Без аксиомы фундирования невозможна (трансфинитная) индукция в обычном смысле. Про нефундированные множества писал Peter Aczel. (Кстати, интересный результат: Рассмотрим power-set функтор P:SET->SET. Его инициальная алгебра это обычный универсум множеств. Его финальная ко-алгебра: универсум нефундированных множеств.)
А почему невозможна трансфинитная индукция? Ведь ординалы всё равно останутся ординалами, не меняя своих свойств, если мы решим помимо них рассматривать ещё какие-то "множества" с более сложным поведением (типа {{...}} с бесконечным вложением скобок).
Невозможной становится индукция по отношению принадлежности, но это как бы не страшно.
Во-первых, непонятно можно ли сохранить ординалы, потому что \epsilon фундировано на всех транзитивных множествах тогда и только тогда, когда выполняется аксиома фундирования. Т.е. явно построить начальный сегмент On, достаточный для обычной математики, конечно можно, но как построить ординалы „вообще“-сходу неясно. Во-вторых, как-раз epsilon-индукция и важна на практике, просто обычно всякое множество изоморфно ординалу, поэтому все сводится к индукции по ординалам. Впрочем, и epsilon-индукция тоже явно используется. Например, чтобы доказать, что всякое множество принадлежит какому-то уровню фон-Неймановой иерархии.
Comments 30
Хотя в целом, конечно, грех спорить. Просто сложно эту математику впарить; я так и не въехал, что значит x ≤ f в этом тексте.
Вообще, речь о том, чтобы аксиому фундирования отменить? Тогда возникнут призрачные топологии, я бы предположил.
Reply
Программа Нельсона кратко изложена в Hilbert's Mistake.
Reply
Невозможной становится индукция по отношению принадлежности, но это как бы не страшно.
Reply
Reply
Leave a comment