Задача (вроде бы была в 2011 году на экзамене в МГУ)
Дано - куб с гранью 3. В него вписаны 2 сферы, одна - диаметром 2, она вписана в нижний левый угол в вершине А, т.е, касается 3х граней, составляющих этот угол. Другая сфера вписана в верхний левый угол А1, а также еще касается и первой сферы. (под катом с ответом будет картинка). Вопрос - найти диаметр второй (верхней) сферы.
Увы, на картинке мне не удалось нарисовать сферы правильно, но идея, как расположены эти сферы, надеюсь, понятна.
Не знаю, является ли наше решение правильным, а если даже и правильным, то оптимальным. Но по крайней мере, мы вот так решали.
Надо ли доказывать, что центр нижней сферы лежит на диагонали АС1, а центр верхней сферы лежит на диагонали А1С? В общем, нас будет интересовать проекция на плоскость А[А1][С1]С, и центры окружностей лежат на диагоналях этого прямоугольника.
Вот тут я бы не справилась без Макса, мне бы не хватило смелости (или, умения абстрагироваться) нарисовать такую проекцию, все таки упорно хочется загнать окружности (проекции сферы), чтобы они касались обеих сторон прямоугольника, а они не могут касаться ребра А[А1], но касаются каждая соответственно диагоналей плоскостей пола и потолка - АС и А1С1
Дальше - уже дело геометрии и аккуратного расписывания треугольников.
АА1 = 3 (по условию задачи)
АС = 3 * sqrt (2) (теорема Пифагора)
О2О3 - это прямая, а не ломаная (т.к. окружности касаются друг друга)
cos (alpha) = 1/(sqrt3) (из прямоуг. треугольника ОС[С3]
АN = sqrt (2) - (из треуг. АN[O2])
a = 3-1--x = 2-x
если искать b как катет треугольника P[O2][O3], в котором гипотенуза равна 1+х, а другой катет мы только что получили как 2-х, то получаем
b = sqrt { (1+x)^2 - a^2 } = sqrt ( 1 + 2x + x^2 - 4 -x^2 + 4x) = sqrt ( 6x - 3)
или, кратко, b = sqrt ( 6x - 3)
но b можно вычислить и как b= АN - y, где y = sqrt ( c^2 - x^2), а где с = x / cos (alpha) = x* sqrt (3)
т.е., b = sqrt (2) * (1-x)
или же, sqrt ( 6x - 3) = sqrt (2) * (1-x)
т.к. х -- радиус меньшей сферы, не знаю, надо ли доказывать, что он не может быть больше 1?
возводим обе части в квадрат, получаем уравнение 6x -3 = 2 (1+x^2 - 2x), или
2x^2 - 10 x + 5 = 0
Увы, на картинке мне не удалось нарисовать сферы правильно, но идея, как расположены эти сферы, надеюсь, понятна.
Не знаю, является ли наше решение правильным, а если даже и правильным, то оптимальным. Но по крайней мере, мы вот так решали.
Надо ли доказывать, что центр нижней сферы лежит на диагонали АС1, а центр верхней сферы лежит на диагонали А1С? В общем, нас будет интересовать проекция на плоскость А[А1][С1]С, и центры окружностей лежат на диагоналях этого прямоугольника.
Вот тут я бы не справилась без Макса, мне бы не хватило смелости (или, умения абстрагироваться) нарисовать такую проекцию, все таки упорно хочется загнать окружности (проекции сферы), чтобы они касались обеих сторон прямоугольника, а они не могут касаться ребра А[А1], но касаются каждая соответственно диагоналей плоскостей пола и потолка - АС и А1С1
Дальше - уже дело геометрии и аккуратного расписывания треугольников.
АА1 = 3 (по условию задачи)
АС = 3 * sqrt (2) (теорема Пифагора)
О2О3 - это прямая, а не ломаная (т.к. окружности касаются друг друга)
cos (alpha) = 1/(sqrt3) (из прямоуг. треугольника ОС[С3]
АN = sqrt (2) - (из треуг. АN[O2])
a = 3-1--x = 2-x
если искать b как катет треугольника P[O2][O3], в котором гипотенуза равна 1+х, а другой катет мы только что получили как 2-х, то получаем
b = sqrt { (1+x)^2 - a^2 } = sqrt ( 1 + 2x + x^2 - 4 -x^2 + 4x) = sqrt ( 6x - 3)
или, кратко, b = sqrt ( 6x - 3)
но b можно вычислить и как b= АN - y, где y = sqrt ( c^2 - x^2), а где с = x / cos (alpha) = x* sqrt (3)
т.е., b = sqrt (2) * (1-x)
или же, sqrt ( 6x - 3) = sqrt (2) * (1-x)
т.к. х -- радиус меньшей сферы, не знаю, надо ли доказывать, что он не может быть больше 1?
возводим обе части в квадрат, получаем уравнение 6x -3 = 2 (1+x^2 - 2x), или
2x^2 - 10 x + 5 = 0