Что такое абстрактная алгебра?
Совсем недавно беседовал со школьником про математику и я ему рассказал о том, что такое вообще абстрактная алгебра.
Есть разные алгебры, математики видов алгебр напридумывали много, также как и много видов логик.
Но у всех алгебр есть общие свойства.
Любая алгебра видимо это отображение/функция/преобразование некоторое, такое что
пространство большей размерности отображает в пространство меньшей размерности.
Обычная арифметика это отображение пары чисел в одно число.
Потому как двум числам и операции сложения мы ставим в соответствие третье число,
получается, что операция сложение это отображение пары чисел в одно число.
Ну вот получается что любая алгебра (это типа система манипуляции некими объектами, которые называем числами)
это отображение более длинной строки (x1,x2,...xn)=>(x1,x2,...xk) в более короткую,
причем первая строка длиннее второй n>k.
Ну да, в это определение войдут и комплексные числа, и кватернионы, и иные.
"И первую лекцию во втором полугодии Гельфанд начал с вопроса: «Что такое число?» И продолжал: «Разные люди ответили бы на этот вопрос вроде бы по-разному. Русский сказал бы: один, два, три… и написал 1, 2, 3… Француз - эн, де, труа… и написал бы то же самое. А японец сказал бы: ити, ни, сан… и нарисовал три сложные картинки. Но что такое число, все они понимали бы одинаково: попросту говоря число - это что-то такое, что можно складывать и умножать, соблюдая некоторые правила».
А дальше последнюю фразу он переводил на математический язык: вместо «Числа можно складывать» говорил: «Любым двум числам ставится в соответствие одно определённое число», а на доске появлялось: а + b= c и т.д. Записывались «правила» - известные всем свойства сложения и умножения. Далее, как положено, давались определения нуля и единицы: а + 0 = а и а 1 = а."
и вот встретилось мне очень хорошее изложение того же вопроса, приведу его тоже
«
======
От порядка слагаемых сумма не зависит»: Г-пространства
Операция сложения это, наверное, первое, чему учат детей математике во всём мире. И едва дети научились складывать палочки, им рассказывают, что результат сложения не зависит от порядка слагаемых.
Особенно наседают на два частных случая этого закона: ассоциативности и коммутативности. Дело в том, что весь этот принцип для любого количества слагаемых выводится из этих двух частных случаев по индукции (индукция по размеру выражения), хотя это в школе рассказывают уже не всем.
Как это очень часто бывает, прямолинейное определение оказывается лучше косвенного, когда переходишь к неожиданным случаям применения.
Естественное определение сложения
Возьмём множество M, на котором как-то задана семейство операций суммирования Σ: Collection(M) -> M и нейтральный элемент 0 = Σ{}, сумма пустого набора элементов M.
Теперь рассмотрим два кортежа элементов M: M^n и M^k, и рассмаотрим какие отображения из M^n -> M^k мы можем изготовить используя сложение и нейтральный элемент, и не используя клонирования объектов (потому что клонирование - фу, см. пост про линейную логику). Давайте пронумеруем элементы M^n: (1, 2,.., n). Каждый из этих элементов мы либо выкидываем (отображаем в 0), либо отображаем в один из элементов нашего целевого кортежа M^k. Если мы отобразили более одного элемента M^n в какой-то из элементов M^k, они сумируются. Если не отобразили ни одного, туда записывается ноль.
Таким образом, все такого рода отображения M^n в M^k суть частичные функции из Fin(n) = (0, 1,..,n - 1) в Fin(k). Категория, состоящая из конечных множеств n+ для каждого n, и частичных функций между ними, называется Г.
Фраза про то, что сумма не зависит от порядка сложения, означает ровно то, что диаграмма, сделанная из объектов M^n и всех стрелок между ними, изготовленных указанным выше образом, коммутирует. Иными словами, наше множество с операцией сложения вместе со всеми нужными свойствами кодируется как функтор M из категории Г в категорию Set. Само множество восстанавливается как M[Fin(1)], нейтральный элемент как единственное отображение M(Fin(0), Fin(1)), семейство операций сложения Σ: M^n -> M как M(\x:Fin(n).0). Операция перестановки слагаемых, кстати, это M(0 => 1, 1 => 0).
Так вот, есть нехитрая теорема, что функторы Г -> Set и симметричные моноиды (M, _+_, 0) - множества M с ассоциативной и коммутативной операцией + и нейтральным относительно неё элементом - это одно и то же.
Обобщение на случай сложных типов
Однако если рассмотреть функторы Г -> Type, где Type тип в терминах гомотопической теории типов (слабый омега-группоид = гомотопическое пространство = симплициальное множество в терминах обычной математики), то теория получается шире, чем теория симметричных моноидов, потому что требование строгой ассоциативности/коммутативности ослабляется до "ассоциативность/коммутативность с точностью до когерентных изоморфизмов" или там "с точностью до калибровки".
Функторы Г -> Type принято называть Г-пространствами. На мой взгляд, это слегка неудачно вышло, было бы куда как лучше назвать их Σ-пространствами, пространствами со структурой суммирования.
В поисках определения "алегебры"
В начале были натуральные числа, потом придумали дроби, отрицательные числа, вещественные и комплексные. А потом пришли Кэли с Гамильтоном и придумали кватернионы, октонионы, седенионы и зоопарк матричных алгебр, и стало понятно что единственно правильного обобщения чисел не бывает, а бывает много разных алгебр.
В самом общем случае, алгебры это числоподобные системы, на которых заданы сложение (с нулём и не зависящее от порядка слогаемых) и дистрибутивное по отношению к сложению "произведение", от которого дополнительно требуют либо ассоциативности (тогда его записывают как умножение: ABC), либо ослабленной формы ассоциативности (тогда произведение записывают скобкой [A, B, C]), наиболее слабой формой ассоциативности, встречающейся в числоподобные системах является «гибкость» [[a, b], a] = [a, [b, a]]: под это определение попадают всевозможные все коммутативные, все ассоциативные (в т.ч. все матричные) и все альтернативные алгебры (включая октонионы и их обобщения), алгебры Ли, алгебры Йордана и не укладывающиеся ни в одну из этих категорий, седенионы.
Среди алгебр выделяются те, которые образуют моноид по операции произведения (т.е. ассоциативные унитальные алгебры, они ещё называются полукольцами).
Если имеется такое полукольцо R, ассоциативно и дистрибутивно действует на алгебру умножением слева, то говорят что алгебра не простая, а R-алгебра. Если такое действие есть, оно по-существу (т.е. с точностью до автоморфизма R) единственно. На самом деле всякая алгебра (не обязательно ассоциативная и/или унитальная) является алгеброй над полукольцом Nat натуральных чисел, где действие n: Nat на элемент алгебры a интерпретируется как a + a +...+ a (n раз). Но практически все встречающиеся на практике алгебры являются алгебрами над существенно более интересными кольцами: обычно над действительными или комплексными числами.
Выиграет ли определение алгебр, если разрешить алгебре быть не просто множеством, но гомотопически-нетривиальным типом и переопределить сложение, как указано в разделе про Г-пространства? В случае ассоциативноунитальных алгебр однозначно. Такие алгебры естественно определяются как моноиды в категории Г-пространств и для них даже уже есть название: 𝔰-алгебры, они являются мощным обобщением колец, включаяющим most notably "поле с одним элементом" F1 и тропическое полукольцо B. После переопределения сложения таким образом, выходит, что не все алгебры являются алгебрами над Nat (т.к. алгебрами над Nat являются в точности те из них, где всегда возможна клонирование элементов), но все являются алгебрами над F1.
Для колец естественно определять категорию модулей, причём в случае некоммутативных колец категория модулей говорит о кольце больше, чем его внутренняя структура: в частности, именно эквивалентность категорий модулей (а не изоморфизм) говорит об эквивалентности колец "по-существу". Существует глубокая аналогия между категорией модулей над кольцом, и категорией моделей для теории первого порядка, а также между множествами решений многочленов в первом случае и определимыми множествами во втором. Можно ли, пользуясь новым обобщением, придать точный смысл этой аналогии?
Даёт ли новое обобщение какие-то бенифиты для неассоциативных и/или неунитальных алгебр?
http://akuklev.livejournal.com/1205101.html
======
Есть разные алгебры, математики видов алгебр напридумывали много, также как и много видов логик.
Но у всех алгебр есть общие свойства.
Любая алгебра видимо это отображение/функция/преобразование некоторое, такое что
пространство большей размерности отображает в пространство меньшей размерности.
Обычная арифметика это отображение пары чисел в одно число.
Потому как двум числам и операции сложения мы ставим в соответствие третье число,
получается, что операция сложение это отображение пары чисел в одно число.
Ну вот получается что любая алгебра (это типа система манипуляции некими объектами, которые называем числами)
это отображение более длинной строки (x1,x2,...xn)=>(x1,x2,...xk) в более короткую,
причем первая строка длиннее второй n>k.
Ну да, в это определение войдут и комплексные числа, и кватернионы, и иные.
"И первую лекцию во втором полугодии Гельфанд начал с вопроса: «Что такое число?» И продолжал: «Разные люди ответили бы на этот вопрос вроде бы по-разному. Русский сказал бы: один, два, три… и написал 1, 2, 3… Француз - эн, де, труа… и написал бы то же самое. А японец сказал бы: ити, ни, сан… и нарисовал три сложные картинки. Но что такое число, все они понимали бы одинаково: попросту говоря число - это что-то такое, что можно складывать и умножать, соблюдая некоторые правила».
А дальше последнюю фразу он переводил на математический язык: вместо «Числа можно складывать» говорил: «Любым двум числам ставится в соответствие одно определённое число», а на доске появлялось: а + b= c и т.д. Записывались «правила» - известные всем свойства сложения и умножения. Далее, как положено, давались определения нуля и единицы: а + 0 = а и а 1 = а."
и вот встретилось мне очень хорошее изложение того же вопроса, приведу его тоже
«
======
От порядка слагаемых сумма не зависит»: Г-пространства
Операция сложения это, наверное, первое, чему учат детей математике во всём мире. И едва дети научились складывать палочки, им рассказывают, что результат сложения не зависит от порядка слагаемых.
Особенно наседают на два частных случая этого закона: ассоциативности и коммутативности. Дело в том, что весь этот принцип для любого количества слагаемых выводится из этих двух частных случаев по индукции (индукция по размеру выражения), хотя это в школе рассказывают уже не всем.
Как это очень часто бывает, прямолинейное определение оказывается лучше косвенного, когда переходишь к неожиданным случаям применения.
Естественное определение сложения
Возьмём множество M, на котором как-то задана семейство операций суммирования Σ: Collection(M) -> M и нейтральный элемент 0 = Σ{}, сумма пустого набора элементов M.
Теперь рассмотрим два кортежа элементов M: M^n и M^k, и рассмаотрим какие отображения из M^n -> M^k мы можем изготовить используя сложение и нейтральный элемент, и не используя клонирования объектов (потому что клонирование - фу, см. пост про линейную логику). Давайте пронумеруем элементы M^n: (1, 2,.., n). Каждый из этих элементов мы либо выкидываем (отображаем в 0), либо отображаем в один из элементов нашего целевого кортежа M^k. Если мы отобразили более одного элемента M^n в какой-то из элементов M^k, они сумируются. Если не отобразили ни одного, туда записывается ноль.
Таким образом, все такого рода отображения M^n в M^k суть частичные функции из Fin(n) = (0, 1,..,n - 1) в Fin(k). Категория, состоящая из конечных множеств n+ для каждого n, и частичных функций между ними, называется Г.
Фраза про то, что сумма не зависит от порядка сложения, означает ровно то, что диаграмма, сделанная из объектов M^n и всех стрелок между ними, изготовленных указанным выше образом, коммутирует. Иными словами, наше множество с операцией сложения вместе со всеми нужными свойствами кодируется как функтор M из категории Г в категорию Set. Само множество восстанавливается как M[Fin(1)], нейтральный элемент как единственное отображение M(Fin(0), Fin(1)), семейство операций сложения Σ: M^n -> M как M(\x:Fin(n).0). Операция перестановки слагаемых, кстати, это M(0 => 1, 1 => 0).
Так вот, есть нехитрая теорема, что функторы Г -> Set и симметричные моноиды (M, _+_, 0) - множества M с ассоциативной и коммутативной операцией + и нейтральным относительно неё элементом - это одно и то же.
Обобщение на случай сложных типов
Однако если рассмотреть функторы Г -> Type, где Type тип в терминах гомотопической теории типов (слабый омега-группоид = гомотопическое пространство = симплициальное множество в терминах обычной математики), то теория получается шире, чем теория симметричных моноидов, потому что требование строгой ассоциативности/коммутативности ослабляется до "ассоциативность/коммутативность с точностью до когерентных изоморфизмов" или там "с точностью до калибровки".
Функторы Г -> Type принято называть Г-пространствами. На мой взгляд, это слегка неудачно вышло, было бы куда как лучше назвать их Σ-пространствами, пространствами со структурой суммирования.
В поисках определения "алегебры"
В начале были натуральные числа, потом придумали дроби, отрицательные числа, вещественные и комплексные. А потом пришли Кэли с Гамильтоном и придумали кватернионы, октонионы, седенионы и зоопарк матричных алгебр, и стало понятно что единственно правильного обобщения чисел не бывает, а бывает много разных алгебр.
В самом общем случае, алгебры это числоподобные системы, на которых заданы сложение (с нулём и не зависящее от порядка слогаемых) и дистрибутивное по отношению к сложению "произведение", от которого дополнительно требуют либо ассоциативности (тогда его записывают как умножение: ABC), либо ослабленной формы ассоциативности (тогда произведение записывают скобкой [A, B, C]), наиболее слабой формой ассоциативности, встречающейся в числоподобные системах является «гибкость» [[a, b], a] = [a, [b, a]]: под это определение попадают всевозможные все коммутативные, все ассоциативные (в т.ч. все матричные) и все альтернативные алгебры (включая октонионы и их обобщения), алгебры Ли, алгебры Йордана и не укладывающиеся ни в одну из этих категорий, седенионы.
Среди алгебр выделяются те, которые образуют моноид по операции произведения (т.е. ассоциативные унитальные алгебры, они ещё называются полукольцами).
Если имеется такое полукольцо R, ассоциативно и дистрибутивно действует на алгебру умножением слева, то говорят что алгебра не простая, а R-алгебра. Если такое действие есть, оно по-существу (т.е. с точностью до автоморфизма R) единственно. На самом деле всякая алгебра (не обязательно ассоциативная и/или унитальная) является алгеброй над полукольцом Nat натуральных чисел, где действие n: Nat на элемент алгебры a интерпретируется как a + a +...+ a (n раз). Но практически все встречающиеся на практике алгебры являются алгебрами над существенно более интересными кольцами: обычно над действительными или комплексными числами.
Выиграет ли определение алгебр, если разрешить алгебре быть не просто множеством, но гомотопически-нетривиальным типом и переопределить сложение, как указано в разделе про Г-пространства? В случае ассоциативноунитальных алгебр однозначно. Такие алгебры естественно определяются как моноиды в категории Г-пространств и для них даже уже есть название: 𝔰-алгебры, они являются мощным обобщением колец, включаяющим most notably "поле с одним элементом" F1 и тропическое полукольцо B. После переопределения сложения таким образом, выходит, что не все алгебры являются алгебрами над Nat (т.к. алгебрами над Nat являются в точности те из них, где всегда возможна клонирование элементов), но все являются алгебрами над F1.
Для колец естественно определять категорию модулей, причём в случае некоммутативных колец категория модулей говорит о кольце больше, чем его внутренняя структура: в частности, именно эквивалентность категорий модулей (а не изоморфизм) говорит об эквивалентности колец "по-существу". Существует глубокая аналогия между категорией модулей над кольцом, и категорией моделей для теории первого порядка, а также между множествами решений многочленов в первом случае и определимыми множествами во втором. Можно ли, пользуясь новым обобщением, придать точный смысл этой аналогии?
Даёт ли новое обобщение какие-то бенифиты для неассоциативных и/или неунитальных алгебр?
http://akuklev.livejournal.com/1205101.html
======