надо копать от одного из свойств описанной окружности ("В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла") и теоремы косинусов/синусов
Из равенства ED и CD вытекает то, что угол ODC - прямой. Из этого условия больше ничего не выжмешь. Далее следует, что угол FCD = DEO = FDO, назовем его u. Угол AFC очевидно прямой по свойству центра описанной окружности. Вроде все условия задачи исчерпаны.
Дальше через длину DC и синусы/косинусы угла u можно выразить кучу длин: CF, FO, DF, DO.
Осталось выразить остальное и молиться, что синусы/косинусы сократятся-преобразуются.
Вопрос: если бросить медиану-биссектрису-высоту на AC, то будет ли угол АОмедиана равен углу u?
( ... )
Вчера вечером поломал голову пару часиков, остановило одно - был всего один листок писчей бумаги (с этим переездом сложно найти всякое барахло) :)
> "В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла" Это для окружностей, описанных вокруг прямоугольных треугольников.
Любых - это значит именно любых. По двум сторонам и углу между ними можно однозначно построить/получить третью сторону. Это ж очевидно :)
Пришла доча со школы, принесла давно забытый факт о вписанном угле, опирающемся на дугу: "Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу - равны". Это даёт нам дохренища одинаковых углов!
И еще факт о вписанном четырехугольнике: "У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон: |AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|" Это пока не знаю, поможет ли...
Действительно, треугольники ACD и ACE подобны по двум углам (один угол общий, второй равен из свойств вписанного на дугу АС угла и равнобедренности). Дальше все просто, плепорция: AC/EC = DC/AC x/3 = 1,5/x x*x = 4,5 x = sqrt(4,5) или 1,5*sqrt(2)
Comments 12
Reply
Это для окружностей, описанных вокруг прямоугольных треугольников. у нас - не такой.
Синусы и косинусы подразумевают наличие прямоугольных треугольников.
Значит требуется дополнительное построение.
Можно провести радиусы ОЕ-ОА-ОС, они будут равны.
Получим пару прямых углов ODC и ODE через равенство треугольников. Но что это даёт?
( ... )
Reply
Из равенства ED и CD вытекает то, что угол ODC - прямой. Из этого условия больше ничего не выжмешь.
Далее следует, что угол FCD = DEO = FDO, назовем его u.
Угол AFC очевидно прямой по свойству центра описанной окружности.
Вроде все условия задачи исчерпаны.
Дальше через длину DC и синусы/косинусы угла u можно выразить кучу длин: CF, FO, DF, DO.
Осталось выразить остальное и молиться, что синусы/косинусы сократятся-преобразуются.
Вопрос: если бросить медиану-биссектрису-высоту на AC, то будет ли угол АОмедиана равен углу u?
( ... )
Reply
:)
> "В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла"
Это для окружностей, описанных вокруг прямоугольных треугольников.
Любых - это значит именно любых.
По двум сторонам и углу между ними можно однозначно построить/получить третью сторону. Это ж очевидно :)
Reply
Reply
"Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу - равны".
Это даёт нам дохренища одинаковых углов!
И еще факт о вписанном четырехугольнике:
"У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:
|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|"
Это пока не знаю, поможет ли...
Ща! Уже близко!
Reply
(Это я не сама придумала, сказали на кафедре математики)
Reply
(равные углы)
омтальное через прпорциональность подобных сторон
Reply
Действительно, треугольники ACD и ACE подобны по двум углам (один угол общий, второй равен из свойств вписанного на дугу АС угла и равнобедренности).
Дальше все просто, плепорция:
AC/EC = DC/AC
x/3 = 1,5/x
x*x = 4,5
x = sqrt(4,5) или 1,5*sqrt(2)
Reply
Leave a comment