Рассмотрим функции вида e^{P(x)}, где P - многочлен чётной степени с положительным коэффициентом при старшем члене и минимальным значением 0. Тогда
1) Множество этих функций замкнуто относительно сдвигов и растяжений;
2) Эти функции линейно независимы, потому что из любых двух одна растёт бесконечно быстрее другой на плюс бесконечности;
2') Более того, никакая их нетривиальная линейная комбинация не лежит в BMO.
Поэтому на пространстве их линейных комбинаций можно построить норму, инвариантную относительно сдвигов и растяжений (например, ||\sum_{i=1}^n c_i e^{P_i(x)}||, где все P_i разные - это max(|c_i|)), после чего построить норму на прямой сумме этого пространства и BMO как, например, опять же максимум норм прямых слагаемых.
PS Интересно, а можно ли построить пример с полным нормированным пространством? В этом примере, если не путаю, элементами пополнения будут уже не функции, а формальные функциональные ряды - вообще говоря, расходящиеся.
Да, это очень искусственная норма, так что в пополнении вроде бы будут даже ряды, расходящиеся повсюду. Не знаю, можно ли придумать что-то более естественное.
Рассмотрим функции вида e^{P(x)}, где P - многочлен чётной степени с положительным коэффициентом при старшем члене и минимальным значением 0. Тогда
1) Множество этих функций замкнуто относительно сдвигов и растяжений;
2) Эти функции линейно независимы, потому что из любых двух одна растёт бесконечно быстрее другой на плюс бесконечности;
2') Более того, никакая их нетривиальная линейная комбинация не лежит в BMO.
Поэтому на пространстве их линейных комбинаций можно построить норму, инвариантную относительно сдвигов и растяжений (например, ||\sum_{i=1}^n c_i e^{P_i(x)}||, где все P_i разные - это max(|c_i|)), после чего построить норму на прямой сумме этого пространства и BMO как, например, опять же максимум норм прямых слагаемых.
Reply
PS Интересно, а можно ли построить пример с полным нормированным пространством?
В этом примере, если не путаю, элементами пополнения будут уже не функции, а формальные функциональные ряды - вообще говоря, расходящиеся.
Reply
Да, это очень искусственная норма, так что в пополнении вроде бы будут даже ряды, расходящиеся повсюду. Не знаю, можно ли придумать что-то более естественное.
Reply
Leave a comment