Вопрос про многообразия

[marina_p]

Есть ли какое-то простое объяснение того, что любое топологическое многообразие можно представить как объединение возрастающей последовательности компактных многообразий?

Я почему-то думала, что достаточно взять шары с центрами в фиксированной точке (выбрав какую-нибудь метрику), а тут до меня дошло, что они не обязательно будут многообразиями.

Comments

[dimpas]

У топологического многообразия всегда есть счетная база {Bi} из регулярных шаров (Lemma 4.31 из J.Lee, Introduction to topological manifolds). Возьмем последовательность объединений замыканий Bi, вот и получится то, что требуется.

(мог и наврать, поскольку не тополог, хотя в этом семестере и читаю по ней курс...)

[marina_p]

Но объединение замыканий двух шаров совсем не обязательно будет многообразием. То есть там как-то аккуратнее надо.

[dimpas]

гм, замыкания тут ни при чем, и вправду...

Будет ли объединение конечного числа регулярных (открытых) шаров многообразием? Казалось бы да.
То есть если взять B1, B1∪B2, B1∪B2∪B3,...
как раз и будет то что нужно.

[dimpas]

ну да, теперь компактность пропала. Что-то я туплю сегодня.

[qui_vadis]

>возрастающей последовательности компактных многообразий?

Я может чего не понял. Многообразия=manifolds? Возьмите (комплексную, проективную) кривую с каспом (это вроде topological manifold). И как вы её представите?

Извините, я не тополог, может ошибаюсь.

[marina_p]

А что такое (комплексная, проективная) кривая с каспом? Я-то как раз с АГ незнакома. То есть что такое проективная кривая ещё представляю (образ алгебраического отображения P^1->P^n?), а про касп -- нет.

Может, тут недоразумение вышло из-за моей формулировки: те компактные многообразия, которыми хочется аппроксимировать исходное, -- они тоже топологические многообразия.

Мне интуитивно понятно, что это утверждение верно, только неясно, как его доказать :-)

[qui_vadis]

>те компактные многообразия, которыми хочется аппроксимировать исходное, -- >они тоже топологические многообразия

А, тогда нет вопросов. Ничего полезного сказать не могу.

Комплексная проективная кривая необязательно образ CP^1 (последняя называется рациональной кривой). Просто one dimensional complex variety. Например кривая в CP^2: \{f(x,y,z)=0\}

Простейший cusp (локально x^2=y^3)-простейшая особенность после node (локально хy=0).

[sowa]

В топологической категории это, может быть, трудно (или даже очень трудно) доказать. В гладкой - взять собственное вложение в евклидово пространство (существует по теореме Уитни) и пересекать образ с большими шарами, края которых трансверсальны образу (существуют по теореме Сарда).

[marina_p]

Да, вот я и думала, что в гладкой-то это должно быть просто...

Но неужели такого уже давно не доказано? Это же совершенно естественный вопрос. (Мне-то он сейчас низачем не нужен, но просто интересно стало.) У Хирша в книжке какие-то вещи доказываются похоже, постепенным увеличением области, для которой доказываемое утверждение верно (только я давно уже читала, не помню).

Вот то утверждение, которое у меня в конце написано -- что любое компактное подмножество Х содержится в каком-то компактном подмногообразии Х, -- тоже ведь наверное про него всё известно? Вот про него, кстати, я меньше уверена, что это правда, чем про исходную формулировку...

[sowa]

Немного не понял вопрос. :-) В гладком случачая я привел доказательство. В топологическом - надо думать, что верно, но либо нужна трансверсальность - что трудно, либо есть какой-нибудь трюк, который никто, кроме специалистов, не знает.

[burcha]

Ну да, в гладком так, в PL есть теорема о регулярной окрестности, а в топологическом -- что-то я вообще сомневаюсь.