Comment calculer la vitesse d'échappement
Intentionnellement ou pas, l'arrivée de la compagnie SpaceX a donné une nouvelle vie á l'interêt public pour des recherches spatiales. Expliquer comment calculer la vitesse d'échappement semble être une bonne façon d'être au courant.
On sait du cours scolaire de physique que Ep = mgh et Ek = 2-1mV2 où m est une masse de l'objet, g est une acceleration gravitationnelle, h - une altitude and V - vitesse d l'objet. Afin de calculer l'hauteur maximale, la vitesse verticale lors un impact ou son changement, on utilise la formule suivante :
mgh = 2-1mV2
Telle formule est cependant insuffisante pour calculer la vitesse de l'echappement parce que afin de respecter les conditions de l'echappement (h = ∞), on obtient V = (2g∞)1/2 = (∞)1/2 ce qui est impossible de calculer. La raison est une acceleration gravitationelle g qu'on traite de constante parce que l'hauteur est tellement minuscule par rapport à la rayon de la planète pour en avoir un effet important. Trouver un produit de g et h devient alors un defi qui necessite un recours à l'integration. Premièrement il faut definir g(h).
Selon la loi universelle de la gravité :
mg = GmMr-2
Où G est une constante gravitationnelle universelle, M est une masse de corps celeste et r est son rayon. L'hauteur (h) est égale à 0 au niveau de surface et est colinéaire à son rayon, donc il faut a y ajouter.
g(h) = GM(r+h)-2
Pour mieux comprendre nôtre objectif, il est suggeré de dessiner un graphique de g(h). Cette graphique ne sert qu'aux fins illustratifs, c'est à dire une demonstration de l'aire à calculer.
Donc gh est égal à :
∫
h=∞
GM(r+h)-2dh
h=0
Étant les constantes, G et M peuvent être mises dehors. r est aussi une constante mais elle est ajoutée a la variable h et la somme est mise au degré -2 ce qui indique qu'elle reste à l'intérieur
GM
∫
h=∞
h=∞
|
h=0
|
(r+h)-2dh
=
-GM
(r+h)-1
=
GM
(r+h)-1
=
h=0
h=0
h=∞
Vesc = (2GMr-1)1/2
Telle formule peut être trouvée après les recherches sur les mots-clé « vitesse d'échappement » bien que son apparence serait differente. Cependant, elle ne représente qu'une valeur pour la projectile tirée à partir de niveau de surface. Les fusées spaciales atteignent la vitesse nécessaire à l'hauteur importante donc selon les calculs precedents :
Vesc = [2GM(r+h)-1]1/2