Открытые и взаимосвязанные системы. Формализация.
===
Open and Interconnected Systems
Brendan Fong finished his thesis a while ago, and here it is!
• Brendan Fong, The Algebra of Open and Interconnected Systems, Ph.D. thesis, Department of Computer Science, University of Oxford, 2016.
Открытые и взаимосвязанные системы
Брендан Фонг недавно закончил свою диссертацию, и вот она!
• Брендан Фонг, Алгебра открытых и взаимосвязанных систем , доктор философии. диссертация, факультет компьютерных наук, Оксфордский университет, 2016.
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2016/10/23/open-and-interconnected-systems/
===
В этом тезисе мы развиваем строгие способы мышления об интеграции или, как мы ее называем, взаимосвязи.
Взаимосвязь и открытость тесно связаны. Действительно, открытость подразумевает, что система может быть взаимосвязана со своим окружением. Но что такое среда, если она не состоит из других систем? Таким образом, изучение открытых систем становится изучением того, как система изменяется при взаимодействии с другими системами.
Чтобы смоделировать это, мы должны начать с создания языка для описания взаимосвязи систем. В то время как редукционизм надеется, что явления можно объяснить, сведя их к «элементарным единицам, изучаемым независимо друг от друга» (по словам фон Берталанфи), эта философия интеграции вводит в качестве дополнительного и равного приоритета исследование того, как эти единицы взаимосвязаны. . Таким образом, этот тезис основывается на надежде, что значение выражения в нашем новом языке определяется значениями составляющих его выражений вместе с синтаксическими правилами, их комбинирующими. Это известно как принцип композиционности.
Также широко известный как принцип Фреге, принцип композиционности восходит к древнегреческой и ведической философии и до сих пор является предметом активных исследований. Совсем недавно, благодаря работам Монтегю по семантике естественного языка и Стрейчи и Скотта по семантике языков программирования, принцип композиционности нашел формальное выражение в виде изречения о том, что интерпретация языка должна даваться гомоморфизмом из алгебры синтаксических представлений. к алгебре семантических объектов. Мы тоже пойдем по этому пути.
Тогда возникает вопрос: что мы подразумеваем под алгеброй? Этот математический вопрос возвращает нас к нашим научным целям: что мы подразумеваем под системой? Здесь мы должны сузить или, по крайней мере, определить наши границы. Приведем несколько примеров. Исследования этой диссертации начались с электрических цепей и их схем, и мы посвятим значительное время изучению их композиционной формулировки. Мы обсуждали биологические системы выше, и наше понятие системы включает их, смоделированные, скажем, в форме сетей химических реакций или марковских процессов, или раздельных моделей эпидемиологии, популяционной биологии и экологии. Из информатики мы рассматриваем сети Петри, автоматы, логические схемы и тому подобное. Говоря более абстрактно, наше понятие системы включает в себя матрицы и системы дифференциальных уравнений.
Объединение этих понятий системы представляет собой хорошо разработанные схематические представления, основанные на сетевых диаграммах, то есть на топологических графах. Мы называем эти языки диаграмм в сетевом стиле. Абстрактно под «системой» мы будем подразумевать просто то, что может быть представлено коробкой с набором терминалов, возможно, разных типов, через которые она взаимодействует с окружающей средой. Конкретно, можно было бы представить принципиальную схему с клеммами, например
(картинки)
В этой диссертации мы изучаем алгебраическую структуру, называемую «категорией гиперграфа», и утверждаем, что это релевантная алгебраическая структура для моделирования взаимосвязей открытых систем.
Учитывая эти ранее существовавшие диаграммные формализмы и нашу визуальную интуицию, построение алгебр синтаксических представлений, таким образом, довольно просто. Семантика и их алгебраическая структура более тонкие.
В каком-то смысле нам уже дана и наша семантика: изучая эти системы как закрытые, ученые уже формализовали смысл этих диаграмм. Но мы перешли от закрытой точки зрения к открытой, и нам нужно, чтобы наша семантика также учитывала точки взаимосвязи.
Вдохновляясь поведенческим подходом Виллемса и конструкторской теорией Дойча, в этой диссертации я отстаиваю следующую позицию. Во-первых, на каждом терминале открытой системы мы можем производить измерения, соответствующие типу терминала. При заданном наборе терминалов универсум представляет собой набор всех возможных результатов измерения. Каждая открытая система имеет набор терминалов и, следовательно, универсум. Семантика открытой системы - это подмножество результатов измерений на терминалах, разрешенных системой. Это известно как поведение системы.
Например, рассмотрим резистор сопротивления. р.Он имеет две клеммы - два конца резистора - и на каждой клемме мы можем измерить потенциал и ток. Таким образом, универсумом этой системы является множество, \mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R},где слагаемые представляют соответственно потенциалы и токи на каждом из двух терминалов.
Обратите внимание, что с этой точки зрения такой закон, как закон Ома, представляет собой механизм разделения поведения на возможное и невозможное.
Взаимосвязь терминалов затем подтверждает идентификацию переменных на идентифицированных терминалах.
Фиксируя некоторое понятие открытой системы и впоследствии алгебры синтаксических представлений для этих систем, наш подход, основанный на принципе композиционности, требует, чтобы это определило алгебру семантических объектов и гомоморфизм от синтаксиса к семантике.
В первой части этой диссертации развиваются математические инструменты, необходимые для реализации этого видения моделирования открытых систем и их взаимосвязей.
Open and Interconnected Systems
Brendan Fong finished his thesis a while ago, and here it is!
• Brendan Fong, The Algebra of Open and Interconnected Systems, Ph.D. thesis, Department of Computer Science, University of Oxford, 2016.
Открытые и взаимосвязанные системы
Брендан Фонг недавно закончил свою диссертацию, и вот она!
• Брендан Фонг, Алгебра открытых и взаимосвязанных систем , доктор философии. диссертация, факультет компьютерных наук, Оксфордский университет, 2016.
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2016/10/23/open-and-interconnected-systems/
===
В этом тезисе мы развиваем строгие способы мышления об интеграции или, как мы ее называем, взаимосвязи.
Взаимосвязь и открытость тесно связаны. Действительно, открытость подразумевает, что система может быть взаимосвязана со своим окружением. Но что такое среда, если она не состоит из других систем? Таким образом, изучение открытых систем становится изучением того, как система изменяется при взаимодействии с другими системами.
Чтобы смоделировать это, мы должны начать с создания языка для описания взаимосвязи систем. В то время как редукционизм надеется, что явления можно объяснить, сведя их к «элементарным единицам, изучаемым независимо друг от друга» (по словам фон Берталанфи), эта философия интеграции вводит в качестве дополнительного и равного приоритета исследование того, как эти единицы взаимосвязаны. . Таким образом, этот тезис основывается на надежде, что значение выражения в нашем новом языке определяется значениями составляющих его выражений вместе с синтаксическими правилами, их комбинирующими. Это известно как принцип композиционности.
Также широко известный как принцип Фреге, принцип композиционности восходит к древнегреческой и ведической философии и до сих пор является предметом активных исследований. Совсем недавно, благодаря работам Монтегю по семантике естественного языка и Стрейчи и Скотта по семантике языков программирования, принцип композиционности нашел формальное выражение в виде изречения о том, что интерпретация языка должна даваться гомоморфизмом из алгебры синтаксических представлений. к алгебре семантических объектов. Мы тоже пойдем по этому пути.
Тогда возникает вопрос: что мы подразумеваем под алгеброй? Этот математический вопрос возвращает нас к нашим научным целям: что мы подразумеваем под системой? Здесь мы должны сузить или, по крайней мере, определить наши границы. Приведем несколько примеров. Исследования этой диссертации начались с электрических цепей и их схем, и мы посвятим значительное время изучению их композиционной формулировки. Мы обсуждали биологические системы выше, и наше понятие системы включает их, смоделированные, скажем, в форме сетей химических реакций или марковских процессов, или раздельных моделей эпидемиологии, популяционной биологии и экологии. Из информатики мы рассматриваем сети Петри, автоматы, логические схемы и тому подобное. Говоря более абстрактно, наше понятие системы включает в себя матрицы и системы дифференциальных уравнений.
Объединение этих понятий системы представляет собой хорошо разработанные схематические представления, основанные на сетевых диаграммах, то есть на топологических графах. Мы называем эти языки диаграмм в сетевом стиле. Абстрактно под «системой» мы будем подразумевать просто то, что может быть представлено коробкой с набором терминалов, возможно, разных типов, через которые она взаимодействует с окружающей средой. Конкретно, можно было бы представить принципиальную схему с клеммами, например
(картинки)
В этой диссертации мы изучаем алгебраическую структуру, называемую «категорией гиперграфа», и утверждаем, что это релевантная алгебраическая структура для моделирования взаимосвязей открытых систем.
Учитывая эти ранее существовавшие диаграммные формализмы и нашу визуальную интуицию, построение алгебр синтаксических представлений, таким образом, довольно просто. Семантика и их алгебраическая структура более тонкие.
В каком-то смысле нам уже дана и наша семантика: изучая эти системы как закрытые, ученые уже формализовали смысл этих диаграмм. Но мы перешли от закрытой точки зрения к открытой, и нам нужно, чтобы наша семантика также учитывала точки взаимосвязи.
Вдохновляясь поведенческим подходом Виллемса и конструкторской теорией Дойча, в этой диссертации я отстаиваю следующую позицию. Во-первых, на каждом терминале открытой системы мы можем производить измерения, соответствующие типу терминала. При заданном наборе терминалов универсум представляет собой набор всех возможных результатов измерения. Каждая открытая система имеет набор терминалов и, следовательно, универсум. Семантика открытой системы - это подмножество результатов измерений на терминалах, разрешенных системой. Это известно как поведение системы.
Например, рассмотрим резистор сопротивления. р.Он имеет две клеммы - два конца резистора - и на каждой клемме мы можем измерить потенциал и ток. Таким образом, универсумом этой системы является множество, \mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R},где слагаемые представляют соответственно потенциалы и токи на каждом из двух терминалов.
Обратите внимание, что с этой точки зрения такой закон, как закон Ома, представляет собой механизм разделения поведения на возможное и невозможное.
Взаимосвязь терминалов затем подтверждает идентификацию переменных на идентифицированных терминалах.
Фиксируя некоторое понятие открытой системы и впоследствии алгебры синтаксических представлений для этих систем, наш подход, основанный на принципе композиционности, требует, чтобы это определило алгебру семантических объектов и гомоморфизм от синтаксиса к семантике.
В первой части этой диссертации развиваются математические инструменты, необходимые для реализации этого видения моделирования открытых систем и их взаимосвязей.