Оба названия этимологии не имеют.
Этимологический словарь английского языка говорит о них так:
East. Old English east, eastan (adj., adv.) "east, easterly, eastward;" easte (n.), from Proto-Germanic *aust- "east," literally "toward the sunrise" (source also of Old Frisian ast "east," aster "eastward," Dutch oost Old Saxon ost, Old High German ostan, German Ost, Old Norse austr "from the east"), from PIE root *aus- (1) "to shine," especially of the dawn. The east is the direction in which dawn breaks.
от протогерманского *aust- «восток», буквально «к восходу солнца» (источник также древнефризского ast «восток», aster «на восток», голландского oost, старосаксонского ost, древневерхненемецкого ostan, немецкого Ost, древнескандинавского austr «с востока»), от корня PIE *aus- (1) «сиять», особенно о рассвете. Восток - это направление, в котором восходит солнце и начинается рассвет.
https://www.etymonline.com/word/east West Old English west (adv.) "in or toward the west, in a westerly direction," from Proto-Germanic *west- (source also of Old Norse vestr, Old Frisian, Middle Dutch, Dutch west, Old High German -west, only in compounds, German west), which is of uncertain origin. Perhaps from PIE *wes-, reduced form of *wes-pero- "evening, night" (source also of Greek hesperos, Latin vesper "evening, west;"
Древнеанглийский запад (нареч.) «на запад или к западу, в западном направлении», от протогерманского *west- (источник также древнескандинавского -west, старофризского, среднеголландского, голландского west, древневерхненемецкого -west, только в соединениях немецкого west), имеющее неопределенное происхождение. Возможно, от PIE *wes-, сокращенной формы *wes-pero- «вечер, ночь» (источник также от греческого hesperos, латинского vesper «вечер, запад»; см. вечерню).
https://www.etymonline.com/search?q=west Единственное, что в этих текстах правильно и заслуживает внимания - это точно такое же
противопоставление east - west, как противопоставление русских восход-закат, Восток-Запад.
Начало и конец. То есть с одной стороны что-то появляется (свет, солнце), а с другой стороны
оно же исчезает (теряется, гаснет, прячется). Поэтому оставим в покое нарисованные
среднеарифметические корни "сияние" и "вечер, ночь" и рассмотрим настоящие источники искомых слов.
East (Восток) образовано от древнееврейского "есОд" (יסוד - начало, учреждение,
основа, основание, базис).
East (буквально) - начало (восход, рассвет).
Однокоренные слова:
древнегреческий - ηως (Эос - утро, восток, заря),
ηωος (ранний, утренний, восточный),
ηωδι ("эоди" - утром, с утра)
русский - уста и устье (Тоже, кстати, не имеющие этимологии. Хотя оба - буквальные начала.)
West (Запад) образовано от древнееврейского "псад" (פסד - терять, потери, убыль,
ущерб; истратить, истощиться).
West (буквально) - окончание (закат), убыль, потеря, утрата.
Однокоренные слова (корень П-С-Д):
английский - waste (терять, потери, убыль, ущерб; истратить, истощиться),
pass (проходить, исчезать, умирать, кончаться, прекращаться)
французский - pastel (блёклые, истощённые, неяркие краски)
каталанский - posta de sol (закат)
монгольский - хоостох (обеднеть, опустеть)
узбекский - pastga (вниз), pasayish (убыль)
албанский - poshtё (вниз)
румынский - epuizat (измученный), epuiz (истощение)
латышский - pazust (исчезать), paslepties (прятаться)
венгерский - vezsteseg (потери), elveszit (потерять),
vestes (терять)
финский - viettää (истратить), vässyä (истощиться)
немецкий - Wüßt (пустынный, необитаемый, запущенный),
Wüste (пустыня)
русский - пусто, пустота, пустыня, пост (убыль, истощение питания)
украинский - пусто, пустеля, піст, постувати (держать пост)