об априоризме
Этот текст -- давно обещанный коммент на вот этот пост kosilova, который я решил вынести сюда. Я не претендую на подробное освещение этого вопроса, хотел лишь сделать несколько замечаний. Речь идёт об априоризме, то есть представлении о наличии априорных идей, понятий или категорий в сознании. Обсуждение началось в этом посте, и я здесь согласен почти со всем сказанным кроме итогового вывода о том, что априоризм потерпел фиаско. Я думаю, это всё-таки не так. Просто вскрылся более глубокий уровень понимания вопроса, о чём как раз и свидетельствует то, что пишет dennett.
Пост посвящён вопросам узкоспециального характера и вряд ли будет интересен широкому кругу юзеров.
Знакомство с содержанием предыдущих обсуждений хотя и не обязательно, но желательно. Начинать читать лучше со второй ссылки. Если далее возникнет дискуссия, то мне, как минимум, хотелось бы по возможности избежать обсуждений философского "бэкграунда" и исторического аспекта. Меня самого в первую очередь интересует круг вопросов о взаимосвязи идей, понятий, процедур, которые либо являются базовыми, либо близки к ним.
Я сразу же оговорюсь, что естественнонаучную составляющую вопроса оставляю в стороне. То есть психологию, биологию и всё прочее. Меня больше интересует "рафинированная" постановка вопроса, с точки зрения не столько человеческого сознания, сколько какого-нибудь "искусственного" сознания. Со многим, что пишет kosilova, я согласен, но хотелось бы кое-что уточнить. Для начала я считаю уместным сказать, что категорию (классического) отрицания следует, видимо считать априорной. Я не представляю себе её сведения к чему-либо более простому. Можно попробовать сказать то же самое про другие логические операции наподобие конъюнкции или дизъюнкции. Но здесь я вижу нечто вроде сведения. Раскрывать этот процесс пока не буду, но могу сделать это в комментах, если кого заинтересует. Для начала скажу несколько слов о логическом отрицании.
Допустим, есть некоторое утверждение вроде следующего: существуют три целых числа, сумма кубов которых равна 30. Это в самом деле так; можно предъявить явный пример, найденный сравнительно недавно. Даже если бы такого примера не было известно (скажем, при замене числа 30 на 33 получается открытый вопрос), то мы легко себе представляем, что означает истинность утверждения о существовании нужной тройки чисел. Действительно, если всё на самом деле так, то нужная тройка может быть предъявлена, и в справедливости того факта, что сумма кубов равна заданному числу, можно убедиться при помощи вычисления.
Представим себе теперь ситуацию, когда наше утверждение ложно (то есть не истинно). Мы находимся в ситуации, когда истинно отрицание исходного утверждения. Как убедиться в этом? Ведь здесь речь идёт о справедливости бесконечного множества утверждений. В ряде случаев не составляет труда этот факт доказать при помощи косвенного рассуждения. Например, если вместо 30 взять 31 или 32. Но такое рассуждение в принципе может быть очень сложным. Оно может использовать методы, выходящие далеко за пределы теории чисел. Наконец, в рамках заданной аксиоматики доказательство может вообще не существовать! Здесь как раз проявляется отличие изначального утверждения и его отрицания: в первом случае, если утверждение верно, доказательство непременно есть (предъявили пример; подставили и проверили). Во втором же случае это не так.
Какой вывод я хотел бы отсюда сделать? Прежде всего тот, что утверждение и его отрицание могут резко различаться по степени своей доказуемости, а также по характеру той воображаемой процедуры, которая стоит за представлением об истинности или ложности. Однако, если мы для себя чётко уяснили, что означает истинность утверждения, придали этому факту какой-то понятный, "абсолютный" смысл, то из "априорности" категории отрицания следует, что мы придаём отрицанию утверждения тоже некий абсолютный смысл, который, тем не менее, может уже столь легко и не интерпретироваться.
Чтобы завершить обсуждение вопроса об отрицании, рассмотрим ещё такой пример. Вот есть мешок, в нём могут лежать какие-то различимые нами предметы. Мы их не видим. То есть фактически нам дано множество. Требуется узнать, пусто оно или нет. Мы протягиваем руку, шарим в мешке и вдруг что-то находим. Эта вещь предъявляется на всеобщее обозрение, и все приходят к убеждению, что множество непусто. А если мы шарим в мешке и долго ничего не находим, то у нас пока нет уверенности в пустоте множества. Вдруг где-то там что-то завалялось, и мы не всё обшарили? (Так довольно часто бывает в реальных случаях.) То есть и тут виден зазор -- между "нечто" и "ничто". Первое можно предъявить, узреть. Второе же узреть нельзя, и принять эту категорию мы можем только через отрицание, если оставаться в рамках такого подхода. Одна ситуация нам чётко понятна; вторая -- не столь чётко, но мы считаем её вполне осмысленной просто как отрицание первой.
Дальнейшую часть я хотел бы посвятить обсуждению такой категории как равенство. (Иногда говорят о тождестве.) Весь круг проблем с привкусом "гераклита" я намеренно оставляю за бортом и не хотел бы видеть эту тему в комментах -- предупреждаю сразу. Мне ближе всего точка зрения Есенина-Вольпина. В моей вольной интерпретации она выгдядит так: нет "канонического" отношения тождества; в разных ситуациях могут употребляться разные процедуры отождествления. Без указания процедуры понятие тождества вообще не имеет смысла. Иллюзия осмысленности возникает лишь из-за того, что во многих ситуациях процедура неявно подразумевается. Но она так или иначе есть.
То есть на самом деле имеется очень много процедур. Получающееся при этом отношение может даже не быть отношением эквивалентности, то есть не обладать одновременно сразу тремя свойствами -- рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью. Более детально: рефлексивность вообще-то всегда имеет место по определению (в противном случае не надо говорить о тождественности -- лучше сменить название); несимметричный случай легко себе представить на примере следующего опыта. Человеку показывают две вещи. Сначала одну, потом другую. Его просят ответить на вопрос, одинаковы ли эти вещи по его мнению, находит ли он в них какие-то различия. Тут чаще всего, конечно, ответ не будет зависеть от порядка показа предметов, но вполне возможно нарушение симметрии вот по какой причине. Предмет может иметь незначительные особенности, которые при первом показе просто не оседают в памяти, потому что в этот момент не с чем ещё сравнивать. И какое-нибудь слабое потускнение цвета просто не будет замечено. А при осмотре второго предмета разница может броситься в глаза, так как в голове уже есть определённый образ. Что же касается транзитивности, то тут всё ещё проще. Мы можем не чувствовать разницу в миллиметр, но чувствовать разницу в два. Тогда первый и второй предметы вроде бы одинаковы при их осмотре, второй и третий -- тоже, а вот при осмотре первого и третьего уже заметна разница.
Итак, тождество я бы не наделял изначально даже свойствами эквивалентности, исключая рефлексивность. То есть понятие равенства я бы сходу не отнёс к базовым, априорным. По крайней мере, на основании высказанных соображений. Просто самих "равенств" очень уж много. Но какие-то априорные понятия всё-таки при этом всплывают. Я не уверен, что здесь легко сходу дать готовый ответ, но на что-то указать можно. Например, везде фигурирует процедура сравнения. Понятие сравнения ни в коем случае не предполагает понятия равенства. Я на этом жёстко настаиваю. Сравнивать можно на любой предмет: "больше или меньше по размерам", "что больше нравится". С таким же успехом можно было бы говорить о понятии "больше", но ясно, что это на априорную категорию никак не тянет, да и смысл здесь определён далеко не всегда. За идеей сравнения на самом деле маячит идея бинарного предиката. Ясно, что как равенство, так и отношение "больше" (когда последнее определено) -- это разновидности, частные случаи бинарных предикатов. То есть имеются два объекта, порядок которых, вообще говоря, важен. И про них требуется сказать что-то. Ответ должен иметь форму "да" или "нет". Вопрос изначально задаётся в нужном виде. Типа, "считаете ли вы, что первый предмет лучше второго"? Здесь всплывают такие понятия как "один" и "два", то есть вроде бы надо уметь считать до двух. Однако я легко себе представляю ситуацию, когда ребёнка просто спрашивают: ты хочешь это или это? Он просто пальцем потом показывает. То есть ответ даже не транслируется в форму жеста, означающего "да" или "нет". Считать ребёнок вообще не умеет, да счёт здесь и не имеет отношения к делу. В конце концов, предметы могли быть вывалены в кучу на столе, и из них надо было бы выбрать что-то наиболее предпочтительное. В таких случаях пересчёт мало кому приходит в голову. Желаемый объект может выделяться и просто бросаться в глаза. Формально здесь возникает предикат как бы с неопределённым количеством "аргументов" (я не знаю, как выразиться лучше). На переднем плане здесь акт предпочтения. Сам механизм предпочтения может быть очень сложным. В реальности бывает и так, что нечто бросается в глаза, а затем идёт быстрое сравнение предпочтённого объекта с остальными. При этом объект может поочерёдно сраниваться с каждым, то есть мы опять возвращаемся к бинарному случаю. Вообще-то анализ того, как происходит процедура, не должен здесь ничего определять. Мало ли что там может быть внутри? Важно то, что сама процедура делает в результате. Анализ содержимого этого "чёрного ящика" важен в том случае, когда мы что-либо хотим к чему-то свести, а если категория объявляется первичной, то подобное описание возникает только на уровне пояснения -- когда мы описываем её суть.
Таким образом, кандидатами на "первичность" оказываются такие вещи как "бинарный предикат", "сравнение" и даже "предпочтение". Мне здесь важна сама высказываемая мысль, но я не считаю, что упомянутые мной понятия надо сразу брать и заносить в число фундаментальных категорий. За всеми этими вещами стоит какая-то общая идея, которую мне и хотелось бы выделить. Возможно, это сделать не так трудно, при этом не слишком отходя от "канона". Отдельно замечу, что мне больше нравится развивать мысль в русле того, что я в шутку называю "есенинизмом-вольпинизмом", и оттуда идёт идея о "предпочтении". Кстати, сам Александр Сергеевич (если кто не знает -- это сын Сергея Есенина и Надежды Вольпин) широко использует такую лексику как "ситуация", "указание" (считающиеся первичными понятиями); он также часто говорит о "тактике предпочтений" и "прослеживании связей". В связи с последним термином я хочу обсудить один из аргументов, который приводит kosilova.
Речь идёт об определении равенства множеств. Имеется в виду, что множества равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов (любой элемент, принадлежащий одному из множеств, должен принадлежать и другому). В определении фигурирует логическая связка "тогда и только тогда". Её можно истолковать как нечто, напоминающее равенство. Мы можем, например, определить квадрат следующей фразой: "квадрат = равносторонний прямоугольник". Однако в математической логике принято все эти вещи строго различать. Когда-то было просто "равенство". Потом оно как бы "распалось". Есть обычное равенство, понимаемое как тождество. Есть знак равенства, используемый, например, в уравнениях. Есть знак оператора присваивания в программировании (одностороннее равенство). Есть знак логической эквиваленции (здесь можно даже выделить два варианта: использование этой связки в формальном языке и в метаязыке, но это уже отдельная тонкость). Наконец, есть специальный символ, который я не могу изобразить, но это знак равенства с "заусеницами". (Чтобы его получить, можно взять цифру 1 и повернуть её на 90 градусов против часовой стрелки; это будет нижняя чёрточка. Верхняя чёрточка получается поворотом цифры на 90 градусов по часовой стрелке.) Это особый знак для выражения "равно по определению". Он отличается по смыслу от всего выше перечисленного.
На всякий случай я хотел бы заметить, что даже знак "минус" используется в трёх смыслах: признак отрицательного числа (-3,14); символ вычитания (x-y) и оператор смены знака (-x). Последняя вещь -- это значок /-/ на калькуляторах. Это всё разные вещи, на что обратил внимание В.А.Уфнаровский. Объясняя причину ошибки, часто совершаемой школьниками, он заметил, что последние нередко склонны считать число -x отрицательным, путая первое и третье толкование.
Возвращаясь к равенству, я хотел бы заметить, что при множественности толкований, между всеми ними есть что-то общее, и вот это общее тянет на то, чтобы быть в некотором роде априорным. Можно было бы говорить об "абстрактном равенстве". Тут уже не просто бинарный предикат, а предикат, наделённый какими-то свойствами, подчиняющийся неким ограничениям. Идея "абстрактного равенства" может себя по-разному проявлять, наполняясь конкретным содержанием. Эти проявления тем самым являются вторичными, и идея ни к одному из них не сводится.
В заключение я хотел бы разобрать ещё один пример, касающийся связи между равенством множеств и отношением принадлежности. (О нём идёт речь в тексте поста по первой ссылке.) В теории множеств за основу берётся понятие принадлежности. Оно никак не определяется, равно как в геометрии не определяется понятие точки. Сразу надо сказать, что этот теоретико-множественный подход вряд ли разумно переносить в область философии, потому что вся конструкция с мешками, в которых что-то лежит -- это идеализация ситуаций из области опыта, то есть априоризм здесь совершенно не задействован. У математиков была совершенно другая задача -- они хотели просто смоделировать все возникающие в математической практике конструкции на минимальном материале -- на базе всего одного бинарного предиката. Равенство множеств определяется через принадлежность. Выше я приводил само определение. Процитирую небольшой фрагмент из обсуждаемого поста kosilova.
Как бы мы ни определяли математическое равенство как понятие, у нас всегда работает наша нормальная базовая когнитивная категория равенства. Допустим, разберем определение через принадлежность. Что реально происходит? Нам даны два множества. Мы выделяем, условно говоря, первый элемент первого множества и ищем, входит ли он во второе. Мы нашли его там. Реально мы имеем две ситуации: элемент входит в одно множество, и он входит в другое множество. У нас здесь уже есть равенство субъектов: этот элемент, тот же самый. Имеем равенство отношений принадлежности (он входит сюда, он в том же самом смысле входит и туда), хотя сами множества, пока еще, конечно разные. А разный -- это равенство с отрицанием. Категория равенства задействована уже вовсю.
Я вовсе не собираюсь как-либо критиковать это рассуждение, потому что по большому счёту оно справедливо. (Под равенством отношений принадлежности здесь понимается логическая эквивалентность.) Тут речь может идти о человеческом сознании. Но можно представить себе некое абстрактное, "теоретико-множественное" сознание, которое по мановению волшебной палочки или по велению Кантора наделено априорным представлением о принадлежности. И это сознание хочет осмыслить в этих терминах понятие равенства. Я хочу показать, что такое явление возможно. Дело в том, что процедура установления равенства двух объектов хотя и апеллирует к сравнению каких-то других объектов, но это аналогично компьютерным программам или процедурам, которые вызывают сами себя. Корректность подобного приёма зависит от того, окончится ли выполнение такой программы за конечное время. Это обязательно произойдёт, если программа устроена таким образом, что она сводит решение задачи сравнения двух объектов к одной или нескольким задачам сравнения более простых в каком-то смысле объектов. То есть можно считать, что мы сводим задачу к задачам того же рода, но более простым. И в итоге приходим к задачам совсем элементарным, к задачам "нулевого уровня", ответ на которые заранее известен. В нашем примере "нулевым уровнем" будет различение таких вещей как "нечто" и "ничто", что в математике "спрятано" в определение пустого множества и законы логики.
Успешность процедуры сравнения множеств будет гарантирована, если принять так называемую "аксиому регулярности", которая входит в число "канонических" аксиом. Суть её в том, что все рассматриваемые множества строятся, грубо говоря, "из ничего" при помощи "оболочек", которые можно представлять себе в виде целлофановых пакетов. Внутри пакетов могут быть другие пакеты. Если нам дано множество, то мы наудачу вынимает один из его элементов -- это тоже пакет. (В случае, если вынуть нечего, то есть мы имеем дело с пустым множеством, считается, что мы достигли цели.) Вынутый нами пакет может что-то содержать внутри. Снова вынимаем наудачу его элемент и так далее, пока не придём к пустому множеству. Аксиома регулярности обязывает нас рассматривать только такие множества, для которых описываемый процесс всегда оканчивается за конечное число шагов. (При этом число шагов может быть, вообще говоря, сколь угодно большим.)
Простой пример "множества", которое этой аксиоме не удовлетворяет, получается так. Берём пакет, в него кладём второй. Во второй кладём третий. И так до бесконечности. Получается некое множество X, которое состоит из самого себя в качестве элемента, то есть X={X}. Такую вот "экзотику" аксиома регулярности запрещает.
В рамках аксиомы регулярности оказывается, что стандартная процедура сравнения множеств всегда заканчивает работу за конечное число шагов и выдаёт результат. Можно оформить её в виде некой программы на псевдоалгоритмическом языке (я надеюсь, что профессиональные программисты простят меня за использование "алгоритмического волапюка"). Команды TRUE и FALSE подразумевают определённый ответ и автоматический выход из программы.
equal(x,y);
for s in x do b:=0;
for t in y do if equal(s,t) then b:=1 fi od;
if b=0 then FALSE fi
od;
for t in y do b:=0;
for s in x do if equal(s,t) then b:=1 fi od;
if b=0 then FALSE fi
od;
TRUE
end:
Ну и у моего поста на этом тоже END :)
"Вот и сказке конец, а кто слушал -- молодец" (c)
UPD А кто слушал внимательно, тот вдвойне молодец! Я изменил текст программы, так как ninapod справедливо указала мне на то, что приведённый мной вариант описывал не сравнение множеств, а совершенно другую процедуру.
Пост посвящён вопросам узкоспециального характера и вряд ли будет интересен широкому кругу юзеров.
Знакомство с содержанием предыдущих обсуждений хотя и не обязательно, но желательно. Начинать читать лучше со второй ссылки. Если далее возникнет дискуссия, то мне, как минимум, хотелось бы по возможности избежать обсуждений философского "бэкграунда" и исторического аспекта. Меня самого в первую очередь интересует круг вопросов о взаимосвязи идей, понятий, процедур, которые либо являются базовыми, либо близки к ним.
Я сразу же оговорюсь, что естественнонаучную составляющую вопроса оставляю в стороне. То есть психологию, биологию и всё прочее. Меня больше интересует "рафинированная" постановка вопроса, с точки зрения не столько человеческого сознания, сколько какого-нибудь "искусственного" сознания. Со многим, что пишет kosilova, я согласен, но хотелось бы кое-что уточнить. Для начала я считаю уместным сказать, что категорию (классического) отрицания следует, видимо считать априорной. Я не представляю себе её сведения к чему-либо более простому. Можно попробовать сказать то же самое про другие логические операции наподобие конъюнкции или дизъюнкции. Но здесь я вижу нечто вроде сведения. Раскрывать этот процесс пока не буду, но могу сделать это в комментах, если кого заинтересует. Для начала скажу несколько слов о логическом отрицании.
Допустим, есть некоторое утверждение вроде следующего: существуют три целых числа, сумма кубов которых равна 30. Это в самом деле так; можно предъявить явный пример, найденный сравнительно недавно. Даже если бы такого примера не было известно (скажем, при замене числа 30 на 33 получается открытый вопрос), то мы легко себе представляем, что означает истинность утверждения о существовании нужной тройки чисел. Действительно, если всё на самом деле так, то нужная тройка может быть предъявлена, и в справедливости того факта, что сумма кубов равна заданному числу, можно убедиться при помощи вычисления.
Представим себе теперь ситуацию, когда наше утверждение ложно (то есть не истинно). Мы находимся в ситуации, когда истинно отрицание исходного утверждения. Как убедиться в этом? Ведь здесь речь идёт о справедливости бесконечного множества утверждений. В ряде случаев не составляет труда этот факт доказать при помощи косвенного рассуждения. Например, если вместо 30 взять 31 или 32. Но такое рассуждение в принципе может быть очень сложным. Оно может использовать методы, выходящие далеко за пределы теории чисел. Наконец, в рамках заданной аксиоматики доказательство может вообще не существовать! Здесь как раз проявляется отличие изначального утверждения и его отрицания: в первом случае, если утверждение верно, доказательство непременно есть (предъявили пример; подставили и проверили). Во втором же случае это не так.
Какой вывод я хотел бы отсюда сделать? Прежде всего тот, что утверждение и его отрицание могут резко различаться по степени своей доказуемости, а также по характеру той воображаемой процедуры, которая стоит за представлением об истинности или ложности. Однако, если мы для себя чётко уяснили, что означает истинность утверждения, придали этому факту какой-то понятный, "абсолютный" смысл, то из "априорности" категории отрицания следует, что мы придаём отрицанию утверждения тоже некий абсолютный смысл, который, тем не менее, может уже столь легко и не интерпретироваться.
Чтобы завершить обсуждение вопроса об отрицании, рассмотрим ещё такой пример. Вот есть мешок, в нём могут лежать какие-то различимые нами предметы. Мы их не видим. То есть фактически нам дано множество. Требуется узнать, пусто оно или нет. Мы протягиваем руку, шарим в мешке и вдруг что-то находим. Эта вещь предъявляется на всеобщее обозрение, и все приходят к убеждению, что множество непусто. А если мы шарим в мешке и долго ничего не находим, то у нас пока нет уверенности в пустоте множества. Вдруг где-то там что-то завалялось, и мы не всё обшарили? (Так довольно часто бывает в реальных случаях.) То есть и тут виден зазор -- между "нечто" и "ничто". Первое можно предъявить, узреть. Второе же узреть нельзя, и принять эту категорию мы можем только через отрицание, если оставаться в рамках такого подхода. Одна ситуация нам чётко понятна; вторая -- не столь чётко, но мы считаем её вполне осмысленной просто как отрицание первой.
Дальнейшую часть я хотел бы посвятить обсуждению такой категории как равенство. (Иногда говорят о тождестве.) Весь круг проблем с привкусом "гераклита" я намеренно оставляю за бортом и не хотел бы видеть эту тему в комментах -- предупреждаю сразу. Мне ближе всего точка зрения Есенина-Вольпина. В моей вольной интерпретации она выгдядит так: нет "канонического" отношения тождества; в разных ситуациях могут употребляться разные процедуры отождествления. Без указания процедуры понятие тождества вообще не имеет смысла. Иллюзия осмысленности возникает лишь из-за того, что во многих ситуациях процедура неявно подразумевается. Но она так или иначе есть.
То есть на самом деле имеется очень много процедур. Получающееся при этом отношение может даже не быть отношением эквивалентности, то есть не обладать одновременно сразу тремя свойствами -- рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью. Более детально: рефлексивность вообще-то всегда имеет место по определению (в противном случае не надо говорить о тождественности -- лучше сменить название); несимметричный случай легко себе представить на примере следующего опыта. Человеку показывают две вещи. Сначала одну, потом другую. Его просят ответить на вопрос, одинаковы ли эти вещи по его мнению, находит ли он в них какие-то различия. Тут чаще всего, конечно, ответ не будет зависеть от порядка показа предметов, но вполне возможно нарушение симметрии вот по какой причине. Предмет может иметь незначительные особенности, которые при первом показе просто не оседают в памяти, потому что в этот момент не с чем ещё сравнивать. И какое-нибудь слабое потускнение цвета просто не будет замечено. А при осмотре второго предмета разница может броситься в глаза, так как в голове уже есть определённый образ. Что же касается транзитивности, то тут всё ещё проще. Мы можем не чувствовать разницу в миллиметр, но чувствовать разницу в два. Тогда первый и второй предметы вроде бы одинаковы при их осмотре, второй и третий -- тоже, а вот при осмотре первого и третьего уже заметна разница.
Итак, тождество я бы не наделял изначально даже свойствами эквивалентности, исключая рефлексивность. То есть понятие равенства я бы сходу не отнёс к базовым, априорным. По крайней мере, на основании высказанных соображений. Просто самих "равенств" очень уж много. Но какие-то априорные понятия всё-таки при этом всплывают. Я не уверен, что здесь легко сходу дать готовый ответ, но на что-то указать можно. Например, везде фигурирует процедура сравнения. Понятие сравнения ни в коем случае не предполагает понятия равенства. Я на этом жёстко настаиваю. Сравнивать можно на любой предмет: "больше или меньше по размерам", "что больше нравится". С таким же успехом можно было бы говорить о понятии "больше", но ясно, что это на априорную категорию никак не тянет, да и смысл здесь определён далеко не всегда. За идеей сравнения на самом деле маячит идея бинарного предиката. Ясно, что как равенство, так и отношение "больше" (когда последнее определено) -- это разновидности, частные случаи бинарных предикатов. То есть имеются два объекта, порядок которых, вообще говоря, важен. И про них требуется сказать что-то. Ответ должен иметь форму "да" или "нет". Вопрос изначально задаётся в нужном виде. Типа, "считаете ли вы, что первый предмет лучше второго"? Здесь всплывают такие понятия как "один" и "два", то есть вроде бы надо уметь считать до двух. Однако я легко себе представляю ситуацию, когда ребёнка просто спрашивают: ты хочешь это или это? Он просто пальцем потом показывает. То есть ответ даже не транслируется в форму жеста, означающего "да" или "нет". Считать ребёнок вообще не умеет, да счёт здесь и не имеет отношения к делу. В конце концов, предметы могли быть вывалены в кучу на столе, и из них надо было бы выбрать что-то наиболее предпочтительное. В таких случаях пересчёт мало кому приходит в голову. Желаемый объект может выделяться и просто бросаться в глаза. Формально здесь возникает предикат как бы с неопределённым количеством "аргументов" (я не знаю, как выразиться лучше). На переднем плане здесь акт предпочтения. Сам механизм предпочтения может быть очень сложным. В реальности бывает и так, что нечто бросается в глаза, а затем идёт быстрое сравнение предпочтённого объекта с остальными. При этом объект может поочерёдно сраниваться с каждым, то есть мы опять возвращаемся к бинарному случаю. Вообще-то анализ того, как происходит процедура, не должен здесь ничего определять. Мало ли что там может быть внутри? Важно то, что сама процедура делает в результате. Анализ содержимого этого "чёрного ящика" важен в том случае, когда мы что-либо хотим к чему-то свести, а если категория объявляется первичной, то подобное описание возникает только на уровне пояснения -- когда мы описываем её суть.
Таким образом, кандидатами на "первичность" оказываются такие вещи как "бинарный предикат", "сравнение" и даже "предпочтение". Мне здесь важна сама высказываемая мысль, но я не считаю, что упомянутые мной понятия надо сразу брать и заносить в число фундаментальных категорий. За всеми этими вещами стоит какая-то общая идея, которую мне и хотелось бы выделить. Возможно, это сделать не так трудно, при этом не слишком отходя от "канона". Отдельно замечу, что мне больше нравится развивать мысль в русле того, что я в шутку называю "есенинизмом-вольпинизмом", и оттуда идёт идея о "предпочтении". Кстати, сам Александр Сергеевич (если кто не знает -- это сын Сергея Есенина и Надежды Вольпин) широко использует такую лексику как "ситуация", "указание" (считающиеся первичными понятиями); он также часто говорит о "тактике предпочтений" и "прослеживании связей". В связи с последним термином я хочу обсудить один из аргументов, который приводит kosilova.
Речь идёт об определении равенства множеств. Имеется в виду, что множества равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов (любой элемент, принадлежащий одному из множеств, должен принадлежать и другому). В определении фигурирует логическая связка "тогда и только тогда". Её можно истолковать как нечто, напоминающее равенство. Мы можем, например, определить квадрат следующей фразой: "квадрат = равносторонний прямоугольник". Однако в математической логике принято все эти вещи строго различать. Когда-то было просто "равенство". Потом оно как бы "распалось". Есть обычное равенство, понимаемое как тождество. Есть знак равенства, используемый, например, в уравнениях. Есть знак оператора присваивания в программировании (одностороннее равенство). Есть знак логической эквиваленции (здесь можно даже выделить два варианта: использование этой связки в формальном языке и в метаязыке, но это уже отдельная тонкость). Наконец, есть специальный символ, который я не могу изобразить, но это знак равенства с "заусеницами". (Чтобы его получить, можно взять цифру 1 и повернуть её на 90 градусов против часовой стрелки; это будет нижняя чёрточка. Верхняя чёрточка получается поворотом цифры на 90 градусов по часовой стрелке.) Это особый знак для выражения "равно по определению". Он отличается по смыслу от всего выше перечисленного.
На всякий случай я хотел бы заметить, что даже знак "минус" используется в трёх смыслах: признак отрицательного числа (-3,14); символ вычитания (x-y) и оператор смены знака (-x). Последняя вещь -- это значок /-/ на калькуляторах. Это всё разные вещи, на что обратил внимание В.А.Уфнаровский. Объясняя причину ошибки, часто совершаемой школьниками, он заметил, что последние нередко склонны считать число -x отрицательным, путая первое и третье толкование.
Возвращаясь к равенству, я хотел бы заметить, что при множественности толкований, между всеми ними есть что-то общее, и вот это общее тянет на то, чтобы быть в некотором роде априорным. Можно было бы говорить об "абстрактном равенстве". Тут уже не просто бинарный предикат, а предикат, наделённый какими-то свойствами, подчиняющийся неким ограничениям. Идея "абстрактного равенства" может себя по-разному проявлять, наполняясь конкретным содержанием. Эти проявления тем самым являются вторичными, и идея ни к одному из них не сводится.
В заключение я хотел бы разобрать ещё один пример, касающийся связи между равенством множеств и отношением принадлежности. (О нём идёт речь в тексте поста по первой ссылке.) В теории множеств за основу берётся понятие принадлежности. Оно никак не определяется, равно как в геометрии не определяется понятие точки. Сразу надо сказать, что этот теоретико-множественный подход вряд ли разумно переносить в область философии, потому что вся конструкция с мешками, в которых что-то лежит -- это идеализация ситуаций из области опыта, то есть априоризм здесь совершенно не задействован. У математиков была совершенно другая задача -- они хотели просто смоделировать все возникающие в математической практике конструкции на минимальном материале -- на базе всего одного бинарного предиката. Равенство множеств определяется через принадлежность. Выше я приводил само определение. Процитирую небольшой фрагмент из обсуждаемого поста kosilova.
Как бы мы ни определяли математическое равенство как понятие, у нас всегда работает наша нормальная базовая когнитивная категория равенства. Допустим, разберем определение через принадлежность. Что реально происходит? Нам даны два множества. Мы выделяем, условно говоря, первый элемент первого множества и ищем, входит ли он во второе. Мы нашли его там. Реально мы имеем две ситуации: элемент входит в одно множество, и он входит в другое множество. У нас здесь уже есть равенство субъектов: этот элемент, тот же самый. Имеем равенство отношений принадлежности (он входит сюда, он в том же самом смысле входит и туда), хотя сами множества, пока еще, конечно разные. А разный -- это равенство с отрицанием. Категория равенства задействована уже вовсю.
Я вовсе не собираюсь как-либо критиковать это рассуждение, потому что по большому счёту оно справедливо. (Под равенством отношений принадлежности здесь понимается логическая эквивалентность.) Тут речь может идти о человеческом сознании. Но можно представить себе некое абстрактное, "теоретико-множественное" сознание, которое по мановению волшебной палочки или по велению Кантора наделено априорным представлением о принадлежности. И это сознание хочет осмыслить в этих терминах понятие равенства. Я хочу показать, что такое явление возможно. Дело в том, что процедура установления равенства двух объектов хотя и апеллирует к сравнению каких-то других объектов, но это аналогично компьютерным программам или процедурам, которые вызывают сами себя. Корректность подобного приёма зависит от того, окончится ли выполнение такой программы за конечное время. Это обязательно произойдёт, если программа устроена таким образом, что она сводит решение задачи сравнения двух объектов к одной или нескольким задачам сравнения более простых в каком-то смысле объектов. То есть можно считать, что мы сводим задачу к задачам того же рода, но более простым. И в итоге приходим к задачам совсем элементарным, к задачам "нулевого уровня", ответ на которые заранее известен. В нашем примере "нулевым уровнем" будет различение таких вещей как "нечто" и "ничто", что в математике "спрятано" в определение пустого множества и законы логики.
Успешность процедуры сравнения множеств будет гарантирована, если принять так называемую "аксиому регулярности", которая входит в число "канонических" аксиом. Суть её в том, что все рассматриваемые множества строятся, грубо говоря, "из ничего" при помощи "оболочек", которые можно представлять себе в виде целлофановых пакетов. Внутри пакетов могут быть другие пакеты. Если нам дано множество, то мы наудачу вынимает один из его элементов -- это тоже пакет. (В случае, если вынуть нечего, то есть мы имеем дело с пустым множеством, считается, что мы достигли цели.) Вынутый нами пакет может что-то содержать внутри. Снова вынимаем наудачу его элемент и так далее, пока не придём к пустому множеству. Аксиома регулярности обязывает нас рассматривать только такие множества, для которых описываемый процесс всегда оканчивается за конечное число шагов. (При этом число шагов может быть, вообще говоря, сколь угодно большим.)
Простой пример "множества", которое этой аксиоме не удовлетворяет, получается так. Берём пакет, в него кладём второй. Во второй кладём третий. И так до бесконечности. Получается некое множество X, которое состоит из самого себя в качестве элемента, то есть X={X}. Такую вот "экзотику" аксиома регулярности запрещает.
В рамках аксиомы регулярности оказывается, что стандартная процедура сравнения множеств всегда заканчивает работу за конечное число шагов и выдаёт результат. Можно оформить её в виде некой программы на псевдоалгоритмическом языке (я надеюсь, что профессиональные программисты простят меня за использование "алгоритмического волапюка"). Команды TRUE и FALSE подразумевают определённый ответ и автоматический выход из программы.
equal(x,y);
for s in x do b:=0;
for t in y do if equal(s,t) then b:=1 fi od;
if b=0 then FALSE fi
od;
for t in y do b:=0;
for s in x do if equal(s,t) then b:=1 fi od;
if b=0 then FALSE fi
od;
TRUE
end:
Ну и у моего поста на этом тоже END :)
"Вот и сказке конец, а кто слушал -- молодец" (c)
UPD А кто слушал внимательно, тот вдвойне молодец! Я изменил текст программы, так как ninapod справедливо указала мне на то, что приведённый мной вариант описывал не сравнение множеств, а совершенно другую процедуру.