„Но они не имеют к анализу никакого отношения.“

[furia_krucha]

Так отзывается в „Основах современного анализа“ Дьедонне о построениях в „Основах анализа“ Ландау, которые меня (и, наверное, не только) удивляли тем, что там сначала определяются натуральные числа, потом их отношения, потом Дедекиндовы сечения отношений, и только потом вводятся отрицательные числа (в обратном порядке). В стандартных изложениях, за

Comments

"– Да, это важнейший вопрос ... "

[andy_dutch]

Действительно, метрика не очень похожа на фундаментальное понятие, скорее должна определяться через что-то более основательное. Синтетическая геометрия, кстати, до определения метрики не до(тягивает)ходит; и выглядит скорее как использование "темы" из теоремы Гельфанда-Неймарка, когда пространство заменяется на махсимальные идеалы алгебры функций.
Есть еще определение метрики (в некоммутативной геометрии) Конна через оператор Дирака - не совсем удачное на мой взгляд.
Мне очень нравится статья Картье (Cartier - A mad day's work: from Grothendieck to Connes... Bull AMS 38:4 (2001) 389-408.) о том, что такое пространство, но там тоже метрика еще не определяется. Но можно надеяться, что лет через 30 ...

Re: "– Да, это важнейший вопрос ... "

[furia_krucha]

Спасибо за ссылку. В Numdam есть статьи о альтернативных основаниях анализа (P. Michor, A convenient setting for differential geometry and global analysis. и пр.), наверное потому, что Ehresmann сам этим увлекался.

Re: "– Да, это важнейший вопрос ... "

[andy_dutch]

Спасибо! Никак не получалось дочитать Михора (Моердика, ет алл) хотя бы до середины. Знаете, как рэквием Моцарта: после определенного момента неизбежно отвлекаюсь ... так и не знаю, чем там заканчивается. А вот еще одна статья Картье, если не видели думаю будет интересно (про висящую в воздухе (Манин) конструкцию интегралов Фейнмана, суммирование бесконечностей)

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/SLC/wpapers/s44cartier1.pdf

Re: "– Да, это важнейший вопрос ... "

[furia_krucha]

Забавное совпадание. Я, начав читать Картье по вашей предыдущей ссылке, тотчас вспомнил, что статью эту уже читал, но бросил, дойдя до "меньшевистской революции февраля 1917, за которой последовала большевистская революция октября 1917" (это про биографию отца Г.). Понятно, что предмет достаточно экзотической для западного человека, но тут он вроде берётся восстанавливать исторический контекст, оказавший влияние на Гротендика, а рассказывает арабские сказки. В этот раз, наверное, дочитаю.

не абстрактные абстракции

[falcao]

А что Вам не нравится в этом подходе, и что можно было бы предложить взамен? Вы считаете, что законы типа дистрибутивного вообще не надо доказывать, или хотите разбирать "64 случаев"?

Лично мне все эти конструкции всегда очень нравились. А в конце там там или иначе получался "стандартный" вид числа (типа n, 0, или -n). То есть "ущерба" ровно никакого.

Да, и я обычно когда читаю курсы на эту тему, то R строю при помощи последовательностей Коши. Сечения Дедекинда мне всегда казались более искусственными. Их преимущество только в том, что они быстрее позволяют охарактеризовать новые объекты, то есть вещественные числа. Но это вообще-то примерно то же явление, как и числами типа -n.

И ещё хочу особо отметить, что "абстрактную" математику я не люблю, но здесь возникает совсем другое явление.

Re: не абстрактные абстракции

[furia_krucha]

Мне тут „всё“ нравится, кроме чересчур категоричного утверждения Дьедонне. Просто раньше я, видимо из-за недостаточного опыта преподавания, не понимал почему Ландау идёт нестандартным путем. Мне, лично, более естественным кажется использование сечений (например, действительное число определяется как счётное множество рациональных, а не как счётный класс эквивалентности счётных последовательностей). Кстати (возможно вы знаете), есть элементарный способ построения действительных чисел прямо из целых, минуя рациональные - через классы эквивалентности функций Z -> Z (http://arxiv.org/abs/math/0301015).

R from Z

[falcao]

Какое именно утверждение Вы сочли "слишком категоричным

Re: R from Z

[furia_krucha]

В моём исходном сообщении есть только одно утверждение Дьедонне: о том, что построение действительных чисел не относится к анализу, оно вынесено в заголовок. Сам Дьедонне вводит действительные числа синтетически и, разумеется, не утруждает себя третьестепенными вопросами построения модели и доказательства непротиворечивости и категоричности.

По-моему, последовательности Коши точнее отражают сам реальный процесс возникновения одних и тех же действительных чисел как пределов разных последовательностей.Как настоящий вавилонянин вы верите не только в то, что действительные числа „реальны“, но и что возникают они одним единственным вполне определённым способом. :-) Для меня, лучшим кажется дать несколько определений. Доказательство их эквивалентности - хорошее упражнение. Ещё один недостаток определения через последовательности Коши в том, что придётся определять фундаментальные последовательности отдельно для рациональных чисел, а потом ещё раз для метрических пространств (или играть в тёмные игры, когда определяется метрика на

[furia_krucha]

Cartesian Differential Categories Revisited

[formerchild]

Спасибо

Я сейчас пытаюсь думать о дифференциальном операторе как о чём-то вроде (гротендиковского) расслоения, только определённого не для категорий, а вообще для любых полугрупп с 0. Вроде бы все примеры укладываются. Пропадают конечно алгебраические свойства, но общий смысл удерживается.