банальное о Гёделе
Я хорошо понимаю восхищение просвещённых лэйменов теоремой Гёделя о неполноте. И правда, в ней есть какая-то симпатичная магия: доказываем, что чего-то доказать нельзя, откуда можно вывести много (псевдо)философских максим о (не)познавемости Вселенной, (не)существовании Б-га и т.п. На самом деле, подобные доказательсвтва невозможности известны в математике с начала 19 века (Абель, Лиувилль, Чебышёв, Кантор...), и само гёделевское доказательство - не более, чем симпатичная игрушка, остроумная вариация канторовской идеи диагонализации, которая сама возникла в доказательстве невозможности «посчитать» точки на прямой.
А вот куда более удивительна, хотя гораздо менее известна, теорема Гёделя о полноте, утверждающая, грубо говоря, что в любой теории всякое утверждение либо можно доказать, либо можно построить к нему контрпример (модель, в которой оно неверно). Чем больше я думаю о нем, тем больше меня поражает этот факт
Я признаюсь честно: я до конца не разобрал ни одного д-ва теоремы о неполноте. В молодости руки не дошли, а сейчас неинтересно. А вот доказательство теоремы о полноте я разобрал во всех деталях. При этом я вполне понимаю первую, и совершенно не понимаю вторую. «Понимаю» в смысле, что от достаточно богатой теории нет никаких причин ожидать, что все возможные утверждения там должны быть доказуемы или опровергаемы. А вот почему утверждение, верное во всех моделях, должно быть доказуемо, для меня тайна великая есть.
(В порядке исключения, в этой записи я использую букву «ё».)
А вот куда более удивительна, хотя гораздо менее известна, теорема Гёделя о полноте, утверждающая, грубо говоря, что в любой теории всякое утверждение либо можно доказать, либо можно построить к нему контрпример (модель, в которой оно неверно). Чем больше я думаю о нем, тем больше меня поражает этот факт
Я признаюсь честно: я до конца не разобрал ни одного д-ва теоремы о неполноте. В молодости руки не дошли, а сейчас неинтересно. А вот доказательство теоремы о полноте я разобрал во всех деталях. При этом я вполне понимаю первую, и совершенно не понимаю вторую. «Понимаю» в смысле, что от достаточно богатой теории нет никаких причин ожидать, что все возможные утверждения там должны быть доказуемы или опровергаемы. А вот почему утверждение, верное во всех моделях, должно быть доказуемо, для меня тайна великая есть.
(В порядке исключения, в этой записи я использую букву «ё».)