Математическое мышление для всех
К сожалению, оригинал статьи И.Я.Каплуновича «Пять подструктур математического мышления» не нашла, но вот краткое изложение взяла с одного из форумов и немного добавила собственных наблюдений применительно к школьникам. Мои наблюдения курсивом.
Какие типы математического мышления существуют?
1. Топологическое мышление. Этот тип появляется у человека в самую первую очередь, примерно в 2-3 года. Он отвечает за целостность и связанность логических операций. Люди с доминирующим топологическим мышлением склонны проделывать постоянные преобразования с объектом. В подходе к делу преобладают такие принципы: непрерывно или разорвано, внутри или снаружи, целое или части. Люди-топологи не любят действовать наобум и с бухты-барахты. Им необходимо всегда начать действие с начала, ухватить нить следствия, не пропуская ни одной детали, скрупулезно, не торопясь, довести до конечного результата. В жизни топологи очень аккуратны, живут размеренно, по определенному циклу. Нередко они очень консервативны, плохо привыкают к новшествам. Их основной недостаток: редкая дотошность и медлительность.
В школе это дети, которые зададут учителю кучу вопросов, уводят от предмета разговора настолько далеко, что в результате забываешь, о чем шла речь. Объяснять им что-то можно, постоянно возвращая к теме разговора и заставляя выучить все наизусть. Когда они запоминают, ровно в тот момент начинают понимать.
2. Порядковое мышление. Формируется в мозгу почти сразу же после топологического и отвечает за точное следование логических операций. «Порядковцам», в отличие от топологов, не важно объединение операций в одно целое; они любят строгий линейный порядок, от начального к конечному. В деятельности им важна форма и размер объектов (больше или меньше), их соотношение (правее, левее, выше, ниже), направление движения (по или против, вверх или вниз). Люди с таким типом мышления стремятся чётко следовать порядку, в любых действиях стараются выработать алгоритм, который зависит от какого-то одного объективного принципа. В повседневной жизни абсолютные порядковцы педантичны, редко отступают от общепринятых правил и всегда чётко следуют инструкциям.
В терминах нашей школы "дети с математическими способностями" это, чаще всего, дети с порядковым типом мышления. Они учатся быстро и качественно выполнять задание по схеме.
3. Метрическое мышление. Эта структура определяет количественные понятия. Метристы в деле считают самым главным точное математическое значение - цифры, цифры и ещё раз цифры. Всегда и во всем они пытаются сводить к конкретным величинам и постоянно оперируют такими параметрами как ширина, высота, дальность, цена, количество, время и т.д. Метристы не любят образность и общность - им сложно представить какую-то абстрактную величину, не выраженную определённостью; они всегда ясно представляют себе, что выйдет в результате работы, сколько придётся затратить, и сколько от этого получишь. Такие люди осторожны и предусмотрительны, неизвестность пугает их - пока человек не выяснит досконально все подробности и нюансы - действовать не начнёт.
В школе они могут великолепно решать задачи с числами, но просьба посчитать сколько денег потрачено, если купили а ручек по 15 рублей, просто поставит их в тупик.
4. Алгебраическое мышление. Люди с доминирующим мышлением этого типа - прирождённые комбинаторы и конструкторы. Они постоянно стремятся к представлению объекта через структурное восприятие. То есть, постоянно разбирают и собирают предмет, пытаются выстроить из частей разные комбинации. К решению каких-либо задач подходят с хаотическим настроем - начинают с того места, которое им нравится, потом перескакивают куда-то в середину, минуя промежуточные этапы, и заново возвращаются в начало, предварительно исследовав часть, которая должна завершать процесс. Таких людей сложно заставить делать что-то по правилам и в рамках. В жизни они чаще всего рассеянны, часто опаздывают, склонны упрощать ситуацию. Они видят предмет одновременно и целиком и каждую его часть, что позволяет им быстро находить единственно нужное в данной ситуации.
Это те дети, которым алгебра дается лучше, чем геометрия, они хорошо понимают достаточно сложную для большинства одноклассников тему функция и окончательно расцветают к старшим классам - началам матанализа.
5. Проективное мышление. Самое сложное из всех пяти. Тот, у кого преобладает структура данного типа, склонен рассматривать предмет с разных точек зрения, под разными углами. Его интересуют все варианты применения предмета в теории и на практике. Такой человек мыслит нестандартно, удивляет окружающих многовариантностью решений, казалось бы, банальной проблемы. «Проективист» стремиться найти оптимальное применение любого явления, его волнует не характеристики, а степень применяемости и полезности. В жизни эти люди обладают неординарным интеллектом, любят везде и во всем искать выгоду, это отличные идейные лидеры, которые могут мгновенно оценивать ситуацию и поворачивать её в нужное русло. Самый большой недостаток проективистов в том, что, рассматривая предмет как не статичную структуру, они забывают об абсолютных характеристиках и значительных подробностях.
В школе они блещут на олимпиадах, но имеют 4-ки по математике просто потому что допускают по невнимательности и небрежности кучу арифметических ошибок.
Разумеется, в каждом человеке присутствуют в разных количествах все эти типы мышления. Кстати, у большинства людей порядковое мышление является главным, доминантным - всё это объясняется тем, что обучение в школе все 10 лет проходит по этой системе. 1 й тип часто лучше понимает геометрию, чем алгебру, но нередко в ограниченной ее части, там, где могут заранее проследить последовательность действий, которые надо совершить, 2, 3 и 4 - лучше понимают алгебру, 2 нередко бывает успешен и в геометрии, но алгебру все равно любит чуть больше, а для 5го сложная геометрическая задачка - слаще любого десерта:)
Доминант определяет многие аспекты мыслительной и, соответственно, практической деятельности. Причём не только на поприще математики. Даже по тому, как человек пропалывает грядки, расставляет предметы в комнате, одевается, можно вычленить информацию о преобладающей структуре, хотя существует множество простых тестов, которые позволяют это определить.
Например, достаточно попросить человека описать свою комнату. Топограф будет перечислять по группам, сначала про стулья, кресла, диваны, и уже потом про магнитофон, компьютер, телефон; порядковец особое внимание уделит расположению предметов относительно друг друга, их формам и размерам; Метрист начнёт перечислять количество стульев, габариты комнаты; алгебраист просто выльет на бумагу все свои мысли, в любом порядке, перескакивая с места на место; а у проективиста получится самая большая по объёму работа - он постарается расписать применение наиболее важных вещей его квартиры. Учёные выяснили, что люди с одинаковыми типами мышления сами тянутся друг к другу, так как им бывает сложно понять «математически других» людей.
И напоследок хочу сказать, что, исходя из вышенаписанного, математическое мышление в том или ином виде присутствует у любого человека, просто если мышление ребенка не совпадает с мышлением учителя/родителя, такого ребенка записывают в безнадежные, а проблема в том, что ему просто никто не может объяснить на его языке.
По мере возможности борюсь с этими заблуждениями, присоединяйтесь:)
Какие типы математического мышления существуют?
1. Топологическое мышление. Этот тип появляется у человека в самую первую очередь, примерно в 2-3 года. Он отвечает за целостность и связанность логических операций. Люди с доминирующим топологическим мышлением склонны проделывать постоянные преобразования с объектом. В подходе к делу преобладают такие принципы: непрерывно или разорвано, внутри или снаружи, целое или части. Люди-топологи не любят действовать наобум и с бухты-барахты. Им необходимо всегда начать действие с начала, ухватить нить следствия, не пропуская ни одной детали, скрупулезно, не торопясь, довести до конечного результата. В жизни топологи очень аккуратны, живут размеренно, по определенному циклу. Нередко они очень консервативны, плохо привыкают к новшествам. Их основной недостаток: редкая дотошность и медлительность.
В школе это дети, которые зададут учителю кучу вопросов, уводят от предмета разговора настолько далеко, что в результате забываешь, о чем шла речь. Объяснять им что-то можно, постоянно возвращая к теме разговора и заставляя выучить все наизусть. Когда они запоминают, ровно в тот момент начинают понимать.
2. Порядковое мышление. Формируется в мозгу почти сразу же после топологического и отвечает за точное следование логических операций. «Порядковцам», в отличие от топологов, не важно объединение операций в одно целое; они любят строгий линейный порядок, от начального к конечному. В деятельности им важна форма и размер объектов (больше или меньше), их соотношение (правее, левее, выше, ниже), направление движения (по или против, вверх или вниз). Люди с таким типом мышления стремятся чётко следовать порядку, в любых действиях стараются выработать алгоритм, который зависит от какого-то одного объективного принципа. В повседневной жизни абсолютные порядковцы педантичны, редко отступают от общепринятых правил и всегда чётко следуют инструкциям.
В терминах нашей школы "дети с математическими способностями" это, чаще всего, дети с порядковым типом мышления. Они учатся быстро и качественно выполнять задание по схеме.
3. Метрическое мышление. Эта структура определяет количественные понятия. Метристы в деле считают самым главным точное математическое значение - цифры, цифры и ещё раз цифры. Всегда и во всем они пытаются сводить к конкретным величинам и постоянно оперируют такими параметрами как ширина, высота, дальность, цена, количество, время и т.д. Метристы не любят образность и общность - им сложно представить какую-то абстрактную величину, не выраженную определённостью; они всегда ясно представляют себе, что выйдет в результате работы, сколько придётся затратить, и сколько от этого получишь. Такие люди осторожны и предусмотрительны, неизвестность пугает их - пока человек не выяснит досконально все подробности и нюансы - действовать не начнёт.
В школе они могут великолепно решать задачи с числами, но просьба посчитать сколько денег потрачено, если купили а ручек по 15 рублей, просто поставит их в тупик.
4. Алгебраическое мышление. Люди с доминирующим мышлением этого типа - прирождённые комбинаторы и конструкторы. Они постоянно стремятся к представлению объекта через структурное восприятие. То есть, постоянно разбирают и собирают предмет, пытаются выстроить из частей разные комбинации. К решению каких-либо задач подходят с хаотическим настроем - начинают с того места, которое им нравится, потом перескакивают куда-то в середину, минуя промежуточные этапы, и заново возвращаются в начало, предварительно исследовав часть, которая должна завершать процесс. Таких людей сложно заставить делать что-то по правилам и в рамках. В жизни они чаще всего рассеянны, часто опаздывают, склонны упрощать ситуацию. Они видят предмет одновременно и целиком и каждую его часть, что позволяет им быстро находить единственно нужное в данной ситуации.
Это те дети, которым алгебра дается лучше, чем геометрия, они хорошо понимают достаточно сложную для большинства одноклассников тему функция и окончательно расцветают к старшим классам - началам матанализа.
5. Проективное мышление. Самое сложное из всех пяти. Тот, у кого преобладает структура данного типа, склонен рассматривать предмет с разных точек зрения, под разными углами. Его интересуют все варианты применения предмета в теории и на практике. Такой человек мыслит нестандартно, удивляет окружающих многовариантностью решений, казалось бы, банальной проблемы. «Проективист» стремиться найти оптимальное применение любого явления, его волнует не характеристики, а степень применяемости и полезности. В жизни эти люди обладают неординарным интеллектом, любят везде и во всем искать выгоду, это отличные идейные лидеры, которые могут мгновенно оценивать ситуацию и поворачивать её в нужное русло. Самый большой недостаток проективистов в том, что, рассматривая предмет как не статичную структуру, они забывают об абсолютных характеристиках и значительных подробностях.
В школе они блещут на олимпиадах, но имеют 4-ки по математике просто потому что допускают по невнимательности и небрежности кучу арифметических ошибок.
Разумеется, в каждом человеке присутствуют в разных количествах все эти типы мышления. Кстати, у большинства людей порядковое мышление является главным, доминантным - всё это объясняется тем, что обучение в школе все 10 лет проходит по этой системе. 1 й тип часто лучше понимает геометрию, чем алгебру, но нередко в ограниченной ее части, там, где могут заранее проследить последовательность действий, которые надо совершить, 2, 3 и 4 - лучше понимают алгебру, 2 нередко бывает успешен и в геометрии, но алгебру все равно любит чуть больше, а для 5го сложная геометрическая задачка - слаще любого десерта:)
Доминант определяет многие аспекты мыслительной и, соответственно, практической деятельности. Причём не только на поприще математики. Даже по тому, как человек пропалывает грядки, расставляет предметы в комнате, одевается, можно вычленить информацию о преобладающей структуре, хотя существует множество простых тестов, которые позволяют это определить.
Например, достаточно попросить человека описать свою комнату. Топограф будет перечислять по группам, сначала про стулья, кресла, диваны, и уже потом про магнитофон, компьютер, телефон; порядковец особое внимание уделит расположению предметов относительно друг друга, их формам и размерам; Метрист начнёт перечислять количество стульев, габариты комнаты; алгебраист просто выльет на бумагу все свои мысли, в любом порядке, перескакивая с места на место; а у проективиста получится самая большая по объёму работа - он постарается расписать применение наиболее важных вещей его квартиры. Учёные выяснили, что люди с одинаковыми типами мышления сами тянутся друг к другу, так как им бывает сложно понять «математически других» людей.
И напоследок хочу сказать, что, исходя из вышенаписанного, математическое мышление в том или ином виде присутствует у любого человека, просто если мышление ребенка не совпадает с мышлением учителя/родителя, такого ребенка записывают в безнадежные, а проблема в том, что ему просто никто не может объяснить на его языке.
По мере возможности борюсь с этими заблуждениями, присоединяйтесь:)