Обсуждение школьной задачки по теме "радиоактивный распад".
Преподавательская заметка по физике, интересна только участникам процесса.
https://easy-physic.ru/category/physic/ege1/yadernaya-fizika/zakon-radioaktivnogo-raspada-2
Задача 4
В герметичной ампуле содержится 1 мг радия Ra_226. Какое количество ядер радона Rn_224 накопится в ампуле через двое суток? Известно, что период полураспада радия 1600 лет, период полураспада радона 3,8 дня.
Я, лично, считаю неправильным давать школьникам задачи на дифференциальные уравнения.
Хотя эти уравнения упоминаются в школьном курсе математики, дается очень мало навыков по методам решения таких уравнений. Ну да ладно. Раз уж такая задача попалась, будем решать.
Поехали!
Общие сведения о радиоактивном распаде (безотносительно данной задачи).
Т1/2 - период полураспада
t - время
N - число атомов (от времени)
N0 - число атомов в момент t=0.
Введем постоянную распада λ = ln(2) / Т1/2
Тогда.
Вероятность распада ядра в единицу времени = λ
Изменение числа атомов в единицу времени:
dN/(dt) = -λ N
Число атомов от времени:
N = N0 e-λt
Применительно к задаче.
N - количество атомов радия (от времени). Относительное изменение N за 2 дня очень мало.
X - количество атомов радона (от времени). Здесь, наоборот, существенная зависимость от времени. Именно X нам и нужно найти.
По смыслу задачи, в нулевой момент времени радона в пробирке нет. X0=0
Все времена, если иначе не оговорено, будем измерять в днях.
λ - постоянная распада радия (маленькое число, маленькая буква ) λ = ln(2) / Т1/2 радия
Λ - постоянная распада радона (большое число, большая буква) Λ = ln(2) / Т1/2 радона
Введем еще одно обозначение
Л = λ/Λ
У нас возникают новые атомы радона из-за распада радия. И убывают из-за распада радона.
Кроме того, запишем граничное условие - изначально в пробирке радона не было.
Получаем систему из 2 уравнений.
dX/(dt) = λ N - Λ X
X0 = 0
Чтобы почувствовать, как решается данное дифференциальное уравнение, рассмотрим более простую вещь - ту же систему уравнений с единичными коэффициентами.
dx/(dt) = v - x , где v - константа
x0 = 0
Замена: y = x - v
dy/(dt) = -y
y0 = -v
y = const * e-yt
y0 = -v
y = -v * e-yt
x = v - v * e-yt
x = v (1 - e-yt)
Теперь попытаемся решить исходную систему уравнений и не запутаться в коэффициентах.
Перепишем еще раз
dX/(dt) = λ N - Λ X
X0=0
dX/(dt) = -Λ * (X - Л N)
X0=0
Замена: Y = X - Л N
dY/(dt) = - Λ Y
Y0 = -Л N
Y = Y0 * e-Λ t
Y0 = -Л N
Y = -Л N * e-Λ t
X = Л N -Л N * e-Λ t
X = Л N *(1 - e-Λ t)
Далее - долгий и муторный числовой подсчет.
Радон . Период полураспада 1600 лет = 584000 дней
Радий. Период полураспада 3,8 дня
Л = Т1/2 радона / Т1/2 радия
Л = 3,8 / (5,84*10^5)
Число атомов радия N = 6 * 1023 * (1 * 10-3) / 226 = 2.65 * 1018
Л N = 1.72 * 1013
Λ = ln(2) / Т1/2 радона
Λ = 0,693/(3,8 дней)
e-Λ t = e-2*0.693/3.8 = e-0.36 = 0.70
X = Л N *(1 - e-Λ t)
X = 1.72 * 1013 * (1 - 0.70)
X = 0.52 * 1013
X = 5.2 * 1012
На сайте был предложен ответ X = 4.4 * 1012. Наблюдается расхождение.
https://easy-physic.ru/category/physic/ege1/yadernaya-fizika/zakon-radioaktivnogo-raspada-2
Задача 4
В герметичной ампуле содержится 1 мг радия Ra_226. Какое количество ядер радона Rn_224 накопится в ампуле через двое суток? Известно, что период полураспада радия 1600 лет, период полураспада радона 3,8 дня.
Я, лично, считаю неправильным давать школьникам задачи на дифференциальные уравнения.
Хотя эти уравнения упоминаются в школьном курсе математики, дается очень мало навыков по методам решения таких уравнений. Ну да ладно. Раз уж такая задача попалась, будем решать.
Поехали!
Общие сведения о радиоактивном распаде (безотносительно данной задачи).
Т1/2 - период полураспада
t - время
N - число атомов (от времени)
N0 - число атомов в момент t=0.
Введем постоянную распада λ = ln(2) / Т1/2
Тогда.
Вероятность распада ядра в единицу времени = λ
Изменение числа атомов в единицу времени:
dN/(dt) = -λ N
Число атомов от времени:
N = N0 e-λt
Применительно к задаче.
N - количество атомов радия (от времени). Относительное изменение N за 2 дня очень мало.
X - количество атомов радона (от времени). Здесь, наоборот, существенная зависимость от времени. Именно X нам и нужно найти.
По смыслу задачи, в нулевой момент времени радона в пробирке нет. X0=0
Все времена, если иначе не оговорено, будем измерять в днях.
λ - постоянная распада радия (маленькое число, маленькая буква ) λ = ln(2) / Т1/2 радия
Λ - постоянная распада радона (большое число, большая буква) Λ = ln(2) / Т1/2 радона
Введем еще одно обозначение
Л = λ/Λ
У нас возникают новые атомы радона из-за распада радия. И убывают из-за распада радона.
Кроме того, запишем граничное условие - изначально в пробирке радона не было.
Получаем систему из 2 уравнений.
dX/(dt) = λ N - Λ X
X0 = 0
Чтобы почувствовать, как решается данное дифференциальное уравнение, рассмотрим более простую вещь - ту же систему уравнений с единичными коэффициентами.
dx/(dt) = v - x , где v - константа
x0 = 0
Замена: y = x - v
dy/(dt) = -y
y0 = -v
y = const * e-yt
y0 = -v
y = -v * e-yt
x = v - v * e-yt
x = v (1 - e-yt)
Теперь попытаемся решить исходную систему уравнений и не запутаться в коэффициентах.
Перепишем еще раз
dX/(dt) = λ N - Λ X
X0=0
dX/(dt) = -Λ * (X - Л N)
X0=0
Замена: Y = X - Л N
dY/(dt) = - Λ Y
Y0 = -Л N
Y = Y0 * e-Λ t
Y0 = -Л N
Y = -Л N * e-Λ t
X = Л N -Л N * e-Λ t
X = Л N *(1 - e-Λ t)
Далее - долгий и муторный числовой подсчет.
Радон . Период полураспада 1600 лет = 584000 дней
Радий. Период полураспада 3,8 дня
Л = Т1/2 радона / Т1/2 радия
Л = 3,8 / (5,84*10^5)
Число атомов радия N = 6 * 1023 * (1 * 10-3) / 226 = 2.65 * 1018
Л N = 1.72 * 1013
Λ = ln(2) / Т1/2 радона
Λ = 0,693/(3,8 дней)
e-Λ t = e-2*0.693/3.8 = e-0.36 = 0.70
X = Л N *(1 - e-Λ t)
X = 1.72 * 1013 * (1 - 0.70)
X = 0.52 * 1013
X = 5.2 * 1012
На сайте был предложен ответ X = 4.4 * 1012. Наблюдается расхождение.