Космология, мейнстрим. Акустические волны.
Продолжение. Начало здесь.
Бывают удивительные истории, когда некий вывод, полученный кабинетным ученым на бумаге вне всякой связи с реальностью, вдруг через много лет становятся одной из несущих конструкций науки. Такая история произошла с работой Андрея Дмитриевича Сахарова, сделанной в 1963 году. В этой работе исследована эволюция акустических колебаний вещества в ранней Вселенной и получен очень интересный и красивый результат. По традиции, которая у нас прослеживается в отношении выдающихся работ, исходные положения, принятые Сахаровым, были неверными. Но предсказания из этой работы сыграли большую роль в будущем.
Выше речь шла о том, как начальные неоднородности плотности начинают расти из-за гравитационной неустойчивости. Но это не единственное, что с ними происходит. Неоднородности начинают колебаться без всякой связи с гравитацией - как звуковые волны. «Звуковыми» волны в ранней Вселенной можно назвать лишь весьма условно, уж больно нечеловеческие условия там царили, но их механика точно такая же, как и у звука в атмосфере: движущей силой становится давление среды, зависящее от ее плотности. Сейчас мы знаем, что среда состоит из темной материи и обычного вещества, которые взаимодействуют только через гравитацию и во многих отношениях независимы друг от друга. Акустическим колебаниям подвержено только обычное вещество.
Скорость звука в ранней Вселенной, где среда состоит в основном из ультрарелятивистских частиц, очень велика: c/√3. Напомним, изначально неоднородности Вселенной «заморожены», поскольку их размер превышает размер горизонта, т.е. причинно связанной области пространства. Акустические колебания данной длины волны стартуют, когда входят под горизонт, только не световой, а звуковой горизонт, который в √3 раз меньше. Неоднородность оживает и начинает колебаться и двигаться. Важная вещь: у всех волн данной частоты на старте оказывается одинаковая фаза. Это стоячие волны, подобные волнам на гитарной струне. Их можно наблюдать, например, в порту у бетонной стены причала. Там «стоячесть» обеспечивается интерференцией набегающих и отраженных волн. В результате амплитуда волн синхронно меняется - поверхность то вспучивается высокими буграми, то разглаживается.
Почему «ожившая» неоднородность производит именно стоячую волну? В работе Сахарова это показано математически, попробуем проиллюстрировать эффект «на пальцах». Здесь важную роль играет быстрое расширение. Звуковые колебания в расширяющейся Вселенной описываются уравнением, тождественным уравнению гармонического осциллятора с вязким трением (таким же, как для скалярного поля во Вселенной, таким же, как для шарика на пружинке в вязкой жидкости). Это следует из уравнений Эйнштейна. А роль вязкого трения играет скорость расширения Вселенной -постоянная Хаббла.
Начальные условия, вообще говоря, складываются из случайной суперпозиции неоднородностей разного размера с произвольным распределением производных плотности по времени. Любую начальную конфигурацию можно разложить на не зависящую от времени часть (производная по времени равна нулю) и часть, сильно зависящую от времени. Вблизи момента τ = 0 Вселенная очень быстро расширяется и «вязкое трение» очень велико. Поэтому вторая компонента (быстро меняющаяся) мгновенно затормозится и пропадет. А первая (не зависящая от времени) остается. Далее темп расширения уменьшается, вязкость падает и волны начинают колебаться. Общее решение уравнения колебаний имеет вид С1cos(ωt) + С2sin(ωt), где величины С1 и С2 не зависят от времени (но зависят от точки пространства), ω - частота колебаний. Однако поскольку во вселенной второго слагаемого с синусом нет, то колебания происходят по закону cos (ωt), что соответствует стоячей волне.
Так все выжившие акустические волны оказываются стоячими, причем все волны определенной длины имеют общую фазу. Через четверть периода (ωt = р/2) они проходят через нуль, а через полпериода (ωt = р) вновь достигают максимума (мы слегка огрубляем ситуацию: на самом деле частота волны в процессе расширения вселенной уменьшается, и соотношения не такие простые).
Рисунок 1. Эффект акустических осцилляций, предсказанный Сахаровым и пересчитанный Сюняевым, Зельдовичем и др. для модели горячей Вселенной. Забегая вперед, приводим спектр мощности угловой анизотропии реликтового излучения, полученный космическим микроволновым телескопом «Планк».
Значит, в любой момент времени волны, у которых набралась фаза π, 2π,…, будут иметь максимальную амплитуду, а 1/2 π, 3/2 π,..- нулевую. Таким образом, благодаря акустическим волнам, в любой заданный момент неоднородности барионной материи на одних размерах будут выделены, на других подавлены. В расширяющейся Вселенной есть момент, когда скорость звука резко падает, потому что падает давление, - это и есть эпоха рекомбинации. В этот момент акустические колебания застывают. Если разложить карту застывших неоднородностей в ряд Фурье, получится осциллирующая кривая, описывающая амплитуду как функцию длины волны. Эффект получил название «сахаровские осцилляции», хотя в настоящее время в научной литературе чаще используется термин «акустические осцилляции».
Сахаров работал в предположении, что Вселенная холодная. Он сделал этот выбор под влиянием Зельдовича, которому в тот момент казалось, что модель холодной Вселенной хорошо объясняет первичный нуклеосинтез. Эта гипотеза была опровергнута в тот же год, когда статья Сахарова вышла из печати. Но само явление осталось применимым и к горячей Вселенной. Причем оно оказалось реально наблюдаемым, чего не мог предвидеть Сахаров.
В принципе, в холодной Вселенной действуют похожие законы: там тоже скорость звука вначале велика, а потом резко падает. Но она падает гораздо раньше, и волны застывают, будучи гораздо меньшего размера. Причем неоднородности от самых крупных волн первого пика, дожив до наших дней, должны соответствовать небольшим звездам, о чем Сахаров написал в своей статье. На самом деле они соответствуют крупномасштабной структуре Вселенной на уровне 150 мегапарсек. Впоследствии Сахаров высказал сожаление, что неправильное исходное предположение сильно снизило ценность его работы. Тем не менее А. Д. Сахаров остается главным героем чудесной истории, связанной с акустическими осцилляциями.
То, что сахаровские осцилляции в принципе можно наблюдать, стало ясно после открытия реликтового излучения в 1965 году. Перспективу давало само реликтовое излучение: ведь его карта и есть карта ранней Вселенной, где должны быть запечатлены все неоднородности, не успевшие исказиться из-за гравитационной неустойчивости. Эффект осцилляций был проанализирован для случая горячей Вселенной Р. А. Сюняевым и Я. Б. Зельдовичем, а также независимо Джимом Пиблсом и Юй Цзе-Таем - обе работы опубликованы в 1970 году. Прошло четверть века, и сахаровские осцилляции увидели воочию. Рецепт расшифровки карты реликтового излучения прост: надо разложить ее в ряд Фурье по угловым гармоникам (мультиполям).
Если бы только Андрей Дмитриевич увидел данные, представленные на рис. 1, где показан спектр этого самого разложения карты!
Сахаров не дожил до этого момента, и Зельдович не дожил. Но Рашид Сюняев и другие, исследовавшие этот эффект в более реалистичной постановке задачи, дожили. Думаю, лучшей награды за теоретическую научную работу не придумать.
Как увидеть акустические стоячие волны, точнее, осцилляции их амплитуды? Надо подвергнуть их гармоническому анализу, иными словами, разложить на мультиполи и посмотреть, как ведут себя коэффициенты разложения. Что такое мультиполи? Самый малый - это диполь (l = 1). Диполь показывает разницу в более яркой и менее яркой половинах неба. При этом основной вклад в диполь дает движение Солнечной системы вместе с Галактикой относительно усредненной системы покоя Вселенной - эта скорость около 600 км/с. Там, куда мы движемся, реликтовое излучение кажется ярче, а там, откуда движемся - слабее. Отделить диполь, связанный с аберрацией от нашего движения, от истинного диполя реликтового излучения невозможно, поэтому он просто выбрасывается из анализа. Следующий - квадруполь (l = 2), он отражает глобальную сплюснутость (или вытянутость) распределения яркости. И т.д.
Двумерное разложение сферической карты отличается от одномерного разложения Фурье тем, что каждый мультиполь l представлен суммой 2l + 1 членов со своими коэффициентами. Для того, чтобы увидеть, какие масштабы неоднородностей сильнее выражены, все эти коэффициенты не нужны - достаточно взять среднее от суммы их квадратов (традиционно обозначаемое как Сl). Соответствующее распределение называется спектром мощности, именно оно показано на рис. 2.
Высокий пик слева означает, что карта имеет самую контрастную пятнистость при размере пятна около градуса. Он соответствует акустическим волнам, пришедшим к моменту рекомбинации с фазой π. За одно колебание они успели подрасти из-за гравитационного взаимодействия с темной материей, которая за это время «скомковалась» в сто раз сильней барионного вещества. Правее - следующие пики, соответствующие фазам 2π, 3π и т.д. Пики при увеличении номера мультиполя (уменьшении размеров неоднородностей) становятся ниже, потому что оказываются «замытыми» из-за диффузии фотонов, которые успевают частично разбежаться из сгущения вещества за период колебания стоячей волны. Это так называемый эффект Силка. Особенно хорошо этот эффект наблюдается на рис. 3, где тот же самый спектр мощности дан в логарифмическом масштабе и к нему добавлены данные наземных установок с меньшим охватом неба, но с лучшим угловым разрешением.
Черные точки с ошибками (те же, что и на рис. 2) - результат WMAP. Голубые точки - результат обзора небольшой части неба, сделанного с лучшим угловым разрешением с помощью микроволнового телескопа на Южном полюсе (SPT). Оранжевые точки - данные Космологического телескопа в Атакаме (ACT). Сплошная кривая - результат подгонки теории только к данным WMAP, данные при муль-типольных моментах больше тысячи не использовались!
Точки с наименьшими ошибками получены на микроволновом телескопе, расположенном на Южном полюсе (тарелка диаметром 10) - там фон от теплового излучения атмосферы меньше, чем в не столь экстремальных местах.
Рисунок 2. Разложение карты реликтового излучения, снятой WMAP за 9 лет наблюдений, по угловым мультиполям (спектр мощности).
Рисунок 3. То же самое разложение, что и на рис. 2, но в логарифмическом масштабе и с добавлением данных наземных микроволновых телескопов.
Рисунок 4. Прогресс в разрешении космических микроволновых телескопов. Один и тот же участок неба, снятый COBE.WMAP и «Планком»
Про обработку данных и пресловутую "подгонку" - продолжение следует.
Бывают удивительные истории, когда некий вывод, полученный кабинетным ученым на бумаге вне всякой связи с реальностью, вдруг через много лет становятся одной из несущих конструкций науки. Такая история произошла с работой Андрея Дмитриевича Сахарова, сделанной в 1963 году. В этой работе исследована эволюция акустических колебаний вещества в ранней Вселенной и получен очень интересный и красивый результат. По традиции, которая у нас прослеживается в отношении выдающихся работ, исходные положения, принятые Сахаровым, были неверными. Но предсказания из этой работы сыграли большую роль в будущем.
Выше речь шла о том, как начальные неоднородности плотности начинают расти из-за гравитационной неустойчивости. Но это не единственное, что с ними происходит. Неоднородности начинают колебаться без всякой связи с гравитацией - как звуковые волны. «Звуковыми» волны в ранней Вселенной можно назвать лишь весьма условно, уж больно нечеловеческие условия там царили, но их механика точно такая же, как и у звука в атмосфере: движущей силой становится давление среды, зависящее от ее плотности. Сейчас мы знаем, что среда состоит из темной материи и обычного вещества, которые взаимодействуют только через гравитацию и во многих отношениях независимы друг от друга. Акустическим колебаниям подвержено только обычное вещество.
Скорость звука в ранней Вселенной, где среда состоит в основном из ультрарелятивистских частиц, очень велика: c/√3. Напомним, изначально неоднородности Вселенной «заморожены», поскольку их размер превышает размер горизонта, т.е. причинно связанной области пространства. Акустические колебания данной длины волны стартуют, когда входят под горизонт, только не световой, а звуковой горизонт, который в √3 раз меньше. Неоднородность оживает и начинает колебаться и двигаться. Важная вещь: у всех волн данной частоты на старте оказывается одинаковая фаза. Это стоячие волны, подобные волнам на гитарной струне. Их можно наблюдать, например, в порту у бетонной стены причала. Там «стоячесть» обеспечивается интерференцией набегающих и отраженных волн. В результате амплитуда волн синхронно меняется - поверхность то вспучивается высокими буграми, то разглаживается.
Почему «ожившая» неоднородность производит именно стоячую волну? В работе Сахарова это показано математически, попробуем проиллюстрировать эффект «на пальцах». Здесь важную роль играет быстрое расширение. Звуковые колебания в расширяющейся Вселенной описываются уравнением, тождественным уравнению гармонического осциллятора с вязким трением (таким же, как для скалярного поля во Вселенной, таким же, как для шарика на пружинке в вязкой жидкости). Это следует из уравнений Эйнштейна. А роль вязкого трения играет скорость расширения Вселенной -постоянная Хаббла.
Начальные условия, вообще говоря, складываются из случайной суперпозиции неоднородностей разного размера с произвольным распределением производных плотности по времени. Любую начальную конфигурацию можно разложить на не зависящую от времени часть (производная по времени равна нулю) и часть, сильно зависящую от времени. Вблизи момента τ = 0 Вселенная очень быстро расширяется и «вязкое трение» очень велико. Поэтому вторая компонента (быстро меняющаяся) мгновенно затормозится и пропадет. А первая (не зависящая от времени) остается. Далее темп расширения уменьшается, вязкость падает и волны начинают колебаться. Общее решение уравнения колебаний имеет вид С1cos(ωt) + С2sin(ωt), где величины С1 и С2 не зависят от времени (но зависят от точки пространства), ω - частота колебаний. Однако поскольку во вселенной второго слагаемого с синусом нет, то колебания происходят по закону cos (ωt), что соответствует стоячей волне.
Так все выжившие акустические волны оказываются стоячими, причем все волны определенной длины имеют общую фазу. Через четверть периода (ωt = р/2) они проходят через нуль, а через полпериода (ωt = р) вновь достигают максимума (мы слегка огрубляем ситуацию: на самом деле частота волны в процессе расширения вселенной уменьшается, и соотношения не такие простые).
Рисунок 1. Эффект акустических осцилляций, предсказанный Сахаровым и пересчитанный Сюняевым, Зельдовичем и др. для модели горячей Вселенной. Забегая вперед, приводим спектр мощности угловой анизотропии реликтового излучения, полученный космическим микроволновым телескопом «Планк».
Значит, в любой момент времени волны, у которых набралась фаза π, 2π,…, будут иметь максимальную амплитуду, а 1/2 π, 3/2 π,..- нулевую. Таким образом, благодаря акустическим волнам, в любой заданный момент неоднородности барионной материи на одних размерах будут выделены, на других подавлены. В расширяющейся Вселенной есть момент, когда скорость звука резко падает, потому что падает давление, - это и есть эпоха рекомбинации. В этот момент акустические колебания застывают. Если разложить карту застывших неоднородностей в ряд Фурье, получится осциллирующая кривая, описывающая амплитуду как функцию длины волны. Эффект получил название «сахаровские осцилляции», хотя в настоящее время в научной литературе чаще используется термин «акустические осцилляции».
Сахаров работал в предположении, что Вселенная холодная. Он сделал этот выбор под влиянием Зельдовича, которому в тот момент казалось, что модель холодной Вселенной хорошо объясняет первичный нуклеосинтез. Эта гипотеза была опровергнута в тот же год, когда статья Сахарова вышла из печати. Но само явление осталось применимым и к горячей Вселенной. Причем оно оказалось реально наблюдаемым, чего не мог предвидеть Сахаров.
В принципе, в холодной Вселенной действуют похожие законы: там тоже скорость звука вначале велика, а потом резко падает. Но она падает гораздо раньше, и волны застывают, будучи гораздо меньшего размера. Причем неоднородности от самых крупных волн первого пика, дожив до наших дней, должны соответствовать небольшим звездам, о чем Сахаров написал в своей статье. На самом деле они соответствуют крупномасштабной структуре Вселенной на уровне 150 мегапарсек. Впоследствии Сахаров высказал сожаление, что неправильное исходное предположение сильно снизило ценность его работы. Тем не менее А. Д. Сахаров остается главным героем чудесной истории, связанной с акустическими осцилляциями.
То, что сахаровские осцилляции в принципе можно наблюдать, стало ясно после открытия реликтового излучения в 1965 году. Перспективу давало само реликтовое излучение: ведь его карта и есть карта ранней Вселенной, где должны быть запечатлены все неоднородности, не успевшие исказиться из-за гравитационной неустойчивости. Эффект осцилляций был проанализирован для случая горячей Вселенной Р. А. Сюняевым и Я. Б. Зельдовичем, а также независимо Джимом Пиблсом и Юй Цзе-Таем - обе работы опубликованы в 1970 году. Прошло четверть века, и сахаровские осцилляции увидели воочию. Рецепт расшифровки карты реликтового излучения прост: надо разложить ее в ряд Фурье по угловым гармоникам (мультиполям).
Если бы только Андрей Дмитриевич увидел данные, представленные на рис. 1, где показан спектр этого самого разложения карты!
Сахаров не дожил до этого момента, и Зельдович не дожил. Но Рашид Сюняев и другие, исследовавшие этот эффект в более реалистичной постановке задачи, дожили. Думаю, лучшей награды за теоретическую научную работу не придумать.
Как увидеть акустические стоячие волны, точнее, осцилляции их амплитуды? Надо подвергнуть их гармоническому анализу, иными словами, разложить на мультиполи и посмотреть, как ведут себя коэффициенты разложения. Что такое мультиполи? Самый малый - это диполь (l = 1). Диполь показывает разницу в более яркой и менее яркой половинах неба. При этом основной вклад в диполь дает движение Солнечной системы вместе с Галактикой относительно усредненной системы покоя Вселенной - эта скорость около 600 км/с. Там, куда мы движемся, реликтовое излучение кажется ярче, а там, откуда движемся - слабее. Отделить диполь, связанный с аберрацией от нашего движения, от истинного диполя реликтового излучения невозможно, поэтому он просто выбрасывается из анализа. Следующий - квадруполь (l = 2), он отражает глобальную сплюснутость (или вытянутость) распределения яркости. И т.д.
Двумерное разложение сферической карты отличается от одномерного разложения Фурье тем, что каждый мультиполь l представлен суммой 2l + 1 членов со своими коэффициентами. Для того, чтобы увидеть, какие масштабы неоднородностей сильнее выражены, все эти коэффициенты не нужны - достаточно взять среднее от суммы их квадратов (традиционно обозначаемое как Сl). Соответствующее распределение называется спектром мощности, именно оно показано на рис. 2.
Высокий пик слева означает, что карта имеет самую контрастную пятнистость при размере пятна около градуса. Он соответствует акустическим волнам, пришедшим к моменту рекомбинации с фазой π. За одно колебание они успели подрасти из-за гравитационного взаимодействия с темной материей, которая за это время «скомковалась» в сто раз сильней барионного вещества. Правее - следующие пики, соответствующие фазам 2π, 3π и т.д. Пики при увеличении номера мультиполя (уменьшении размеров неоднородностей) становятся ниже, потому что оказываются «замытыми» из-за диффузии фотонов, которые успевают частично разбежаться из сгущения вещества за период колебания стоячей волны. Это так называемый эффект Силка. Особенно хорошо этот эффект наблюдается на рис. 3, где тот же самый спектр мощности дан в логарифмическом масштабе и к нему добавлены данные наземных установок с меньшим охватом неба, но с лучшим угловым разрешением.
Черные точки с ошибками (те же, что и на рис. 2) - результат WMAP. Голубые точки - результат обзора небольшой части неба, сделанного с лучшим угловым разрешением с помощью микроволнового телескопа на Южном полюсе (SPT). Оранжевые точки - данные Космологического телескопа в Атакаме (ACT). Сплошная кривая - результат подгонки теории только к данным WMAP, данные при муль-типольных моментах больше тысячи не использовались!
Точки с наименьшими ошибками получены на микроволновом телескопе, расположенном на Южном полюсе (тарелка диаметром 10) - там фон от теплового излучения атмосферы меньше, чем в не столь экстремальных местах.
Рисунок 2. Разложение карты реликтового излучения, снятой WMAP за 9 лет наблюдений, по угловым мультиполям (спектр мощности).
Рисунок 3. То же самое разложение, что и на рис. 2, но в логарифмическом масштабе и с добавлением данных наземных микроволновых телескопов.
Рисунок 4. Прогресс в разрешении космических микроволновых телескопов. Один и тот же участок неба, снятый COBE.WMAP и «Планком»
Про обработку данных и пресловутую "подгонку" - продолжение следует.