„Иногда ночью, мучаясь от бессоницы, я ...“ - К. Ф. Гаусс.
В „Алгебре“ Ленга дано универсальное свойство многочленов (на самом деле, Ленг, определяет многочлены через это свойство): многочлены K[X] это объекты, для которых определена „замена коэффициентов“, заданная гомоморфизмом f:K->R, и при этом функция вычисления в точке ev_r:K[X]->R есть гомоморфизм. Наличие функции вычисления позволяет считать многочлены функциями.
Интересно, что Ленг не упоминает, что эта универсальная конструкция есть пример ко-произведения (рассмотрим, сначала, коммутативный случай):
K[X] = FR(X) + K,
где FR(X) есть свободное коммутативное кольцо с множеством образующих X, а плюс обозначает ко-произведение в категории коммутативных колец. То, что эта запись эквивалентна, проверяется тривиальным диаграммным поиском с использованием универсального свойства свободного кольца. Чтобы понять структуру кольца FR(X), вспомним элементарный факт: если функтор F0 сопряжен слева к функтору P0 (F0 -| P0), и F1 -| P1, то для их композиции имеем F0*F1 -| P1*P0. Функтор FR сопряжен слева забывающему функтору из категории (коммутативных) колец в категорию множеств. Этот последний есть композиция функтора, сопоставялющего кольцу его коммутативный мультипликативный моноид и функтора, сопоставляющего моноиду множество его элементов. Таким образом
FR(X) = GR(F(X)),
где F(X) - свободный абелев моноид с множеством образующих X, а GR(M) - моноидное кольцо моноида M (точнее, моноидное кольцо кольца целых чисел над M). Имеем:
K[X] = GR(F(X)) + K.
Подставим кольцо целых чисел Z:
Z[X] = GR(F(X)) + Z = GR(F(X)),
т.к. Z есть начальный элемент в категории коммутативных колец и, следовательно, нейтральный элемент для ко-произведения. Откуда получаем:
K[X] = Z[X] + K.
В некоммутативном случае всё точно также, только без „коммутативн-ый,-ое“ и „абелев“. Перед тем как заснуть, я ещё успел разглядеть явное представление элементов FR(X) и K0 + K1 в коммутативном и общем случае, но выписывать суммы в ASCII мне не хочется.
Вопрос 0: Кому нужен волосатый бильярдный шар?
Вопрос 1: Почему „ко-произведение“ пишется через дефис?
На последний вопрос имеем
Ответ 1: Потому что образованные люди часто читают coproduct как copro-duct.