О безконечности
Следует различать математическую и физическую безконечности.
Под математической безконечностью будем понимать потенциальную безконечность, оставив в стороне мистические спекуляции на тему безконечности актуальной, столь притягательной для детей и инфантильных взрослых.
Для начала заметим, что понятие безконечности почти так же мало принадлежит физике, как понятие вещи в себе, поскольку безконечное не может быть дано ни в каком опыте. Почти - потому, что при описании физических явлений мы пользуемся математическим аппаратом, в котором это понятие играет фундаментальную роль, более того, канторово изчисление безконечностей не безполезно при описании мира феноменов.
В сущности, когда мы говорим, что некое множество безконечно, мы апеллируем к невозможности (по тем или иным причинам) его пересчитать изчерпывающим образом, в этом случае мы ставим значок ∞ и изпользуем математические модели, в которых присутствует абстракция потенциальной безконечности. И даже в тех случаях, когда мы можем перечислить множество, но делать это неудобно или затратно, разумно прибегнуть к указанным моделям.
Проще всего проиллюстрировать сказанное можно на примере ЭВМ.
Неоднократно приходилось читать, что компьютеры - устройства конечные и это принципиально важно. На самом деле, совершенно неважно, более того, это не так. Память компьютера легко пересчитать в цикле (например, записав в каждый бит 0). Но вот пересчитать все возможные состояния этой памяти для сколько-нибудь серьезных устройств уже физически невозможно, поэтому множество этих состояний приходится считать безконечным. С точки зрения математики это абсурдно, множество всех подмножеств конечного множества конечно; в реальности же «канторов переход» от N к 2N представляет собой скачок от конечного к безконечному. Именно поэтому теоремы теории алгоритмов, в большинстве своем утверждающие алгоритмическую неразрешимость тех или иных задач, не безполезны для программистов; никто в здравом уме и твердой памяти не возьмется писать программу, получающую на вход две другие программы и выдающую вердикт - эквивалентны эти программы или нет, хотя в области конечных автоматов, каковыми «на самом деле» являются физические дискретные вычислительные устройства, эта задача вполне разрешима. По тем же причинам при синтаксическом анализе даже для простых языков изпользуется модель магазинного автомата с потенциально бесконечным стеком, так много проще и много изящнее, а, кроме того, это позволяет применять вместо глючных написанных ad hoc программ универсальные программы разбора.
Эти простые соображения следует иметь в виду, разсуждая о таких предметах, в которых тем или иным образом апеллируют к безконечности (часто безосновательно), вроде проблемы зарождения жизни во Вселенной. Так утверждение, что неопределенность вида ∞•(1/∞) вполне логично разрешается в некоторое конечное значение вероятности, пусть и отличное от единицы, всегда требует серьезной дополнительной аргументации. «Физические безконечности» могут быть «безконечностями» «разных порядков», и возможность неявного скачка в разсуждениях от N к 2N нельзя игнорировать.
И напоследок на всякий случай: префикс без - префикс апофатический, термин, наделенный им, не может нести положительного содержания. Безконечность есть абстракция большого числа, статус ее существования таков же, как статус существования любой математической абстракции, т.е. «в реальности» объекта, в каком-либо смысле обладающего атрибутом безконечности, попросту нет и быть не может. И уж особенно странно выглядят теологумены некоторых «богословов», утверждающих, что Божественному разуму, в отличие от конечного человеческого, подвластна актуальная безконечность. Высосать из пальца абсурдное понятие и обязать Господа Бога свободно манипулировать какими-то мифическими объектами, для которых данное понятие служит сигнификатом - это можно было бы назвать запредельной гордыней, но проще и точнее обычной глупостью.
Под математической безконечностью будем понимать потенциальную безконечность, оставив в стороне мистические спекуляции на тему безконечности актуальной, столь притягательной для детей и инфантильных взрослых.
Для начала заметим, что понятие безконечности почти так же мало принадлежит физике, как понятие вещи в себе, поскольку безконечное не может быть дано ни в каком опыте. Почти - потому, что при описании физических явлений мы пользуемся математическим аппаратом, в котором это понятие играет фундаментальную роль, более того, канторово изчисление безконечностей не безполезно при описании мира феноменов.
В сущности, когда мы говорим, что некое множество безконечно, мы апеллируем к невозможности (по тем или иным причинам) его пересчитать изчерпывающим образом, в этом случае мы ставим значок ∞ и изпользуем математические модели, в которых присутствует абстракция потенциальной безконечности. И даже в тех случаях, когда мы можем перечислить множество, но делать это неудобно или затратно, разумно прибегнуть к указанным моделям.
Проще всего проиллюстрировать сказанное можно на примере ЭВМ.
Неоднократно приходилось читать, что компьютеры - устройства конечные и это принципиально важно. На самом деле, совершенно неважно, более того, это не так. Память компьютера легко пересчитать в цикле (например, записав в каждый бит 0). Но вот пересчитать все возможные состояния этой памяти для сколько-нибудь серьезных устройств уже физически невозможно, поэтому множество этих состояний приходится считать безконечным. С точки зрения математики это абсурдно, множество всех подмножеств конечного множества конечно; в реальности же «канторов переход» от N к 2N представляет собой скачок от конечного к безконечному. Именно поэтому теоремы теории алгоритмов, в большинстве своем утверждающие алгоритмическую неразрешимость тех или иных задач, не безполезны для программистов; никто в здравом уме и твердой памяти не возьмется писать программу, получающую на вход две другие программы и выдающую вердикт - эквивалентны эти программы или нет, хотя в области конечных автоматов, каковыми «на самом деле» являются физические дискретные вычислительные устройства, эта задача вполне разрешима. По тем же причинам при синтаксическом анализе даже для простых языков изпользуется модель магазинного автомата с потенциально бесконечным стеком, так много проще и много изящнее, а, кроме того, это позволяет применять вместо глючных написанных ad hoc программ универсальные программы разбора.
Эти простые соображения следует иметь в виду, разсуждая о таких предметах, в которых тем или иным образом апеллируют к безконечности (часто безосновательно), вроде проблемы зарождения жизни во Вселенной. Так утверждение, что неопределенность вида ∞•(1/∞) вполне логично разрешается в некоторое конечное значение вероятности, пусть и отличное от единицы, всегда требует серьезной дополнительной аргументации. «Физические безконечности» могут быть «безконечностями» «разных порядков», и возможность неявного скачка в разсуждениях от N к 2N нельзя игнорировать.
И напоследок на всякий случай: префикс без - префикс апофатический, термин, наделенный им, не может нести положительного содержания. Безконечность есть абстракция большого числа, статус ее существования таков же, как статус существования любой математической абстракции, т.е. «в реальности» объекта, в каком-либо смысле обладающего атрибутом безконечности, попросту нет и быть не может. И уж особенно странно выглядят теологумены некоторых «богословов», утверждающих, что Божественному разуму, в отличие от конечного человеческого, подвластна актуальная безконечность. Высосать из пальца абсурдное понятие и обязать Господа Бога свободно манипулировать какими-то мифическими объектами, для которых данное понятие служит сигнификатом - это можно было бы назвать запредельной гордыней, но проще и точнее обычной глупостью.