"сказку сделать былью" (c)
Первоначально я планировал сделать добавление к предыдущему посту внутри него же. Получилось так, что текст оказался довольно длинным. Его появление во многом мотивировано теми дискуссиями, которые имели место по поводу теории вероятностей. Считаю важным предупредить, что данный пост носит сугубо математический характер и не является "популярным". Поэтому он предназначен только для математиков, а также для тех, кто находится в курсе предыдущих дискуссий.
Сказанное далее можно считать некоторым "довеском" к предыдущей записи.
Говоря о "пространстве элементарных событий", я имел в виду следующий ход мысли. Представим себе, что мы изучаем некоторый случайный процесс. Для простоты и удобства я буду считать, что мы имеем дело с одной случайной величиной. С точки зрения естествоиспытателя, это есть некая величина, которая таинственным и непредсказуемым образом принимает какие-то численные значения. Я предлагаю (хотя бы в порядке мысленного эксперимента) встать на позицию детерминизма и воспринимать ситуацию так, что величина вовсе не случайна, а зависит от факторов, которых очень много и которых мы не можем учесть, но при этом зависит однозначно. "Множество" всех мыслимых ситуаций, каждая из которых однозначно определяет значение нашей величины -- это в некотором роде сказочный объект, существующий лишь в нашем воображении. Он вовсе не должен пугать тех, кто знаком с парадоксами теории множеств. Дело в том, что никто не собирается его каким-либо образом сильно "препарировать". Мысленный эксперимент, состоящий в рассмотрениии вышеупомянутого Множества, может совершить каждый, и никакого умственного напряжения при этом не требуется.
Но давайте теперь осуществим следующий шаг. Наша случайная величина принимает вещественные значения. Никто нам поэтому не мешает собрать воедино все те ситуации из Сказочного Множества, при которых величина примет заданное значение. Так можно поступить с каждым из значений, подвергнув Множество факторизации, т.е. разбиению на части. Этих частей будет столько, сколько значений принимает наша случайная величина, т.е. не более континуума. Таким образом, мы подвергли первоначальный объект "сжатию", и теперь имеем дело со старым добрым континуумом -- привычным для работы объектом. Сказка стала былью. Туман рассеялся.
На том континууме (или его подмножестве), который теперь возник, естественным образом задаётся вероятностная мера. При этом возникает и вероятностное пространство, у которого пространство элементарных событий является "хорошим" множеством.
Можно, однако, пойти ещё дальше и предъявить в некотором смысле даже более приятную конструкцию. Мне она кажется весьма изящной, поэтому я её сейчас опишу. Должен сказать, что именно после осознания этого факта (я был тогда студентом мехмата МГУ третьего курса) я по-настоящему ощутил вкус теории вероятностей.
Итак, пусть нам дана случайная величина X. Для каждого вещественного числа x рассмотрим вероятность того, что значение величины X не превосходит x. Полученную вероятность обозначим через F(x). В итоге мы имеем функцию, определённую на всей числовой прямой со значениями в отрезке [0;1]. Эта функция называется функцией распределения случайной величины X. Из аксиом теории вероятностей легко вывести следующие свойства функции F(x).
1) F(x) -- монотонно неубывающая функция, заданная на R;
2) F(x) стремится к 0 (к 1) при x стремящемся к -\infty (+\infty);
3) F(x) непрерывна справа.
Оказывается, что эти условия являются не только необходимыми, но и достаточными, т.е. их выполнение влечёт существование такой случайной величины X на некотором вероятностном пространстве, функция распределения которой есть в точности F(x). Этот, на мой взгляд, замечательный факт обычно лишь отмечается в учебниках, но не столь часто доказывается. Однако доказательство является очень коротким и эффектным.
Будем пока для простоты считать, что график функции F(x) напоминает график арктангенса. Повернём картинку с графиком на 90 градусов, т.е. фактически рассмотрим обратную функкцию. Она будет задана на отрезке [0;1] за вычетом, может быть, концов. В общей ситуации, когда F(x) имеет точки разрыва ("скачки"), мы можем дополнить график функции F(x) вертикальными линиями, устраняющими эти скачки. При этом получится некоторая непрерывная кривая. В повёрнутой на 90 градусов картинке мы увидим нечто, напоминающее график функции. Мешать нам могут лишь вертикальные участки этого "графика", соответствующие промежуткам постоянства функции F(x). Элементарные соображения показывают, что количество таких промежутков не более чем счётно, а это означает, что "обратная" функция задана на всём отрезке [0;1] за вычетом не более чем счётного множества точек. (Совсем просто, хотя и необязательно, добиться того, чтобы эта функция была определена на [0;1] всюду.) Теперь остаётся совершить решающий шаг: объявить [0;1] пространством элементарных событий, задать на нём привычное равномерное распределение и объявить нашу "обратную" функцию случайной величиной. Простая проверка показывает, что её функцией распределения будет именно F(x).
Утверждение, конечно, известное, но зато как это красиво! Случайную величину "приручили" настолько, что она теперь задана на отрезке [0;1], да ещё и с равномерным распределением.
Завершить хочется одним замечанием. Часто задают вопрос: чем теория вероятностей отличается от теории меры? Колмогоров в своё время разъяснял, что в теории вероятностей особую роль играет понятие независимости (событий, а также случайных величин). В теории меры случай, когда мера пересечения двух множеств оказывается равна произведению их мер, явно не стоит в центре внимания (а если и стоит, то это означает возикновение теоретико-вероятностного аспекта). Кстати, Андрей Николаевич вообще считал важным осознание того, что являет собой независимость в философском плане. (Проблематика на самом деле интересная, но я её в данный момент обсуждать не готов.)
Есть и другой аспект, который обычно молчаливо подразумевается. Для специалиста по теории функций совершенно разными будут, например, функции f(x)=x и f(x)=1-x на отрезке [0;1]. Если же их рассматривать как случайные величины, то они имеют одинаковую функцию распределения, и с точки зрения теории вероятностей совершенно равнозначны. Поэтому следует лишний раз подчеркнуть, что случайные величины, рассматриваемые как функции на пространстве с мерой, можно объявить "одинаковыми", если их функции распределения совпадают.
Сказанное далее можно считать некоторым "довеском" к предыдущей записи.
Говоря о "пространстве элементарных событий", я имел в виду следующий ход мысли. Представим себе, что мы изучаем некоторый случайный процесс. Для простоты и удобства я буду считать, что мы имеем дело с одной случайной величиной. С точки зрения естествоиспытателя, это есть некая величина, которая таинственным и непредсказуемым образом принимает какие-то численные значения. Я предлагаю (хотя бы в порядке мысленного эксперимента) встать на позицию детерминизма и воспринимать ситуацию так, что величина вовсе не случайна, а зависит от факторов, которых очень много и которых мы не можем учесть, но при этом зависит однозначно. "Множество" всех мыслимых ситуаций, каждая из которых однозначно определяет значение нашей величины -- это в некотором роде сказочный объект, существующий лишь в нашем воображении. Он вовсе не должен пугать тех, кто знаком с парадоксами теории множеств. Дело в том, что никто не собирается его каким-либо образом сильно "препарировать". Мысленный эксперимент, состоящий в рассмотрениии вышеупомянутого Множества, может совершить каждый, и никакого умственного напряжения при этом не требуется.
Но давайте теперь осуществим следующий шаг. Наша случайная величина принимает вещественные значения. Никто нам поэтому не мешает собрать воедино все те ситуации из Сказочного Множества, при которых величина примет заданное значение. Так можно поступить с каждым из значений, подвергнув Множество факторизации, т.е. разбиению на части. Этих частей будет столько, сколько значений принимает наша случайная величина, т.е. не более континуума. Таким образом, мы подвергли первоначальный объект "сжатию", и теперь имеем дело со старым добрым континуумом -- привычным для работы объектом. Сказка стала былью. Туман рассеялся.
На том континууме (или его подмножестве), который теперь возник, естественным образом задаётся вероятностная мера. При этом возникает и вероятностное пространство, у которого пространство элементарных событий является "хорошим" множеством.
Можно, однако, пойти ещё дальше и предъявить в некотором смысле даже более приятную конструкцию. Мне она кажется весьма изящной, поэтому я её сейчас опишу. Должен сказать, что именно после осознания этого факта (я был тогда студентом мехмата МГУ третьего курса) я по-настоящему ощутил вкус теории вероятностей.
Итак, пусть нам дана случайная величина X. Для каждого вещественного числа x рассмотрим вероятность того, что значение величины X не превосходит x. Полученную вероятность обозначим через F(x). В итоге мы имеем функцию, определённую на всей числовой прямой со значениями в отрезке [0;1]. Эта функция называется функцией распределения случайной величины X. Из аксиом теории вероятностей легко вывести следующие свойства функции F(x).
1) F(x) -- монотонно неубывающая функция, заданная на R;
2) F(x) стремится к 0 (к 1) при x стремящемся к -\infty (+\infty);
3) F(x) непрерывна справа.
Оказывается, что эти условия являются не только необходимыми, но и достаточными, т.е. их выполнение влечёт существование такой случайной величины X на некотором вероятностном пространстве, функция распределения которой есть в точности F(x). Этот, на мой взгляд, замечательный факт обычно лишь отмечается в учебниках, но не столь часто доказывается. Однако доказательство является очень коротким и эффектным.
Будем пока для простоты считать, что график функции F(x) напоминает график арктангенса. Повернём картинку с графиком на 90 градусов, т.е. фактически рассмотрим обратную функкцию. Она будет задана на отрезке [0;1] за вычетом, может быть, концов. В общей ситуации, когда F(x) имеет точки разрыва ("скачки"), мы можем дополнить график функции F(x) вертикальными линиями, устраняющими эти скачки. При этом получится некоторая непрерывная кривая. В повёрнутой на 90 градусов картинке мы увидим нечто, напоминающее график функции. Мешать нам могут лишь вертикальные участки этого "графика", соответствующие промежуткам постоянства функции F(x). Элементарные соображения показывают, что количество таких промежутков не более чем счётно, а это означает, что "обратная" функция задана на всём отрезке [0;1] за вычетом не более чем счётного множества точек. (Совсем просто, хотя и необязательно, добиться того, чтобы эта функция была определена на [0;1] всюду.) Теперь остаётся совершить решающий шаг: объявить [0;1] пространством элементарных событий, задать на нём привычное равномерное распределение и объявить нашу "обратную" функцию случайной величиной. Простая проверка показывает, что её функцией распределения будет именно F(x).
Утверждение, конечно, известное, но зато как это красиво! Случайную величину "приручили" настолько, что она теперь задана на отрезке [0;1], да ещё и с равномерным распределением.
Завершить хочется одним замечанием. Часто задают вопрос: чем теория вероятностей отличается от теории меры? Колмогоров в своё время разъяснял, что в теории вероятностей особую роль играет понятие независимости (событий, а также случайных величин). В теории меры случай, когда мера пересечения двух множеств оказывается равна произведению их мер, явно не стоит в центре внимания (а если и стоит, то это означает возикновение теоретико-вероятностного аспекта). Кстати, Андрей Николаевич вообще считал важным осознание того, что являет собой независимость в философском плане. (Проблематика на самом деле интересная, но я её в данный момент обсуждать не готов.)
Есть и другой аспект, который обычно молчаливо подразумевается. Для специалиста по теории функций совершенно разными будут, например, функции f(x)=x и f(x)=1-x на отрезке [0;1]. Если же их рассматривать как случайные величины, то они имеют одинаковую функцию распределения, и с точки зрения теории вероятностей совершенно равнозначны. Поэтому следует лишний раз подчеркнуть, что случайные величины, рассматриваемые как функции на пространстве с мерой, можно объявить "одинаковыми", если их функции распределения совпадают.