math-8: аналитичность групп Ли

[ignat]

Как хорошо известно, конечномерная гладкая класса C^r вещественная группа Ли допускает единственную структуру аналитической группы Ли, согласующуюся с её топологией. Для r>0 этот результат был известен ещё Шуру в 1891 году, а для r=0 (то есть, для топологических локально евклидовых групп) составляет содержание 5-й проблемы Гильберта, которую решили

Comments

[bonaventura]

поздравляю -)))

[ignat]

Математика -- не посох, но знамя!

[bbixob]

интересно! по духу немножко похоже на некоторые вещи, которые мне интересны.
надо будет подумать;)

[bbixob]

интересно!! по духу немножко напоминает что-то мне интересное. надо будет подумать;)

[potap]

>приведены примеры гладких класса C^k групп Ли, которые не
>допускают структуру группы Ли класса гладкости C^(k+1),
>совместимую с топологией на ней.

Какая дрянь, честное слово.

[ignat]

Да, неприятно. Зато показывает, что над такими полями группы Ли рассматривать противоестественно.

[kapahel]

интересно, спасибо

а что с Q_p при r=0, не знаешь?

[ignat]

Кстати, насчёт комплексных при r=0 я дал маху. Контрпример: два комплексно аналитических многообразия C, С. В первом карта -- тождественное отображение, а во втором -- сопряжение. Эти аналитические структуры гомеоморфно эквивалентны, но не диффеоморфны.

А для Q_p известна такая характеризация топологических групп, допускающих структуру p-аналитической группы Ли (принадлежащая M. Lazard'у): топологическая группа G тогда и только p-адическая аналитическая, когда она содержит компактную открытую подгруппу U, такую что:
1) U является конечно-порождённой (в топологическом смысле) про-p-группой;
2) коммутант [U,U] содержится во множестве p^2-ых степеней группы U.

Если такая структура существует, то она единственна, как и вещественном случае.

[kapahel]

ты же про комплесные не говорил!

но они не все такие (содержат компактную открытую подгруппу U etc)? Я не знаю просто

[ignat]

Слово "комплексных" было в первоначальном постинге. Сейчас я его постыдно стёр.

Да, они все такие ("тогда и только тогда" -- второе "тогда" тоже куда-то съелось).

Пример: Q_p -- 1-мерная p-адическая аналитическая группа Ли (аддитивная). Топологию можно мыслить как индуцированную метрикой (как написано тут). Содержит открытую подгруппу Z_p целых p-адических чисел (то есть, формальных рядов от "переменной" p c коэффициентами из {0,...,p-1}): a0 + a1*p + a2*p^2 + ...
Z_p выделяется как окрестность {x: |x|<=1}, которая одновременно и открыта и замкнута (т.к. совпадает с {x: |x|<2