День знаний
Несколько человек попросили рассказать о нереализованных идеях, что там еще осталось и не получилось доделать до конца? Ну, не то, что не получилось. Гораздо больше получилось. Но что-то осталось.
Программа функториальных склеек. Это сложная и масштабная программа. Основная идея проста: между функторами не так много склеек, и в ряде важных случаев все их можно проконтролировать, то есть, либо описать весь функториальный Ext, либо его практически нужную часть.
Есть некая спектралка, мы делаем ее функториальной, зависящей, скажем, от абелевой группы, эта спектралка сильно невырожденная, дикая, как почти все спектралки. Оценить ее поведение - одна из самых сложных задач вообще. Но качественно можно кое-что сказать. Например то, что функторы, присутствующие на бесконечном листе, не могут склеиваться в высокие экспоненты. Сколько бы их не было рассыпано по листу, хоть миллиарды, не могут задать качественно иной сложности. Это все контролируется функториальными Ext-ами.
На эту тему у меня было исписаны сотни страниц, описан первый лист нестабильной спектралки Кертиса функториально. Проблема свелась к тому, что непонятно, как контролировать естественные преобразования между функторами - то есть высшие стрелки спектралки. Кажется, там не может быть извращенных стрелок, все они, как правило, банальны, и вся их сложность - это дикая комба, но она плоская, там происходят какие-то лютые банальные уничтожения, они не влияют на качественную картину, а количественно все это смотреть и не нужно.
Первым шагов в реализации этих идей хотелось сделать вот, что. Посмотреть Z/8-кручение в \pi_7 сложных пространств, функториально зависящих от абелевых групп, например у надстроек над K(-\otimes Z/2,1). Показать хоть для какого-нибудь пространства отсутствие высокой экспоненты в какой-нибудь гомотопической группе именно функториально. Классические результаты типа оценок Барратта там получаются простыми функториальными оценками. И кажется, что это может быть новым подходом к проблемам Мура и Барратта.
Все эти клетки спектралок - по сути продеформированные производные функторы. И вся эта наука об их взаимоотношениях. Работы много, все это требует фанатизма.
Дальше. Метабелевы группы и К-теория. Мы с Баумслагом и Орром работали над этой программой несколько лет и забили в итоге. А вскоре Баумслаг ушел и мы с Орром решили даже не выкладывать препринт в сеть, там 47 страниц какой-то лютой теории, но все это не дописано в виде статьи, а выкладывать сырой материал не хотелось. В 2013-м мне позвонил Баумслаг и сказал, что мы можем решить проблему изоморфизма для метабелевых групп, но надо поработать годик, я могу приехать к нему в Нью-Йорк и мы точно ее решим. А у меня были совсем другие интересы тогда, и ничего мы не решили. Но мы плотно переплели все эти метабелевости с ideal class theory. Построили разные экзотические примеры с помощью ideal class theory, построили метабелевы телескопы и много чего еще. Но в основном все осталось не реализованным. Самое начало этой теории здесь https://www.mathnet.ru/rus/present5762 это еще 12-й год, мы много чего сделали после. Кстати, после этой лекции подошел какой-то светила арифметической науки и сказал, что это было brilliant, surprising и все такое. В общем, все эти черновики у меня лежат, но не думаю, что надо где-то выкладывать. Теория интересная, но требует лютой работы.
EFU - Elementary functorial universe. Описание всех гомологий всех пр-в Э-М функториально. Верно ли, что того, что мы сделали с Брином и Тузе в 100-страничной статье в GT + того, что появляется в HK(A,4) достаточно для всех размерностей? Иерархии странных функторов и т п - очень сложные исследования, кто-нибудь все это доделает рано или поздно.
Fr-язык. Он только в самом начале своего развития. Здесь писал об открытых проблемах. Вообще, сейчас есть закрытые философские и психологические группы, изучающие языки новых сборок, в том числе мой RN-язык. Периодически один из лидеров этого движения мне рассказывает об успехах. Там идея простая. Есть языки, на которых можно описывать крайне компактно сложные концепции. То, что на этих языках, как правило, нельзя описывать простые и принятые концепции, это другой вопрос, возможно, так и должно быть. И вот, fr-язык - один из таких. Там можно годами залипать и раскрывать что-то новое, придумывать словари, находить связи, описывать стаканы, альтернативы, и вообще представить все это как новую лингвистику.
Проблема Милнора о трансфинитных инвариантах по сути была решена здесь https://arxiv.org/abs/1909.10181 но для торических расслоений, а не линков. Для линков уже не знаю, как там изощряться, чтобы применить трансфиниты, но они определенно однажды применятся и дадут вклад в 4-мерную топологию. Ну да, я это забросил когда-то в основном из-за того, что меня линки не особо интересовали.
Программа гомотопических фантомов. Паттерны, поедающие другие паттерны. Об этом даже больно говорить.
Программа h-паттернов уже получила реализацию. Решение классической проблемы размерных подгрупп - только начало большой теории, которая есть там внутри. «раздутие паттернов» и т д, реализация гомотопической сложности внутри абстрактных алфавитов - это же чисто «пространство звучит через Азбуку» Хлебникова. Абстрактные тантра-мантра-янтра. Все получилось. Но там много чего еще можно сделать удивительного. Не исключено, что получится решить много других классических алг проблем, h-паттерны - как древние ископаемые, которые можно раздуть или огранить, и они зададут нечеловеческую сложность с нужными свойствами.
«На границе между явным и неявным живут h-паттерны» - вот основной тезис. Если светить фонариком там по стенам, увидятся змейки - такие наскальные узорчики нечеловеческой эпохи. Их можно брать как драгоценные металлы и делать из них изделия.
Что круто - все это чисто новое и не похожее на старые идеи из теории функторов, гомотопической топологии и т д . Существование таких идей показывает, насколько многообразно там все, классно же, что можно не зацикливаться на старых парадигмах, а делать новое творчество.