься, и очень хочется их связать. Количество голубей, прилетающих к твоему дому по утрам и номер маршрутки, на которой едешь к метро. Курс доллара и твой собственный вес. Если это связывается в одну систему, чаще всего является связкой "пространства неправильных ассоциаций" и служит кормом для деформированного сознания.
Сейчас подробнее расскажу. В теории групповых колец почти нет методов извне. Это огромная область с множеством тончайших трюков и понятий. Одна из фундаментальных задач там - описание подгрупп, высекаемых 2-сторонними идеалами. Задается идеал, смотрим, что он высекает в группе G\cap (1+идеал). Получаются весьма сложные ответы типа. Если RF\cap (1+ffr)=[R\cap F', R\cap F'][R,R,R] - простейший случай проблемы Фокса.
И вот, наш результат на пальцах. Берем любую группу G и три нормальные подгруппы R,S,T. Смотрим соответствующие идеалы r,s,t в Z[G]. Делаем тройной коммутант ||R,S,T|| и тройное произведение идеалов ||r,s,t||. Спрашивается, верно ли, ||r,s,t|| высекает в точности ||R,S,T||? Это верно для двух подгрупп, а для трех оказывается неверно. Но получается, что фактор G\cap (1+||r,s,t||) по ||R,S,T|| - это всегда лишь 2-кручение.
Док-во целиком гомотопическое! Используются скрещенные кубы в категории симплициальных колец, кубы расслоений и т д. Это 2-кручение лежит в ядре гом-ма Гуревича \pi_2(\Omega X) ---> H_2(\Omega X) для некоторого X. X - это гомотопический пушаут диаграммы из восьми классифицирующих пр-в, построенных по G,R,S,T.
Для любого связного пр-ва X, ядро гом-ма Гуревича \pi_2(\Omega X) ---> H_2(\Omega X) это всегда лишь 2-кручение. Просто ядро \pi_3(X) ---> H_3(X) может быть чем угодно, а после взятия петель вот так.
Как ни смешно, первый пример, когда рассматриваемый фактор нетривиален, мы придумали, используя К-теорию. Ядро K_3(Z) =Z/48 ---> H_3(SL(Z)) =Z/24 это Z/2, и это Z/2 красиво реализуется как этот обобщенный размерный фактор для определенного выбора G,R,S,T.
То есть, получилось таки! 2-кручение в обобщенной размерной подгруппе - это именно то же самое 2-кручение, что есть в обобщенном гомоморфизме Гуревича. Задача про буквы, текст, сокращение в групповом кольце решается методом из совершенно другой области! Прошлая работа из этой области http://arxiv.org/abs/1506.02124 - другого типа, там получилось, что производные функторы оказались внутри обобщенных размерных факторов - тоже неожиданно и красиво, но все же круче прямая связь текст --- пространство --- текст с явными результатами о групповых кольцах, которые непонятно как сделать комбинаторно.