"Ум есть паттерн, получаемый умом"
Этому высказыванию философа Д.Денетта чрезвычайно далеко по выразительности и ёмкости до афоризма В.С.Черномырдина, использованного в названии предыдущего поста, но ничего более подходящего для поста о школьной математике мне под руку не подвернулось, так что придётся удовлетвориться этим.
Прежде всего несколько слов о том, чем физика отличается от математики. Когда-то, когда у меня ещё не было своего журнала, я прочитал интересную дискуссию на эту тему между известными юзерами Совой и Летучим Медведем. Медведь пытался утверждать, что физики изучают "реальные электроны", но Сова доказал ему как дважды два, что "электрон" - это не менее абстрактное понятие, чем математические понятия вроде "группы" или "непрерывной функции". Вообще-то не только физика с математикой, но даже ковыряние в носу требует некоторой способности к абстрагированию. Поэтому, признавая вслед за Эйнштейном и Совой, что физические понятия являются "свободными творениями человеческого разума", осмелюсь всё же заметить, что источники для такой деятельности нашего разума в физике и математике несколько различны. Если физики получают пищу для своего разума из наблюдений и экспериментов над "внешним миром", то связь математических понятий с этим внешним миром иногда едва видна, и некоторые умные люди даже отрицали её, считая эти понятия врождёнными и никак не связанными с опытом. Результатом такого различия является то, что для ловли открытого на кончике пера бозона Хиггса строят огромную установку и полмира стоит на ушах из опасения, что заигравшиеся физики утянут всю Вселенную в искусственную чёрную дыру, тогда как доказательство математиками большой теоремы Ферма или гипотезы Пуанкаре таких опасений вроде бы не вызывали. Именно из-за этого различия я в предыдущем посте о преподавании физики делал больше упор на понимании физических процессов, происходящих в "реальном мире", чем на логическом анализе физических понятий, что навряд ли было бы уместно делать в школе. Но зато школьная математика здесь должна взять реванш на доступном для школьников материале и продемонстрировать создание целых миров "из ничего". Руководствуясь этой идеей, я покидаю зыбкую почву философии и обращаюсь к тому, какую математику следовало бы учить в школе.
Хотя счёту и арифметическим действиям над числами учат в младших классах, навряд ли будет реалистичным в современной школе делать хотя бы небольшие вылазки в теорию чисел, несмотря на всё её математическое богатство. Это в диком 18-ом веке Эйлер мог в своём учебнике элементарной алгебры после задач о купцах, продающих штуки сукна за талеры, заняться диофантовыми уравнениями и даже доказать большую теорему Ферма для показателей 4 и 3 (в последнем случае с пробелом). В наше же цивилизованное время изучение даже малой теоремы Ферма будет признано чрезмерным насилием, нарушающим основополагающие принципы гуманизма по отношению к детям. Поэтому сразу перехожу к геометрии.
У меня нет слов, чтобы выразить важность геометрии в школьном математическом образовании. В геометрии подготовительный этап для перехода к содержательным нетривиальным утверждениям и интересным задачам, пожалуй, один из наименьших среди всех школьных математических предметов. При этом геометрия - это самая настоящая математика, изобилующая красивыми результатами. Как сказал Литтлвуд, для него древнегреческие математики - это всё равно что коллеги из соседнего колледжа.
Многие геометрические утверждения (например, теорема Пифагора) выражаются алгебраическими формулами. Формулы нужны и для физики, и для других разделов математики, поэтому некоторый навык обращения с ними школьники должны приобрести. Но в преподавании алгебры должны присутствовать и яркие идеи, и метод математической индукции кажется наиболее подходящим для этого: если школьник испытает восторг от возможности одним махом доказать бесконечное число утверждений, то ему прямая дорога в "физики", если испытает от этой премудрости экзистенциальную тоску и скуку, то добро пожаловать в "лирики", если же ни то ни другое, то может продолжить поиски себя.
Однако в центре преподавания алгебры всё-таки должны стоять функции и их графики. Пожалуй, это тот язык, на котором говорит большая часть остальной математики, а также физика и прочая экономика, как мы ежедневно в этом убеждаемся, глядя на графики стоимости барреля нефти или курса доллара. На этом же языке может быть изложено решение квадратных уравнений и систем из двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
От этих элементов аналитической геометрии остаётся небольшой шаг до векторов и, вроде бы, в настоящее время этот шаг уже сделан в отличие от моих школьных лет. Благодаря векторам школьная математика становится более цельным и связным предметом, не говоря уж о важных приложениях векторов к физике.
Наконец, я добавил бы сюда элементы комбинаторики и теории вероятностей. С одной стороны, можно надеяться, что вычисления вероятностей привьют некоторый иммунитет к азартным играм и помогут лучше ориентироваться в нашей действительности. С другой стороны, даже простейшие комбинаторные задачи требуют аккуратных математических рассуждений и отличаются особой изысканной красотой.
По-моему, всего перечисленного более чем достаточно для любой хорошей программы школьной математики: и практично, и покреативничать есть где для живых умов. Усвоив всё это, можно в высшей школе браться и за высшую математику. Но если школьник не может нарисовать график логарифмической функции, то нет никакого смысла втюхивать ему какие-то обрывочные сведения из высшей математики.
Доброжелательный читатель, добравшийся до конца этого длинного поста, может отдохнуть, порешав недавно предложенную мне элементарную задачу из теории вероятностей. Задачка эта взята из учебника Вентцель и Овчарова и интересна тем, что авторы-профессионалы ошиблись в её решении, что лишний раз показывает, что и без высшей математики школьникам будет где потренировать свой ум. Задача такая:
"На первом этаже семиэтажного дома в лифт зашли 3 человека. Вероятности выхода каждого из лифта на любом этаже одинакова. Найти вероятность того, что все трое вышли из лифта на разных этажах."
Прежде всего несколько слов о том, чем физика отличается от математики. Когда-то, когда у меня ещё не было своего журнала, я прочитал интересную дискуссию на эту тему между известными юзерами Совой и Летучим Медведем. Медведь пытался утверждать, что физики изучают "реальные электроны", но Сова доказал ему как дважды два, что "электрон" - это не менее абстрактное понятие, чем математические понятия вроде "группы" или "непрерывной функции". Вообще-то не только физика с математикой, но даже ковыряние в носу требует некоторой способности к абстрагированию. Поэтому, признавая вслед за Эйнштейном и Совой, что физические понятия являются "свободными творениями человеческого разума", осмелюсь всё же заметить, что источники для такой деятельности нашего разума в физике и математике несколько различны. Если физики получают пищу для своего разума из наблюдений и экспериментов над "внешним миром", то связь математических понятий с этим внешним миром иногда едва видна, и некоторые умные люди даже отрицали её, считая эти понятия врождёнными и никак не связанными с опытом. Результатом такого различия является то, что для ловли открытого на кончике пера бозона Хиггса строят огромную установку и полмира стоит на ушах из опасения, что заигравшиеся физики утянут всю Вселенную в искусственную чёрную дыру, тогда как доказательство математиками большой теоремы Ферма или гипотезы Пуанкаре таких опасений вроде бы не вызывали. Именно из-за этого различия я в предыдущем посте о преподавании физики делал больше упор на понимании физических процессов, происходящих в "реальном мире", чем на логическом анализе физических понятий, что навряд ли было бы уместно делать в школе. Но зато школьная математика здесь должна взять реванш на доступном для школьников материале и продемонстрировать создание целых миров "из ничего". Руководствуясь этой идеей, я покидаю зыбкую почву философии и обращаюсь к тому, какую математику следовало бы учить в школе.
Хотя счёту и арифметическим действиям над числами учат в младших классах, навряд ли будет реалистичным в современной школе делать хотя бы небольшие вылазки в теорию чисел, несмотря на всё её математическое богатство. Это в диком 18-ом веке Эйлер мог в своём учебнике элементарной алгебры после задач о купцах, продающих штуки сукна за талеры, заняться диофантовыми уравнениями и даже доказать большую теорему Ферма для показателей 4 и 3 (в последнем случае с пробелом). В наше же цивилизованное время изучение даже малой теоремы Ферма будет признано чрезмерным насилием, нарушающим основополагающие принципы гуманизма по отношению к детям. Поэтому сразу перехожу к геометрии.
У меня нет слов, чтобы выразить важность геометрии в школьном математическом образовании. В геометрии подготовительный этап для перехода к содержательным нетривиальным утверждениям и интересным задачам, пожалуй, один из наименьших среди всех школьных математических предметов. При этом геометрия - это самая настоящая математика, изобилующая красивыми результатами. Как сказал Литтлвуд, для него древнегреческие математики - это всё равно что коллеги из соседнего колледжа.
Многие геометрические утверждения (например, теорема Пифагора) выражаются алгебраическими формулами. Формулы нужны и для физики, и для других разделов математики, поэтому некоторый навык обращения с ними школьники должны приобрести. Но в преподавании алгебры должны присутствовать и яркие идеи, и метод математической индукции кажется наиболее подходящим для этого: если школьник испытает восторг от возможности одним махом доказать бесконечное число утверждений, то ему прямая дорога в "физики", если испытает от этой премудрости экзистенциальную тоску и скуку, то добро пожаловать в "лирики", если же ни то ни другое, то может продолжить поиски себя.
Однако в центре преподавания алгебры всё-таки должны стоять функции и их графики. Пожалуй, это тот язык, на котором говорит большая часть остальной математики, а также физика и прочая экономика, как мы ежедневно в этом убеждаемся, глядя на графики стоимости барреля нефти или курса доллара. На этом же языке может быть изложено решение квадратных уравнений и систем из двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
От этих элементов аналитической геометрии остаётся небольшой шаг до векторов и, вроде бы, в настоящее время этот шаг уже сделан в отличие от моих школьных лет. Благодаря векторам школьная математика становится более цельным и связным предметом, не говоря уж о важных приложениях векторов к физике.
Наконец, я добавил бы сюда элементы комбинаторики и теории вероятностей. С одной стороны, можно надеяться, что вычисления вероятностей привьют некоторый иммунитет к азартным играм и помогут лучше ориентироваться в нашей действительности. С другой стороны, даже простейшие комбинаторные задачи требуют аккуратных математических рассуждений и отличаются особой изысканной красотой.
По-моему, всего перечисленного более чем достаточно для любой хорошей программы школьной математики: и практично, и покреативничать есть где для живых умов. Усвоив всё это, можно в высшей школе браться и за высшую математику. Но если школьник не может нарисовать график логарифмической функции, то нет никакого смысла втюхивать ему какие-то обрывочные сведения из высшей математики.
Доброжелательный читатель, добравшийся до конца этого длинного поста, может отдохнуть, порешав недавно предложенную мне элементарную задачу из теории вероятностей. Задачка эта взята из учебника Вентцель и Овчарова и интересна тем, что авторы-профессионалы ошиблись в её решении, что лишний раз показывает, что и без высшей математики школьникам будет где потренировать свой ум. Задача такая:
"На первом этаже семиэтажного дома в лифт зашли 3 человека. Вероятности выхода каждого из лифта на любом этаже одинакова. Найти вероятность того, что все трое вышли из лифта на разных этажах."