Есть ли такая партия

[ile_eli]

Дочка принесла задачку от какого-то своего приятеля.
Существует ли полином от двух переменных всюду положительный, но такой, что его inf=0 (то есть, принимающий любые сколь угодно малые значения).

Comments

[a_shen]

я уж собрался послать тебе тот самый классический пример :-)

[xaxam]

Ещё один тривиальный комментарий. Плоскость некомпактна (замени всю плоскость на любое компактное подмножество, - утверждение станет тривиально верным). Зато компактной является проективная плоскость, пополнение аффинной плоскости при помощи добавления бесконечно удалённой прямой.

Полиномы - функции, которые в отличие от почти всех других допускают явное исследование "на бесконечности": это заведомо касается того, как выглядят линии уровня p(x,y) = z при (x,y) →∞. Машинерия такая: вводим новые переменные x = 1/u и y=v/u, и получаем не полином, а рациональную функцию (степени u появляются в знаменателе), но уравнение можно умножить на подходящую степень u и восстановить полиномиальность. Но сама функция p(x,y) продолжается "на бесконечность" только как частное двух полиномов от u,v. Неприятности случаются тогда, когда на "бесконечно удалённой прямой" u=0 появляются точки, в которых у частного и числитель, и знаменатель обращаются в нуль. Эти точки и есть источник troubles. Рассмотри частное (u/v)2 (напоминаю: точки с u=0 "не

[xaxam]

Атипическим значением функции (скажем, двух переменных) называется такое значение z=a, в котором прообраз p(x,y) = z меняет свой топологический тип. Самый базисный пример - критическая точка (там, где обе частных производных обращаются в нуль); атипическим является значение функции в критической точке.

Теорема. Если у полинома старшая однородная часть раскладывается в произведение попарно различных линейных множителей, то атипическими могут быть только критические значения.

А если условие "на бесконечности" не выполнено, то бывают и нетривиальные атипические значения.

Теорема изначально комплексная, но у неё наверняка есть правильная вещественная формулировка. В данном примере ноль - как раз критическое значение, соответствующее "бесконечно удалённой критической точке".

[mar_shim]

Вот что многомерность творит (на R¹ явно невозможно).

[pusets]

Божечки! Ну как же приятно в пятницу вечером под обед со стейком лосося такую мило у почитать!