формализация генеративной грамматики
имеющий состояться в будущем разговор о логике естественного языка, как она открывается в генеративной грамматике (я исхожу из того, что Хомский прав, и не отвлекаюсь на критику его концепций), следует предварить формализацией самой этой грамматики. Хомский имплицитно, но указывает на возможность ее формализации, когда он настаивает, что его "синтаксические объекты" (СО) являются "множествами". задачей логики будет определить, что это за множества (в том смысле, что какую логику они имплицируют), но для начала хотелось бы их описать на более математическом языке.
простого взгляда на "деревья" с исключительно бинарными разветвлениями (бинарность тут один из краегольных камней теории Хомского) достаточно, чтобы убедиться, что мы тут имеем дело с древообразной решеткой, образованной р-адическими, а именно, только 2-адическими (простейшими из возможных), числами.
это сразу позволяет нам перейти к эквивалентному представлению -- топологическому. оно вообще необходимо для дальнейшего перехода к логике (к логике часто бывает легче перейти от топологии, а не от алгебры!), но, главное, оно гораздо нагляднее для выражения обычных идей Хомского. древовидная решетка р-адических чисел эквивалентна объединениям ультраметрических шаров.
СО в такой топологии отображается в виде ультраметрического шара. такие шары либо не пересекаются, либо могут быть вложены один в другой, но никак иначе. это точно как у СО.
самое же главное, что свойства таких шаров точно соответствует свойствам образования деревьев при операции MERGE. Поскольку MERGE бывает внешняя и внутренняя, то рассмотрим оба случая (еще бывает "параллельная", когда задействованы оба механизма, и, возможно, бывают еще какие-то варианты, но, в любом случае, элементарных процедур только две).
внешняя MERGE в авторском описании Хомского: у нас есть какой-то СО, к нему прилипает какой-то левый другой СО, и они вместе образуют новый СО, которому соответствует на дереве более высокая одна вершина (а два первых СО будут на дереве ниже этой новой вершины).
она же в топологическом описании: повстречались два ультраметрических шара и решили объединиться. они могут это сделать только одним способом: образовав новый шар, диаметр (он же радиус -- у таких шаров это одно и то же) которого определяется как расстояние между центрами (т.е. любыми точками, т.к. в таких шарах все точки одновременно центры) двух шаров. то есть получается новый большой удобный шар.
внутренняя MERGE в авторском описании Хомского (не в Х-bar теории, а в актуальной теории, начиная особенно с 2013, а лучше 2015): как бы все то же самое, но второй СО берется не откуда-то извне, а изнутри первого. это драматически влияет на результат: опять, вроде все то же самое, что при внешней MERGE (так же появляется новая вершина в дереве), но при этом в старом СО остается точная копия вырезанного из него СО. таким образом, СО удваивается, хотя -- уже при линеаризации -- произносится только новое. но генеративная грамматика не может закрывать глаза на старое! (напр.: Какую кашу ела Маша?!! -- генеративист тут читает: [Какую кашу] ела Маша [какую кашу]; и он прав, т.к. вопрос относительно каши вырос из факта "Маша ела [какую кашу]", и без этого факта не имел бы смысла).
она же в топологическом описании: насчет образования общего нового просторного ультраметрического шара, разумеется, все то же самое. а вот почему вырезанный из старого СО маленький СО хоть и вырезался, но не вырезался? -- потому что в ультраметрическом шаре невозможно сделать дырку: там все элементы по-прежнему совпадают с центром и друг другом, хотя и остаются разными (но при этом одинаковыми -- в силу чего СО даже самого сложного происхождения взаимодействует с другими СО исключительно как атом, т.е. неделимое).
--------
ну и дальше в логику через топологию так: ультраметрический шар -- это clopen set (открыто-замкнутое множество), а такие множества имеют контрадикторные свойства.....
P.S. тут, конечно, возникает поле и для алгебраизации генеративной грамматики, что мог бы сделать любой математик или программист (но не я): между вершинами деревьев можно считать 2-адические расстояния (по формуле ρ =1/2^k) и рисовать точные карты СО...