Удвоение куба
Это решение не даёт ни малейшей возможности практического применения, что добавляет удовольствия.
Со времён древней Греции известны три геометрические задачи - трисекция угла, квадратура круга и удвоение куба, считающиеся неразрешимыми с помощью циркуля и линейки (основных инструментов древних геометров).
Для удвоения куба придуманы: мезолябия Эратосфена, цилиндры Архита, триады Менехма и др. (см. http://hijos.ru/2011/04/10/udvoenie-kuba/), это решение иное.
Возможно, кто-то находил его раньше, но я пришёл к нему самостоятельно и, пока не доказано обратное, считаю себя его автором.
По легенде, в ответ на просьбу избавить остров Деллос от чумы - оракул сказал «удвойте жертвенник» (который был кубической формы).
В формулировке оракула отсутствует ограничение - используя только циркуль и линейку, точнее было бы решать задачу, используя только средства, доступные древним грекам.
Почесав основное мыслительное место, можно сделать вывод, что самый простой способ решения задачи - прямое измерение объёма измерителем, отщепляющим по одной координате нужную величину (этого можно достичь специальной конструкцией измерителя объёма).
Заметим - объём куба можно узнать, поместив куб в жидкость и измерив объём вытесненной жидкости (Архимед применил этот способ при измерении объёма короны Гиерона). Такой способ измерения был известен древним грекам и его можно использовать при решении данной задачи.
Возьмём в качестве измерителя объёма (вытесненной кубом жидкости) перевёрнутую правильную пирамиду с квадратным основанием. Примем длину ребра основания за L, длину ребра, идущего к вершине - kL. k - единственный параметр, варьируя который, можно решить задачу (свести поиск кубического корня к построению нескольких квадратных корней).
Удвоим объём жидкости (получим объём искомого куба), и поместим его в установленную вертикально вершиной вниз пирамиду (без крышки - чтобы можно было её наполнять).
Выразим объём налитой в пирамиду жидкости через L, kL, и приравняем его к объёму искомого куба:
Видно, что L равно ребру искомого куба, если k - квадратный корень из 9+1/2. Эту длину можно получить как гипотенузу треугольника со сторонами
длину второго отрезка можно получить как половину диагонали квадрата со стороной L.
Изготовим пирамиду с квадратным основанием из 4-х треугольников с соотношением сторон, как указано выше, установим её вертикально вершиной вниз. Теперь, наполнив её водой, равной двум объёмам исходного куба - любое ребро основания даёт искомую длину ребра удвоенного куба - задача удвоения куба решена.
Для проверки вертикальности установки пирамиды можно измерить длину всех рёбер основания - при вертикальной установке длины рёбер должны быть равны.
Если нужно найти кубический корень из 3 - наливаем в измерительную пирамиду 3 объёма исходного куба.
Если найдёте ошибку в рассуждении - пожалуйста, сообщите.
Со времён древней Греции известны три геометрические задачи - трисекция угла, квадратура круга и удвоение куба, считающиеся неразрешимыми с помощью циркуля и линейки (основных инструментов древних геометров).
Для удвоения куба придуманы: мезолябия Эратосфена, цилиндры Архита, триады Менехма и др. (см. http://hijos.ru/2011/04/10/udvoenie-kuba/), это решение иное.
Возможно, кто-то находил его раньше, но я пришёл к нему самостоятельно и, пока не доказано обратное, считаю себя его автором.
По легенде, в ответ на просьбу избавить остров Деллос от чумы - оракул сказал «удвойте жертвенник» (который был кубической формы).
В формулировке оракула отсутствует ограничение - используя только циркуль и линейку, точнее было бы решать задачу, используя только средства, доступные древним грекам.
Почесав основное мыслительное место, можно сделать вывод, что самый простой способ решения задачи - прямое измерение объёма измерителем, отщепляющим по одной координате нужную величину (этого можно достичь специальной конструкцией измерителя объёма).
Заметим - объём куба можно узнать, поместив куб в жидкость и измерив объём вытесненной жидкости (Архимед применил этот способ при измерении объёма короны Гиерона). Такой способ измерения был известен древним грекам и его можно использовать при решении данной задачи.
Возьмём в качестве измерителя объёма (вытесненной кубом жидкости) перевёрнутую правильную пирамиду с квадратным основанием. Примем длину ребра основания за L, длину ребра, идущего к вершине - kL. k - единственный параметр, варьируя который, можно решить задачу (свести поиск кубического корня к построению нескольких квадратных корней).
Удвоим объём жидкости (получим объём искомого куба), и поместим его в установленную вертикально вершиной вниз пирамиду (без крышки - чтобы можно было её наполнять).
Выразим объём налитой в пирамиду жидкости через L, kL, и приравняем его к объёму искомого куба:
Видно, что L равно ребру искомого куба, если k - квадратный корень из 9+1/2. Эту длину можно получить как гипотенузу треугольника со сторонами
длину второго отрезка можно получить как половину диагонали квадрата со стороной L.
Изготовим пирамиду с квадратным основанием из 4-х треугольников с соотношением сторон, как указано выше, установим её вертикально вершиной вниз. Теперь, наполнив её водой, равной двум объёмам исходного куба - любое ребро основания даёт искомую длину ребра удвоенного куба - задача удвоения куба решена.
Для проверки вертикальности установки пирамиды можно измерить длину всех рёбер основания - при вертикальной установке длины рёбер должны быть равны.
Если нужно найти кубический корень из 3 - наливаем в измерительную пирамиду 3 объёма исходного куба.
Если найдёте ошибку в рассуждении - пожалуйста, сообщите.