Дирихлёж

[dmitrits]

Я очень люблю элементарную теорию чисел и красивые доказательства в ней.
Случайно получил очень простое доказательство того, что простых чисел вида nk+1 бесконечно много.
Наверняка оно известное, но я раньше знал только технически сложные доказательства этого факта.

Предложение 1. Два взаимно-простых многочлена с целыми коэффициентами f(x) и g(x)

Comments

[jan_kiepura]

В пункте 3 стоит дописать k*p_1*p_2...p_n, а то вдруг f(p_1p_2...p_n)=1. :)

Красиво. Но похоже никаких плотностных оценок отсюда не добыть, как раз третий пункт мешает.

[dmitrits]

Спасибо, исправил.
Но начиная с некоторого места на константу можно забить, так как f(x)-1 имеет никак не больше, чем n корней. Или оценить ее числом n.

А как можно было бы добыть плотностную оценку, если бы не было константы?

[jan_kiepura]

Не константа мешает, а то, что следующее получающееся простое оценивается как произведение предыдущих (оценка из пункта 3). Ясно, что на самом деле оно гораздо меньше.

[dmitrits]

Понятно. Кстати, все простые числа вида nk+1 являются простыми делителями s(x) при целых x, ибо по простым модулям есть первообразный корень.

[nikaan]

Может, не стоит скорывать, что это многочлен деления круга(насколько я понимаю)

[dmitrits]

Да, я слышал, что он как-то так называется. Но я не был уверен.

[tsarevna_nataly]

Есть еще на свете вещи в которых я ничего не понимаю). Но как они прекрасны!)