Продолжая полемику...
Небольшое предисловие.
Мне очень приятно, воспользовавшись случаем, поблагодарить Викторию (ritovita ), которая дала мне ссылку на журнал замечательного ivanov_petrov , в результате чего у меня завязалась многостраничная полемика с kak022 . Именно к нему в первую очередь и обращено всё далее написанное. Сразу хочу предупредить, что полемика носит довольно узкоспециальный характер; к тому же она всецело опирается на обсуждения из предыдущих веток. Тем, кто от этой проблематики далёк, я не рекомендовал бы даже пытаться читать то, что следует далее под "катом".
Итак, начнём-с. Я хочу разделить несколько затронутых в процессе дискуссии тем, оформляя это дело в виде отдельных пунктов.
1. Апории Зенона (окончание).
Мне кажется, этот вопрос следует считать решённым в рамках данной дискуссии. Подытожить всё сказанное хотелось бы так. По моему мнению, два из парадоксов - "Ахиллес и черепаха", "Дихотомия" - симметричны друг другу и поэтому их надо анализировать вместе. Кардинальный изъян обоих рассуждений Зенона состоит в том, что "правила игры" не заданы явно, это влечёт путаницу. Прежде всего нужно было бы уточнить, какие мыслительные акты позволено совершать (по правилам игры), а какие - нет. Тогда никакого противоречия и не возникло бы.
Что касается парадокса "Стрела", то здесь вопрос легко решается, если навести порядок с отождествлением и различением. С такого рода проблемами (надо подчеркнуть, проблемами совершенно общего характера) математика давно и успешно справляется. В какой-то из популярных книг есть даже такой афоризм: "Математика - это искусство видеть различное в одинаковом и одинаковое в различном". Итак, чтобы представить себе процесс движения, нужно просто ввести совокупность всех занимаемых стрелой позиций. Каждую позицию можно рассматривать как упорядоченный набор объектов. Скажем, если стрела A в мгновение t занимает позицию x, то мы добавляем в эту совокупность набор (A,t,x). Вся эта совокупность содержит всю необходимую информацию о движении. "Единство" обеспечивается указанием на одну и ту же стрелу A во всех рассматриваемых наборах.
Я думаю, что на основании только лишь того, что процесс движения нельзя описать совсем уж примитивными средствами, вовсе не следует, что "движения нет", а существует лишь Единое. Я не имею ничего против концепции Единого, но мне кажется, что для разрешения столь частного вопроса можно обойтись и более простыми средствами.
В заключение замечу, что мне очень не нравится подход, при котором на разум надевается намордник. Никакого "противоречия", никакой "антиномии" в том, что при необходимости мы можем отождествлять объекты, а при необходимости - различать, я не вижу. Ведь, как уже говорилось, само по себе отношение тождественности получает смысл только при задании процедуры отождествления. Поэтому два утверждения "объекты X и Y тождественны в силу процедуры P1" и "объекты X и Y различны в силу процедуры P2" нисколько не противоречат друг другу.
Я вижу общую слабость "древнего мышления" в том, что оно антиметодологично. Для древних мыслителей многие вещи существовали как бы сами по себе, а нужно всегда обращать внимание на то, какие за этими вещами стоят ДЕЯТЕЛЬНОСТИ. Тогда все "антиномии" рассеиваются аки дым.
В общем, по поводу апорий у меня всё, а к "противоречиям" мы ещё вернёмся.
2. По поводу антиинтеллектуализма.
Вы процитировали следующие мои слова:
А кто будет читать всякую хрень про "бытие-в-себе" или "трансцендентальную имманентность"? Никто кроме парочки извращенцев.
Они смутили Вас тем, что сквозь них будто бы просвечивает установка на антиинтеллектуализм. Спешу Вас заверить, что это не так. Вовсе не интеллект, вовсе не интеллектуальная деятельность косвенно порицаются этой фразой. Объектов моей "атаки" здесь на самом деле два. Начну с первого.
Мне очень претит манера объяснять простые вещи "учёным" языком. Я очень далёк от того, чтобы млеть от слов, которые звучат "научно". Тем более, что такой мудрёный язык очень часто используется, чтобы скрыть тривиальность сказанного. Сложные понятия и обозначения широко используются прежде всего в математике, но их надо воспринимать как "строительные леса", избавляясь от них при первой же возможности. Если сравнить современные обозначения с обозначениями работ столетней давности, то налицо просто ГИГАНТСКИЙ ПРОГРЕСС. То есть эти вещи на самом деле можно и нужно совершенствовать. Я не буду приводить конкретные примеры, так как их много. Скажу только, что я много лет тренирую своё умение рассказывать довольно сложные вещи людям, у которых не слишком велик багаж знаний в той или иной области.
Мне вспоминается пример, приведённый в одной из книг о русском языке. Речь шла о названии диссертации: "О форме поверхности верховьев реки Анюй". Вроде всё просто и понятно. Однако такое название не отдаёт "научностью". Поэтому оно было заменено на следующее: "О некоторых особенностях формирования пенеплена в районе Хорско-Анюйской бифуркации". Тут уже никто не придерётся.
Я помню как однажды Дмитрий Галковский, философ по образованию, сказал, что кантовская "вещь в себе" есть не что иное как "вещь сама по себе". Понятно, что многие философские термины уже укоренились, но для меня второй вариант звучит намного привлекательнее первого (несмотря на то, что к первому обороту я привык, и слух он мне вовсе не режет).
Короче говоря, я против псевдонаучной лексики. Это один момент. Второй же состоит в том, что философские тексты того же Канта или Гегеля вряд ли может осилить человек неподготовленный. Не в силу объективной сложности этих сочинений, а в силу того, что всё это написано плохим, тяжеловесным языком, да к тому же ещё и при переводе кое-что могло исказиться. С "поводырём", который бы разъяснял ту или иную встречающуюся в текстах тарабарщину, это, вероятно, можно воспринимать. Но такая возможность есть далеко не у всех. Те, кто пытаются осилить Гегеля или Канта при помощи чисто любительского чтения, скорее всего, просто не разберутся в сути. Это будет чтение на уровне гоголевского Петрушки. Однако я встречал в своей жизни немало людей, у которых хватало терпения заглатывать в непереваренном виде сложно написанные философские тексты. Именно таких людей я и назвал "извращенцами". Разве не извращением было бы чтение сложного математического трактата любителем, которому в этом тексте понятны лишь отдельные слова? Я лично никогда не пытаюсь читать непонятные мне тексты. Натыкаясь на непонятное, я всегда СРАЗУ ЖЕ БРОСАЮ.
В общем, я надеюсь, что продемонстрировал Вам, какие соображения у меня на самом деле были. Ясно, что ничего общего с антиинтеллектуализмом они не имеют.
3. Об "Анти-Дюринге".
Мне кажется бесплодной попытка как-то отстоять написанное Энгельсом по поводу математики. Даже если сделать поправки на то, что какие-то вещи он изложил небрежно, то всё равно его некомпетентность очевидна. Я попытаюсь ещё раз вернуться к этому, учитывая в том числе и контекст его высказываний.
Говоря об аксиомах, Энгельс подвергает сомнению то положение Дюринга, которое нынче стало общепринятым - математику можно строить на базе аксиом. Выбор аксиом более или менее произволен, а сами аксиомы - это формальные положения, нечто вроде правил игры; экспериментальная их "проверка" невозможна. Аргумент Энгельс использует весьма странный - он приводит несколько куцых положений, говорит, что они по сути тавтологичны, а потому из них нельзя вывести ничего содержательного.
Этот ход мысли совершенно неправильный. Я могу привести такой пример. Возьмём только логические аксиомы (их можно явно указать при желании). Их не так много; все они не только являются, но даже называются тавтологиями. Если мы возьмём любую содержательную теорему (скажем, теорему Пифагора), то её доказательство представляет собой чисто логический вывод из аксиом геометрии. Если обозначить использованные в рассуждении аксиомы через A1, A2, ..., An, а само доказываемое положение через B, то формула A1 & A2 & ... &An => B, выражающая собой тот факт, что конъюнкция рассмотренных нами аксиом влечёт заключение B, есть не что иное как (сложно устроенная) тавтология. Можно сделать такой вывод: всякое содержательное математическое доказательство можно рассматривать как вывод некой тавтологии, то есть логической формулы, истинной при всех мыслимых интерпретациях. Такой вывод может кому-то показаться неожиданным, но он сродни тому, что сложные живые организмы тем не менее состоят из химических элементов.
Кстати, вопрос о "химических элементах логики", если можно так выразиться, сам по себе очень интересен. Вопрос звучит так: каков минимально необходимый набор логических средств необходим для того, чтобы можно было вывести (по заданным правилам) все тождественно истинные формулы логики? Оказывается, таких средств очень мало, и практически все они знакомы каждому человеку (скажем, в числе этих средств - рассуждение "от противного"). В полном виде эту важную задачу решил Курт Гёдель, Доказав теорему о ПОЛНОТЕ (исчисления предикатов). Любопытно, что о другой теореме Гёделя, теореме о НЕПОЛНОТЕ (формальной арифметики) слышали очень многие, а ведь "теорема о полноте" намного важнее.
Итак, я чётко формулирую, в чём главная ошибка Энгельса в рассуждении по поводу аксиом: он считал, что из них нельзя вывести ничего содержательного в силу их тавтологического статуса. На деле же всё обстоит прямо противоположным образом.
Тот факт, которому Энгельс уделяет почему-то много внимания - факт происхождения многих математических понятий из практики - совершенно очевиден. То, что математики, выбирая те или иные объекты для изучения, могут руководствоваться какими-то внематематическими соображениями, ни для кого тоже не является секретом. Утверждения такого рода столь же ценны, как и утверждения типа "все математики - это прежде всего люди". Зачем об этом говорить - непонятно. Мне кажется, Дюринг просто попытался сказать о роли аксиоматического метода в математике, а Энгельс не имел об этом методе никакого понятия (так как даже не знал, какие на свете бывают аксиомы).
Представьте себе, что один человек говорит о классификации растительного и животного мира по Карлу Линнею, а другой ему говорит, что всё это ерунда: растения - это рожь, пшеница, а животные - корова, собака. Если мир второго человека ограничивается тем, что он перечислил, то и в самом деле - какой тут к чёрту Линней!
Теперь по поводу "противоречий". Я ничего не имею против гегелевского учения о диалектике, но иллюстрировать эти идеи можно на разном материале. Суждение типа "Сократ (есть) человек" - это вовсе не отождествление одного с другим. Поэтому вряд ли следует сначала трактовать отношение включения как отношение тождества, а потом при помощи хитрых трюков выходить из положения. Я могу понять Ваш комментарий на таком примере: допустим, решая задачу, мы пишем x=3, соединяя знаком равенства заведомо неодинаковые вещи. Здесь можно выйти из положения гораздо проще, имея в виду, что знак равенства мы только пишем, а подразумеваем нечто вроде оператора присваивания в программировании, т.е. x:=3. В этом случае мы имеем ситуацию, в которой объекты x и 3 вовсе не отождествились, а просто вступили между собой в некоторое отношение. Последнее нисколько не противоречит логике.
Кстати, из-за несовершенства математических обозначений происходит много недоразумений. Например, часто встречается такая ошибка, когда про число -x думают, что оно отрицательно. Природу этого дела блестяще объяснил В.А.Уфнаровский. Он высказал мысль, что знак "минус" используется в трёх разных ролях. Например, в выражении -(5-(-2)) встречаются три таких знака. Из них второй - это символ разности, третий - признак отрицательного числа, а первый - просто ПРИЗНАК СМЕНЫ ЗНАКА. На калькуляторах есть даже соответствующая кнопка /-/. Таким образом, в выражении -x просто видят признак отрицательного числа вместо "калькуляторного" минуса.
По поводу степени и корня я, честно говоря, даже не до конца понимал, в чём именно Энгельс увидел противоречие. Мне казалось, он считал, что при возведении в степень число обычно увеличивается, а при извлечении корня - уменьшается. Поэтому мысль о том, что корень из числа может являться его степенью, на каком-то наивно-детском уровне может показаться дикой. Вы же предложили несколько иную, хотя и похожую версию - что возведение в степень и извлечение корня - это противоположные операции. Но ведь здесь причина только в том, что разные вещи называют одним словом. Возведение в степень с натуральным показателем - это одна вещь, а возведение в степень с дробным показателем - совершенно другая, хоть и называются они одинаково. Они в математике и определяются по отдельности, а в школе изучаются в разных классах. Я не вижу повода заключать из этого, что "уже низшая математика кишит противоречиями", как не вижу никакого противоречия в факте существования омонимов.
Вы верно подметили одну вещь, на которой моё внимание не было сосредоточено: все эти вещи действительно МОГУТ ПОКАЗАТЬСЯ противоречиями, если исходить из ДЕТСКОГО ПОДХОДА к делу. С подобными проблемами приходится сталкиваться учителям, т.е. явление имеет место. Но зачем же в философском сочинении сознательно становиться на "детскую" точку зрения? Кстати, у меня и к древним грекам претензии по этому же поводу: они всё время мыслят по-детски. Между прочим, я Вам очень благодарен за ссылку на статью о наличии совести у древних греков. Меня эта тематика очень интересует сама по себе. (Я не нашёл статьи в сети, поэтому придётся с ней ознакомиться в библиотеке.) Мне кажется, если принять точку зрения автора статьи, то многие вещи получают объяснение. Для меня есть глубокая связь между отсутствием совести и мышлением того типа, о котором мы говорим. Механизм этот мне в целом понятен, но я хотел бы этот интересный вопрос обсудить отдельно.
Наконец, о многострадальной "мнимой единице". Я не совсем уловил смысл той Вашей фразы, где Вы упомянули курс ТФКП. Я мог из-за этого понять Вас неверно. Но я могу сделать замечание от себя, что при стандартном изложении теории комплексных чисел очень редко используют один приём, который, как мне кажется, совершенно элементарен и доступен для понимания каждого. Обычно сразу говорят: введём числа вида a+bi, где i - корень из минус единицы. В более "продвинутых" курсах вводят множество пар вида (a,b), определяют действия над ними, и в конце оказывается, что мнимое число - это всего-навсего пара (0;1), в которой абсолютно нет ничего мистического. Второй подход лучше, но он не всем доступен. Когда я читаю лекции первокурсникам, то перед введением этих самых пар и формального изложения даю следующую иллюстрацию, которая приводит к "корню из минус единицы" очень простым и естественным путём.
Рассмотрим числовую прямую. Легко заметить, что действиям над числами соответствуют преобразования этой прямой. Например, прибавлению числа 2 к заданному числу соответствует параллельный перенос на 2 единицы вправо; умножению на 3 - растяжение прямой и т.п. Поскольку умножение на -1 есть поворот на 180 градусов, то умножение на корень из минус единицы естественно интерпретировать как действие, которое, будучи совершено дважды, даёт поворот на 180 градусов. В качестве такого действия подходит поворот на 90 градусов. Так что осталось повернуть нашу числовую прямую на 90 градусов, чтобы получить "мнимую ось". На ней лежат все чисто мнимые числа, т.е. числа вида bi просто по построению (при повороте действительное число b умножилось на мнимую единицу i). Это даёт сразу комплексную плоскость и все числа вида a+bi (чтобы научится прибавлять a к имеющемуся числу bi, нужно вспомнить о параллельном переносе).
Вот и всё, никакой мистики. К сожалению, предмет зачастую излагают так, что всё берётся как бы с потолка, и многие убеждены, что корень из минус единицы - это какой-то полумистический объект, который невозможно себе представить. А это совсем не так.
Поскольку никто не требует от Энгельса знания разного рода премудростей, я закончу тем, что просто спародирую его же рассуждение, только сделаю это на несколько более элементарном материале. Тогда анекдотичность его рассуждений просто бросится в глаза. Допустим, что мы знакомы с только натуральными числами и испытываем священный трепет перед числами отрицательными. Тогда в духе Энгельса можно сказать следующее:
"Число -1 представляет собой полнейший абсурд, вопиющее противоречие, потрясение основ человеческой мысли. Подумать только: всем известно, что если одно число прибавить к другому, то ведь результат всегда увеличивается! Математики же ничтоже сумняшеся используют в своих рассуждениях такую безусловно абсурдную величину как -1, прибавление которой не увеличивает, а уменьшает число! Как это может быть - совершенно непостижимо для разума, ибо "прибавить" - это ведь и означает "сделать больше". Однако математики, а сейчас и не только математики, свободно оперируют такой величиной как -1, а иногда и более абсурдными величинами наподобие -1000000. Говорят, что при помощи таких величин им даже удаётся довести до банкротства некоторых фабрикантов".
Засим позвольте закончить столь длинную "эссею".