Математика и соционика
Все, достали меня окончательно соционикой. Нет, я еще понимаю гуманитарии, но когда технари верят в это, и даже тени сомнения у них не возникает...
Сел вот, посчитал чуток.
Под катом - вывод формул.
Итак, классификация в соционике - ни что иное, как бинарная, четырех-осевая. То бишь есть 4 оси измерения. На каждой из этих осей есть 2(два) класса.
Что это значит? Это значит, что, например, если взять шкалу интраверт-экстраверт, найти двух крайних ее представителей.
1. Достать-таки чувака из глухой тайги, который туда забрался пешком, потому что испытывает почти неодолимую тягу к суициду при виде человека на протяжении хотя бы 15 микросекунд, и заставить его пройти некий тест. Пометить на шкале его результат как -1.
2. Показать тот же тест чуваку, у которого та же тяга к суициду возникает, если он не видит(трогает, общается с, ...) другого живого человека дольше, чем 15 микросекунд. Его результат на шкале отметить как +1.
Получили шкалу от -1 до 1, куда приходится все вменяемое население планеты.
3. На полученной шкале находим 0, и говорим, что люди с положительным результатом - экстраверты, а с отрицательным - интраверты.
Если провести опрос тем же тестом максимального числа людей, то путем аппроксимации получим закон распределения на этой шкале.
Обозначим функцию плотности вероятности для этого закона, как P(x).
Для дальнейших расчетов нам понадобится вычислить 2 вероятности:
Вероятность того, что случайно взятый человек - экстраверт, т.е. его результат находится в диапазоне от 0 до 1 (только адекватные люди), назовем эту величину PrP
и вероятность того, что случайно взятый человек - экстраверт, т.е. его результат находится в диапазоне от -1 до 0, эту величину назовем PrN
Понятно, что для симметричного распределения эти значения будут равны 0,5
Теперь нам понадобятся законы распределения для экстравертов и интравертов отдельно, назовем их PP(x) и PN(x)
В таком случае очевидно, что
Это позволяет нам использовать полученные функции, как плотности условных вероятностей.
Задача 1:
Пусть существует 2 человека: X и Y. Пусть оба они - экстраверты, т.е. их результаты лежат в диапазоне от 0 до 1. Какова вероятность PrXY того, что расстояние от любого из них до границы класса (т.е. до 0) меньше, чем расстояние между ними?
Решение: возможны 2 варианта: x > y и y > x. Вариант их равенства не учитываем, как невероятный - хоть минимальное различие, но есть. Оба варианта равновероятны, поэтому достаточно вычислить вероятность для одного из них, и умножить на 2.
Пусть y > x. Тогда y для соблюдения условия должен находиться в диапазоне от x до 2x, но не превышая 1. 1 y будет превышать, если x превысит 0,5. Т.о. искомую вероятность можно вычислить, как сумму 2 вероятностей:
1. Вероятность того, что x лежит в диапазоне от 0 до 0,5 , а y - в диапазоне от x до 2x
2. Вероятность того, что x лежит в диапазоне от 0,5 до 1 , а y - в диапазоне от x до 1
Итого, согласно формуле условной вероятности и приведенным выше выкладкам,
Задача 2:
Пусть существуют 3 человека: X, Y и Z. X и Y - экстраверты, а Z - интраверт. Какова вероятность того, что расстояние между X и Y меньше, чем от любого из них до Z?
Решение:
Возможны те же 2 варианта, что и в задаче 1. И они так же равновероятны.
Для разнообразия пусть теперь x > y.
z не ограничен ничем, и может лежать в диапазоне от -1 до 0. y - от 0 до 1. Для х нижний предел, очевидно, y. Верхний предел находится элементарно, и равен 2y-z. Только при этом x не превышает 1. А 1 он превысит при y = (1+z)/2.
Т.о. вероятность можно вычислить следующим образом: Для всех z от -1 до 0 сумма двух вероятностей:
1. Вероятность того, что y лежит в диапазоне от 0 до (1+z)/2, а x - в диапазоне от y до 2y-z.
2. Вероятность того, что y лежит в диапазоне от (1+z)/2 до 1, а x - в диапазоне от y до 1.
Итого, согласно формуле условной вероятности и приведенным выше выкладкам,
Пример 1: нормальное распределение
В случае нормального распределения для мат. ожидания = 0 и дисперсии 1/3
PrXY = 0.411
PrXYZ = 0.754
Пример 2: равномерное распределение
PrXY = 0.5
PrXYZ = 0.833
Казалось бы - не так уж и плохо. Однако, это верно лишь для одной оси. А их ведь 4... А следовательно, возводим оба значения в 4 степень.
Для нормального распределения получаем
PrXY = 0.029
PrXYZ = 0.323
Для равномерного
PrXY = 0.063
PrXYZ = 0.482
Итог:
Даже если найдется опупительная методика типирования, которая НИКОГДА не дает ошибок, то даже в случае равномерного распределения (которого в природе практически не встречается), найдя тождика я могу сказать 2 вещи:
1. С вероятностью 6,3% мы с ним ближе друг другу, чем ЛЮБОЙ человек, не принадлежащий к нашему типу... 6,3%, ага :) Супер точность.
2. С вероятностью 48,2%, если я выдерну из толпы человека наугад, и он не будет тоже нашим тождиком, то мы с тождиком все-таки ближе друг другу, чем кто-то из нас к третьему... 48,2% - это меньше, чем у монетки.
Для нормального распределения - еще хуже.
Если кто найдет ошибку в вычислениях - велком. Если нужен, могу мылом выслать файл в формате MathCad 12, где и делал все расчеты.
Сел вот, посчитал чуток.
Под катом - вывод формул.
Итак, классификация в соционике - ни что иное, как бинарная, четырех-осевая. То бишь есть 4 оси измерения. На каждой из этих осей есть 2(два) класса.
Что это значит? Это значит, что, например, если взять шкалу интраверт-экстраверт, найти двух крайних ее представителей.
1. Достать-таки чувака из глухой тайги, который туда забрался пешком, потому что испытывает почти неодолимую тягу к суициду при виде человека на протяжении хотя бы 15 микросекунд, и заставить его пройти некий тест. Пометить на шкале его результат как -1.
2. Показать тот же тест чуваку, у которого та же тяга к суициду возникает, если он не видит(трогает, общается с, ...) другого живого человека дольше, чем 15 микросекунд. Его результат на шкале отметить как +1.
Получили шкалу от -1 до 1, куда приходится все вменяемое население планеты.
3. На полученной шкале находим 0, и говорим, что люди с положительным результатом - экстраверты, а с отрицательным - интраверты.
Если провести опрос тем же тестом максимального числа людей, то путем аппроксимации получим закон распределения на этой шкале.
Обозначим функцию плотности вероятности для этого закона, как P(x).
Для дальнейших расчетов нам понадобится вычислить 2 вероятности:
Вероятность того, что случайно взятый человек - экстраверт, т.е. его результат находится в диапазоне от 0 до 1 (только адекватные люди), назовем эту величину PrP
и вероятность того, что случайно взятый человек - экстраверт, т.е. его результат находится в диапазоне от -1 до 0, эту величину назовем PrN
Понятно, что для симметричного распределения эти значения будут равны 0,5
Теперь нам понадобятся законы распределения для экстравертов и интравертов отдельно, назовем их PP(x) и PN(x)
В таком случае очевидно, что
Это позволяет нам использовать полученные функции, как плотности условных вероятностей.
Задача 1:
Пусть существует 2 человека: X и Y. Пусть оба они - экстраверты, т.е. их результаты лежат в диапазоне от 0 до 1. Какова вероятность PrXY того, что расстояние от любого из них до границы класса (т.е. до 0) меньше, чем расстояние между ними?
Решение: возможны 2 варианта: x > y и y > x. Вариант их равенства не учитываем, как невероятный - хоть минимальное различие, но есть. Оба варианта равновероятны, поэтому достаточно вычислить вероятность для одного из них, и умножить на 2.
Пусть y > x. Тогда y для соблюдения условия должен находиться в диапазоне от x до 2x, но не превышая 1. 1 y будет превышать, если x превысит 0,5. Т.о. искомую вероятность можно вычислить, как сумму 2 вероятностей:
1. Вероятность того, что x лежит в диапазоне от 0 до 0,5 , а y - в диапазоне от x до 2x
2. Вероятность того, что x лежит в диапазоне от 0,5 до 1 , а y - в диапазоне от x до 1
Итого, согласно формуле условной вероятности и приведенным выше выкладкам,
Задача 2:
Пусть существуют 3 человека: X, Y и Z. X и Y - экстраверты, а Z - интраверт. Какова вероятность того, что расстояние между X и Y меньше, чем от любого из них до Z?
Решение:
Возможны те же 2 варианта, что и в задаче 1. И они так же равновероятны.
Для разнообразия пусть теперь x > y.
z не ограничен ничем, и может лежать в диапазоне от -1 до 0. y - от 0 до 1. Для х нижний предел, очевидно, y. Верхний предел находится элементарно, и равен 2y-z. Только при этом x не превышает 1. А 1 он превысит при y = (1+z)/2.
Т.о. вероятность можно вычислить следующим образом: Для всех z от -1 до 0 сумма двух вероятностей:
1. Вероятность того, что y лежит в диапазоне от 0 до (1+z)/2, а x - в диапазоне от y до 2y-z.
2. Вероятность того, что y лежит в диапазоне от (1+z)/2 до 1, а x - в диапазоне от y до 1.
Итого, согласно формуле условной вероятности и приведенным выше выкладкам,
Пример 1: нормальное распределение
В случае нормального распределения для мат. ожидания = 0 и дисперсии 1/3
PrXY = 0.411
PrXYZ = 0.754
Пример 2: равномерное распределение
PrXY = 0.5
PrXYZ = 0.833
Казалось бы - не так уж и плохо. Однако, это верно лишь для одной оси. А их ведь 4... А следовательно, возводим оба значения в 4 степень.
Для нормального распределения получаем
PrXY = 0.029
PrXYZ = 0.323
Для равномерного
PrXY = 0.063
PrXYZ = 0.482
Итог:
Даже если найдется опупительная методика типирования, которая НИКОГДА не дает ошибок, то даже в случае равномерного распределения (которого в природе практически не встречается), найдя тождика я могу сказать 2 вещи:
1. С вероятностью 6,3% мы с ним ближе друг другу, чем ЛЮБОЙ человек, не принадлежащий к нашему типу... 6,3%, ага :) Супер точность.
2. С вероятностью 48,2%, если я выдерну из толпы человека наугад, и он не будет тоже нашим тождиком, то мы с тождиком все-таки ближе друг другу, чем кто-то из нас к третьему... 48,2% - это меньше, чем у монетки.
Для нормального распределения - еще хуже.
Если кто найдет ошибку в вычислениях - велком. Если нужен, могу мылом выслать файл в формате MathCad 12, где и делал все расчеты.