math-12: размерность пространства формальных степенных рядов

[ignat]

Моя любимая задачка по линейной алгебре для скучающих первокурсников -- найти размерность линейного пространства формальных степенных рядов. Размерность понимается в смысле линейной алгебры -- когда разрешены лишь конечные линейные комбинации элементов базиса.

Итак, пусть V=ПSk -- декартово произведение копий поля k по некоторому бесконечному

Comments

[ex_ilyavinar899]

А я вчера перед сном доказал, что 2n-1 и 2m-1 взаимно простые тогда и только тогда, когда n и m взаимно простые. Деградирую ли я в 32 года?

[ignat]

Я утешаю себя мыслью, что тоже справился с этой задачей -- за каких-то полчаса.

[ex_ilyavinar899]

Правильно ли я понимаю условие задачи: нужно доказать, что пространство всех формальных степенных рядов с индексами в N и коэффициентами в R имеет размерность א? Пространство всех конечных степенных рядов имеет размерность א0 - но речь идет о бесконечных рядах, не так ли?

[ignat]

Да, рассматриваем не полиномы, а именно бесконечные ряды.

нужно доказать, что пространство всех формальных степенных рядов с индексами в N и коэффициентами в R имеет размерность א?

(Что такое א без индекса?) Надо доказать, что эта размерность более чем счётна, т.е. строго больше алеф_нуль. Если удастся, то получить точное значение мощности.

[oblomov_jerusal]

Для кардинала |S| для которого 2^{<|S|}=|S| (в частности для |S|=N) размерность равна 2^|S|. В частности, если обобщенная гипотеза континуума верна, то это верно для любого бесконечного |S|

[ignat]

Для кардинала |S| для которого 2^{<|S|}=|S| (в частности для |S|=N) размерность равна 2^|S|.

1) Что понимается под 2^{<|S|}?

2) Почему для |S|=N (алеф_нуль) верно: 2^{<|S|}=|S|?

3) Это утверждение доказано где?

[oblomov_jerusal]

Я, наверное, прав только если |k|≤2^|S|
2^{<|S|} это мощность множества всех подмножеств S имеющих мощность меньше |S|. Для N это мощность всех конечных множеств натуральных чисел. Доказательство такое: пусть |S|=λ. Множество F всех функций α->{0,1}, где ординал α<λ имеет мощность 2^{<λ}. Пусть |F|=λ. Для каждой функции f: λ->{0,1} обозначим F_f подмножество F, состоящее из всех начальных отрезков f. Для f≠g пересечение F_f и F_g имеет мощность, меньшую λ т.к. оно содержит лишь отрезки f, не доходящие до первой точки, где значения f и g различаются. Мы нашли семейство 2^λ подмножеств F мощности λ, пересечение каждой пары которых меньше λ ; поскольку |F|=|S|, множество |S| также содержит такое семейство. Для каждого такого подмножества построим ряд, содержащий 1 во всех позициях, соответствующих элементам множества, и 0 в остальных позициях. Мы получим 2^|S| рядов, которые, как легко убедиться, линейно независимы. Для |k|≤2^|S| имеем |k|^|S|=2^|S|, так что базис пространства не может содержать больше 2^|S| элементов. (

[ignat]

Хочу понять ваши рассуждения. Не поможете ли?

1.
Множество F всех функций α->{0,1},
Правильно я понимаю, что это выражение следует понимать, как "множество F = { f: [0, λ) --> {0,1} }", где под [0, λ) понимается множество всех ординалов, меньших λ. Но тогда оно будет иметь мощность 2^{<λ} лишь в том случае, когда λ -- первый ординал мощности |λ|, разве нет?

2.
Но если теперь у нас F имеет конкретный смысл, а именно, F = { f: [0, λ) --> {0,1} }, то как понимать следующую фразу: пусть |F| = λ?

3.
Что такое "начальный отрезок f"? Это ограничение f на некий интервал [0,α), где α < λ?

4.
Далее, вы пишете, что пересечение F_f и F_g имеет мощность, меньшую λ. Но ведь, если я всё вышеизложенное понял правильно, то F_f \cap F_g есть множество функций { h: [0, μ) --> {0,1} }, где μ = inf{ α из [0,λ) | g(α) <> h(α) }. Поэтому |F_f \cap F_g| = 2^|μ| <= 2^|λ|. Как мы получаем, что |F_f \cap F_g| < λ?

[pepelnaya]

как тебе такая задачка?;)
http://www.livejournal.com/users/nadasunny/95887.html?mode=reply

[ignat]

Остроумно! :-)

К сожалению, естественные языки скорее алогичны, нежели логичны. (Пример: волос--голос--колос. Множественное число: волосы--голоса--колосья.)

[zhecka]

То, что счетного базтса нет, вполне понятно. Лично мне, кстати, рпоще думать о формальных степенных рядах просто как о последовательностях действительных чисел; как векторные пространства эти две алгебры совпадают

[zhecka]

Да, важное уточнение: когда мы добавляем новый элемент к x_i, зануляем соответствующую координату только у тех элементов y_i, которые еще не вошли в наш новый базис -- иначе с каждым элементом пришлось бы производить бесконечное число операций, и вовсе не факт что был бы предел.

[ignat]

Зачот!