Каннабиноида
Вопрос тем, кто не читает веб-журнал И. Весеннего «Привычка не думать» (трансляция в ЖЖ rss_my_tribune): за что ж вы себя так не любите?
А мы сегодня построим полярную кривую каннабиноиду. Недавно она промелькнула где-то в ссылках, но без объяснений (спасибо за наводку olgapavlova). А мы разберем, как эта кривая устроена, да еще и свою, покрасивее сделаем!
Начнем с разновидности синусоидальной спирали 9-го порядка. Нужно заметить, что особого математического интереса такая кривая, в отличие от ее разновидностей низших порядков, не представляет.
PolarPlot[(1 + Sin[9 x]), {x, 0, 2 Pi}]
Теперь «впишем» эту кривую в кардиоиду. Кардиоида - тоже синусоидальная спираль, но первого порядка: r = 1 + sin θ. Эта спираль гораздо чаще возникает и в природе, и в математических построениях. В частности, центральная часть множества Мандельброта очерчивается кардиоидой. Кардиоида также является одной из каустик окружности, и поэтому может непосредственно наблюдаться в отражении света на поверхности жидкости в круглой миске.
PolarPlot[(1 + Sin[x]), {x, 0, 2 Pi}]
Когда мы перемножим значения радиусов кривых, вершины лепестков первой розетты лягут на кардиоиду. Вот что получится:
PolarPlot[(1 + Sin[9 x]) (1 + Sin[x]), {x, 0, 2 Pi}]
Чтобы придать листьям остроконечность, помножим эту кривую на еще одну синусоидальную спираль. У этой спирали будет по 5 периодов на каждый из 9 лепестков розетты. Также домножим член с синусом на константу c < 1: r = 1 + c sin n θ. Понятно, что при c = 1, наименьшее значение радиуса r будет 0, именно при значении синуса, равном 1. При c < 1, однако, наименьший радиус будет положительным, и потому спираль не коснется начала координат:
PolarPlot[(1 + 0.03 Sin[9*5 x]), {x, 0, 2 Pi}]
Домножив нашу функцию на эту кривую, заставим листья немного расширяться от основания, а затем сужаться к концу:
PolarPlot[(1 + Sin[9 x]) (1 + Sin[x]) (1 + 0.03 Sin[9*5 x]), {x, 0, 2 Pi}]
Теперь добавим тем же способом зубчики на краях «листьев». Можно поэкспериментировать с разными порядками кривых и константы c; самый красивый результат у меня получился вот какой:
PolarPlot[(1 + Sin[9 x]) (1 + Sin[x]) (1 + 0.03 Sin[9*5 x]) (1 + 0.04 Sin[9*33 x]), {x, 0, 2 Pi}]
Конечно, это всего лишь математическая шутка, но она заставляет задуматься и над серьезным вопросом: имеет ли отношение эта кривая к настоящей форме листа конопли? Если и так, то отношение это очень и очень отдаленное. Формирование листа - очень сложный процесс, где превалируют локальные клеточных явления; иными словами, делящаяся клетка, само собой, не действует в зависимости от своих глобальных координат θ и r, а «знает» состояние только соседних клеток. Так что если мы и найдем подобную функцию в природе, то ее появление будет не причиной, а результатом иного процесса. Какого же? Вспомним, что центральная часть хаотического множества Мандельброта имеет форму приблизительно кардиоиды. На определенных масштабах хаотических процессов появляется порядок, и иногда этот порядок бывает достаточно прост, чтобы приближенно описываться аналитическими функциями. В таком рассмотрении, кардиоидальная форма листа конопли не случайна, и может быть ключом к описанию характера локальных процессов деления клеток в растущем листе. Но это рассуждение стоит целой заметки, и мы обязательно рассмотрим одну очень интересную вычислительную биологическую модель в следующий раз.
А мы сегодня построим полярную кривую каннабиноиду. Недавно она промелькнула где-то в ссылках, но без объяснений (спасибо за наводку olgapavlova). А мы разберем, как эта кривая устроена, да еще и свою, покрасивее сделаем!
Начнем с разновидности синусоидальной спирали 9-го порядка. Нужно заметить, что особого математического интереса такая кривая, в отличие от ее разновидностей низших порядков, не представляет.
PolarPlot[(1 + Sin[9 x]), {x, 0, 2 Pi}]
Теперь «впишем» эту кривую в кардиоиду. Кардиоида - тоже синусоидальная спираль, но первого порядка: r = 1 + sin θ. Эта спираль гораздо чаще возникает и в природе, и в математических построениях. В частности, центральная часть множества Мандельброта очерчивается кардиоидой. Кардиоида также является одной из каустик окружности, и поэтому может непосредственно наблюдаться в отражении света на поверхности жидкости в круглой миске.
PolarPlot[(1 + Sin[x]), {x, 0, 2 Pi}]
Когда мы перемножим значения радиусов кривых, вершины лепестков первой розетты лягут на кардиоиду. Вот что получится:
PolarPlot[(1 + Sin[9 x]) (1 + Sin[x]), {x, 0, 2 Pi}]
Чтобы придать листьям остроконечность, помножим эту кривую на еще одну синусоидальную спираль. У этой спирали будет по 5 периодов на каждый из 9 лепестков розетты. Также домножим член с синусом на константу c < 1: r = 1 + c sin n θ. Понятно, что при c = 1, наименьшее значение радиуса r будет 0, именно при значении синуса, равном 1. При c < 1, однако, наименьший радиус будет положительным, и потому спираль не коснется начала координат:
PolarPlot[(1 + 0.03 Sin[9*5 x]), {x, 0, 2 Pi}]
Домножив нашу функцию на эту кривую, заставим листья немного расширяться от основания, а затем сужаться к концу:
PolarPlot[(1 + Sin[9 x]) (1 + Sin[x]) (1 + 0.03 Sin[9*5 x]), {x, 0, 2 Pi}]
Теперь добавим тем же способом зубчики на краях «листьев». Можно поэкспериментировать с разными порядками кривых и константы c; самый красивый результат у меня получился вот какой:
PolarPlot[(1 + Sin[9 x]) (1 + Sin[x]) (1 + 0.03 Sin[9*5 x]) (1 + 0.04 Sin[9*33 x]), {x, 0, 2 Pi}]
Конечно, это всего лишь математическая шутка, но она заставляет задуматься и над серьезным вопросом: имеет ли отношение эта кривая к настоящей форме листа конопли? Если и так, то отношение это очень и очень отдаленное. Формирование листа - очень сложный процесс, где превалируют локальные клеточных явления; иными словами, делящаяся клетка, само собой, не действует в зависимости от своих глобальных координат θ и r, а «знает» состояние только соседних клеток. Так что если мы и найдем подобную функцию в природе, то ее появление будет не причиной, а результатом иного процесса. Какого же? Вспомним, что центральная часть хаотического множества Мандельброта имеет форму приблизительно кардиоиды. На определенных масштабах хаотических процессов появляется порядок, и иногда этот порядок бывает достаточно прост, чтобы приближенно описываться аналитическими функциями. В таком рассмотрении, кардиоидальная форма листа конопли не случайна, и может быть ключом к описанию характера локальных процессов деления клеток в растущем листе. Но это рассуждение стоит целой заметки, и мы обязательно рассмотрим одну очень интересную вычислительную биологическую модель в следующий раз.