Макс Борн о физическом смысле действительного числа

[evgeniirudnyi]

'В этой теории [кинетической теории газов] обычно утверждается, что в принципе результат является детерминированным и что введение статистических рассмотрений необходимо только из-за нашего незнания точного начального состояния большого числа молекул. Я давно думал о том, что первая часть этого утверждения чрезвычайно подозрительна.'

'Связь с

Comments

[lj_frank_bot]

Здравствуйте!
Система категоризации Живого Журнала посчитала, что вашу запись можно отнести к категории: История.
Если вы считаете, что система ошиблась - напишите об этом в ответе на этот комментарий. Ваша обратная связь поможет сделать систему точнее.
Фрэнк,
команда ЖЖ.

[bluxer]

То есть физического смысла нет и не будет.

[evgeniirudnyi]

В этом есть определенная проблема в физике. В теории физики есть уравнения, связанные с пи, например, в уравнениях Максвелла. В то же время нельзя придать пи физического смысла.

[bluxer]

Так это нормально: живём в одном мире, думаем в другом)

[riftsh]

Вполне адекватный практический ответ на первые две цитаты из Борна дает молекулярно-динамическое моделирование. Если при численном решении уравнений движения для молекулярной системы, временной шаг достаточно мал (меньше, чем самое короткое характерное время изменения состояния, для большинства жидкостей 1-2 фемтосекунды), то координаты всех атомов в каждый (дискретный) момент времени имеют полностью определенное значение с заданной точностью. При этом, поведение этой модельной системы вполне соответствует ее физическому эквиваленту и позволяет с высокой точностью вычислять практически все ее термодинамические параметры.

[evgeniirudnyi]

Все дело в выражении "с заданной точностью". В молекулярной динамике есть ошибки округления, которые невозможно исключить. Это примерно соответствует тому, что Борн говорит о пи - можно получить только округленное значение. Точно значение получить принципиально невозможно.

Более того, ошибки округления плюс неустойчивость быстро приводят к тому, что решение уходит от точного неизвестно куда. В этом отношении молекулярная динамика в конце концов не сильно отличается от Монте-Карло.

См. например

Норман, Генри Эдгарович, and Владимир Владимирович Стегайлов. "Стохастическая теория метода классической молекулярной динамики." Математическое моделирование 24, no. 6 (2012): 3-44.

[riftsh]

Все дело в выражении "практический ответ" ;)

На сегодня МД позволяет моделировать структуру и многие свойства простых и не очень простых (многокомпонентные жидкости, биомолекулы) систем с точностью, сравнимой или превосходящей экспериментальную и без расходимости решения на требуемых для этого временных интервалах.

Другими словами, если мы моделируем какую-то систему на протяжении одной микросекунды (т.е., порядка миллиарда шагов интегрирования) и она всё еще "жива", то значит округленные координаты, скорости и т.д. на каждом из этих шагов эквивалентны "точным" значениям for all practical purposes.

[evgeniirudnyi]

У термина нестабильность в данном контексте есть два значения. Одна - это когда решение разлетается в разные стороны, и которая связана с нестабильностью из-за выбора слишком большого шага интегрирования.

Но есть другая нестабильность, связанная со внутренними свойствами самой механической системы. Она уже не приводит к разлетанию системы, но просто вычисляемая траектория уходит в сторону от точной. Молекула как таковая остается, более того, даже усреднение приводит к нормальным результатам. Просто в данном случае численная траектория становится эквивалентом выбора точек в фазовом пространстве типа Монте-Карло.

Про это неплохо написано в статье Нормана.

[trita]

Уберите из физмата pi, e и пр. трансцендентные числа, и всё что у вас останется можете считать тру физикой )

[evgeniirudnyi]

Соединение математики с миром через физику - не простая задача. Шаг вправо, шаг влево и ...

[nikital2014]

Просто непонятно, что такое "сантиметр". Это наша условная мера, которую можно определять и измерять до бесконечности. Чтобы было максимально точно, нужно всё измерять в мельчайших "кубиках" самого пространства и материи, то есть в тех самых "атомах" в первоначальном смысле этого слова. Но до них ещё нужно добраться :)

[evgeniirudnyi]

Это однако подразумевает, что с пи будут проблемы, поскольку целых или рациональных чисел для пи недостаточно.

Кстати, в данном случае можно рассмотреть число Авогадро. Предполагается, что это целое число, но появится ли возможно измерить его точно?

[nikital2014]

=Это однако подразумевает, что с пи будут проблемы, поскольку целых или рациональных чисел для пи недостаточно.=

Я почему-то не сразу понял, что в цитате число пи, слишком непривычные для меня прямые ножки у буквы π :)

Ну а так, да, очевидно, что иррациональные числа физического смысла не имеют, просто действительные числа это же ведь не только иррациональные, зачем пи в пример-то приводить?

=Кстати, в данном случае можно рассмотреть число Авогадро. Предполагается, что это целое число, но появится ли возможно измерить его точно?=

Моли привязаны к килограммам, а килограмм - это непонятно что. Поэтому в нынешней системе единиц точно вряд ли измерим, только в продвинутой системе единиц сверхдалекого будущего, где вместо метров, секунд и килограммов будут мельчайшие неделимые единицы пространства-времени и энергии :)

[evgeniirudnyi]

Бесконечности в математике полны чудес, поэтому:

'Любое рациональное число в записи по любому основанию ненормально.'

См. раздел Рациональность и нормальность