math-10: число образующих декартовых степеней конечных групп

[ignat]

А знаете ли вы, что A519 порождается двумя элементами, а A520 -- уже тремя (двух недостаточно)?

По-другому это явление можно выразить так: свободная группа ранга 2 F(2) имеет в качестве своего эпиморфного образа 19-ю декартову степень группы A5, но не 20-ю. Или (если извратиться) так: A519 -- это свободная группа ранга 2 в формации, порождённой A5

Comments

[ex_ilyavinar899]

(Z/2Z)n может быть порождена только из свободной ранга n, не так ли?

[ignat]

Да, Илья, Вы правы. У меня неточность. Эта формула даёт количество эпиморфизмов из свободной группы F(m) на G. В случае, когда G совершенна (то есть, совпадает со своим коммутантом) это число равно максимальной степени G, которая получается как фактор из F(m). Но для абелевых это уже не так. Действительно, (Z/2Z)^n есть векторное пространство над F_2 = Z/2Z, размерности n. Значит, и как группа она имеет не меньше n образующих. Сейчас исправлю. Спасибо.

[garvej]

Кстати, а что происходит для групп Zp?

С числами интересная тенденция наблюдается.
Для фиксированного n мминимальное количество образующих группы A^n тем меньше, чем больше порядок A.
Хотя, казалось бы, чем больше группа, тем она "сложнее".
Как это можно было бы объяснить?

[ignat]

Для абелевых групп я наврал (см. уточненённый вариант) -- (Z/pZ)^n имеет ровно n образующих. Но для простых неабелевых -- всё правильно.

Для фиксированного n минимальное количество образующих группы A^n тем меньше, чем больше порядок A. Хотя, казалось бы, чем больше группа, тем она "сложнее". Как это можно было бы объяснить?Хороший вопрос! Я не знаю внятного объяснения этому феномену. Можно проиллюстрировать, почему чем сложнее группа, тем меньше образующих нужно для порождения декартовых степеней -- на примере второй степени. Пусть A = A5, а B = (Z/2Z)x(Z/2Z). Обе порождаются двумя образующими. Но вот BxB требует уже четырёх образующих, а AxA по-прежнему порождается двумя. Эти две образующие можно получить, соединив "крест-накрест" образующие A5 -- (1,2,3,4,5) и (1,2,3

[garvej]

(Z/pZ)^n имеет ровно n образующих

и в самом деле :)

А сколько образующих у F(2)^n?
Вроде 2n получается?

[ignat]

А сколько образующих у F(2)^n?
Вроде 2n получается?

Да, конечно. Ведь есть эпиморфизм из F(2) на (Z/pZ)^2 -- надо профакторизовать по подгруппе Фраттини F^p[F,F] (F^p здесь -- подгруппа, порождённая p-ми степенями). Значит, из F(2)^n существует
эпиморфизм на (Z/pZ)^(2n), у которой не может быть меньше 2n образующих.

[justpasha]

Очень интересно.

А насколько эта ситуация специфична для групп? Скажем, для каких алгебр/алгебраических систем верно что число порождающих прямого произведения n экземпляров алгебры растет неограниченно с ростом n?

[ignat]

для каких алгебр/алгебраических систем верно что число порождающих прямого произведения n экземпляров алгебры растет неограниченно с ростом n?

Да я думаю, почти для всех алгебраических систем. Нетривиальные контрпримеры мне неизвестны. Тут другое интересно. Для некоторых групп, таких как свободная и свободная абелева, число образующих растёт линейно с ростом показателя. А в случае неабелевых простых -- рост логарифмический.