2+2=?
Это почти полны офф для данного сообщества. Могу оправдаться только тем, что пару раз тут вспоминаю о логике.
По мотивам одного диалога (здесь в измененном виде):
- 2+2=4 будет всегда, я даже этого не могу знать, но это всегда так, без вариантов.
- 2+2=4 - это только в определенной системе аксиом, а не всегда и везде. Да и в этой системе аксиом это надо еще доказать.
- А вы можете опровергнут, что 2+2=4.
- Две капли воды + две капли воды = одна капля воды.
- Нет, не так. Две капли воды (1 капля = 1 определенный объем воды) = 2 объема воды. Две капли воды + две капли воды = 4 капли воды (4 объема воды).
- Я о каплях, а не об объемах. Я капли хочу считать, вот хочется и все. Или капли считать уже нельзя? Хорошо, пусть будут объемы. Если к двум литрам воды добавим два литра спирта, то сколько литров напитка получится?
- 4 литра напитка.
- Получиться 3,86 литра.
2+2=4 в арифметике, при операциях с натуральными числами. При попытке приложить это к реальности, как видим, возникают трудности. И это порой является поводом думать, что формально логические математические построения ущербны и неприменимы в реальном мире. Но проблема тут еще и в том, что все привыкли к утверждению «дважды два четыре», однако тут требуется не привычка, его требуется доказать, т.е. вывести из некоторой системы аксиом с помощью логических рассуждений. Интересно отметить, что такое доказательство было получено только 150 лет назад.
Исходим из аксиом Пеано:
1) 1 является натуральным числом;
2) Число, следующее за натуральным, также является натуральным (введем обозначение S(N) - число, следующее за числом N);
3) 1 не следует ни за каким натуральным числом;
4) Если натуральное число C следует как за числом A, так и за числом B, то A и B тождественны;
5) (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа N, вытекает, что оно верно для следующего за N натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.
И определения операции сложения:
6) N+1 = S(N)
7) N+S(M) = S(N+M)
Определим числа: 2 = S(1), 3 = S(2), 4 = S(3).
Тогда 2+2 = 2+S(1) = S(2+1) = S(S(2)) = S(3) = 4. Что и требовалось доказать.
Как видно, сложение капель и объемов жидкости не удовлетворяют данной системе аксиом. С другой стороны, мы вполне можем описывать арифметическими формулами количества вещей, которые удовлетворяют данным аксиомам.
И тут возникают следующие вопросы.
Существуют ли в природе такие вещи, которые удовлетворяют аксиомам, но не удовлетворяют следствиям из них? (Есть ли примеры для данной системы аксиом?)
Выводы из аксиом строятся по правилам формальной (математической) логики. Если законы (правила) логики относятся к описанию нашего мышления (или уже - правилам рассуждения), то почему природа следует этим правилам?
Если диалектика претендует на звание логики, то какие правила специфические для диалектики позволяют получать выводы, пригодные для описания природы?
По мотивам одного диалога (здесь в измененном виде):
- 2+2=4 будет всегда, я даже этого не могу знать, но это всегда так, без вариантов.
- 2+2=4 - это только в определенной системе аксиом, а не всегда и везде. Да и в этой системе аксиом это надо еще доказать.
- А вы можете опровергнут, что 2+2=4.
- Две капли воды + две капли воды = одна капля воды.
- Нет, не так. Две капли воды (1 капля = 1 определенный объем воды) = 2 объема воды. Две капли воды + две капли воды = 4 капли воды (4 объема воды).
- Я о каплях, а не об объемах. Я капли хочу считать, вот хочется и все. Или капли считать уже нельзя? Хорошо, пусть будут объемы. Если к двум литрам воды добавим два литра спирта, то сколько литров напитка получится?
- 4 литра напитка.
- Получиться 3,86 литра.
2+2=4 в арифметике, при операциях с натуральными числами. При попытке приложить это к реальности, как видим, возникают трудности. И это порой является поводом думать, что формально логические математические построения ущербны и неприменимы в реальном мире. Но проблема тут еще и в том, что все привыкли к утверждению «дважды два четыре», однако тут требуется не привычка, его требуется доказать, т.е. вывести из некоторой системы аксиом с помощью логических рассуждений. Интересно отметить, что такое доказательство было получено только 150 лет назад.
Исходим из аксиом Пеано:
1) 1 является натуральным числом;
2) Число, следующее за натуральным, также является натуральным (введем обозначение S(N) - число, следующее за числом N);
3) 1 не следует ни за каким натуральным числом;
4) Если натуральное число C следует как за числом A, так и за числом B, то A и B тождественны;
5) (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа N, вытекает, что оно верно для следующего за N натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.
И определения операции сложения:
6) N+1 = S(N)
7) N+S(M) = S(N+M)
Определим числа: 2 = S(1), 3 = S(2), 4 = S(3).
Тогда 2+2 = 2+S(1) = S(2+1) = S(S(2)) = S(3) = 4. Что и требовалось доказать.
Как видно, сложение капель и объемов жидкости не удовлетворяют данной системе аксиом. С другой стороны, мы вполне можем описывать арифметическими формулами количества вещей, которые удовлетворяют данным аксиомам.
И тут возникают следующие вопросы.
Существуют ли в природе такие вещи, которые удовлетворяют аксиомам, но не удовлетворяют следствиям из них? (Есть ли примеры для данной системы аксиом?)
Выводы из аксиом строятся по правилам формальной (математической) логики. Если законы (правила) логики относятся к описанию нашего мышления (или уже - правилам рассуждения), то почему природа следует этим правилам?
Если диалектика претендует на звание логики, то какие правила специфические для диалектики позволяют получать выводы, пригодные для описания природы?