Задача про люк и гирю, версия 1.0
версия 1.0
Внимание! Решение с ошибкой!
Часть первая, вступительная.
Широко известная во всемирной паутине веселая история про студентов, решивших однажды проверить, пробьет ли пудовая гиря, сброшенная из окна 14 этажа, канализационный люк, обошла в свое время все юмористические ресурсы и не один концерт тов. М. Задорнова. Последний, в одном из своих концертов утверждал, что некий преподаватель сопромата прислал ему свои расчеты с описанием решения данной задачи. Бегло просмотрев интернеты на наличие оного решения и не найдя его, ваш покорный слуга решил самостоятельно провести расчет и представить на суд мирового сообщества подробное решение данной задачи.
Часть вторая, размышлительная.
В этой части я постараюсь четко поставить условие задачи (а, как известно, без четкого условия нет и четкого решения).
Изначальной постановкой задачи была выбрана следующая: «С высоты какого этажа необходимо скинуть пудовую гирю на канализационный люк, чтобы пробить последний?». Неясность заключалась в слове «пробить». Пробитие гирей люка означало ее дальнейший полет в просторы канализационного колодца, что же при этом происходило с самим люком предстояло выяснить. Итак, для начала под словом «пробить» я рассматривал сценарий пробития гирей отверстия в крышке люка. Данный сценарий сразу же показался мне неправдоподобным, и практически сразу я понял почему - ведь крышка люка провалится в колодец и при менее разрушительных последствиях. Представим себе такую деформацию крышки люка, при которой она превращается в некое подобие широкого блюда, при этом окружной диаметр крышки люка становится меньше диаметра колодца, и крышка вместе с гирей совершает путешествие в канализацию (см. мои клевые картинки!).
Задача с данным развитием сценария, как мне показалось, являлась труднорешаемой (как и большинство задач сопромата, здесь смех), ибо, так как в данном случае речь шла об изгибе осесимметрично нагруженной круглой пластины - крышки люка (то, почему она круглая, также является вопросом довольно неоднозначным, читаем Гугол), то мне пришлось бы решить несколько подзадач:
1. Определить форму, которую примет люк после деформации.
2. В зависимости от этой формы рассчитать необходимую величину ударной нагрузки от падающей гири для провала люка в колодец.
Причем расчет должен бы был вестись за пределами упругости материала крышки люка, в зоне пластических ее деформаций. Честно говоря, ума не приложу, как это осуществить.
Немного погрустнев, я начал снова и снова представлять в голове возможные сценарии поведения пары «гиря - крышка люка». И (о чудо!) мысль моя остановилась на этой самой крышке. Итак, открываем ГОСТ 3634-89 (ЛЮКИ ЧУГУННЫЕ ДЛЯ СМОТРОВЫХ КОЛОДЦЕВ). Полная версия - здесь.
В данном ГОСТе представлено описание конструкций люков, их типов и размеров. Итак, что я считаю важным в данном документе:
1. Люки бывают разных типов: …Условное обозначение люка должно состоять из обозначения типа, наименования инженерной сети, для которой он предназначен, и обозначения настоящего стандарта. Наименование инженерных сетей, для которых предназначен люк, обозначают: В - водопровод; Г - пожарный гидрант; К - бытовая и производственная канализация; Д - дождевая канализация… Вон оно как! Вот что обозначают эти буковки на люках!
2. Люки бывают разных масс и размеров: …Типы, масса и область применения люков, в зависимости от условий эксплуатации, указаны в таблице…
Тип
Наименование
Масса деталей люка
по исполнениям, кг
Условия эксплуатации
1
11
корпус
крышка
корпус
крышка
Л
Легкий люк
35
30
В зоне зеленых насаждений и на проезжей части улиц
Т
Тяжелый люк
50
50
50
48
На общегородских автомобильных дорогах
ТМ
Тяжелый магистральный люк
50
45
50
43
На магистральных автомобильных дорогах с интенсивным движением транспорта
Р
Ремонтная вставка
35
В корпусах люков типов Т и ТМ при ремонтных работах на дорогах (наращивание дорожного полотна)
3. Крышки люков должны проходить испытания на прочность: …При испытании на механическую прочность крышка люков должна выдерживать усилие: типа Л - 30 кН (3 тс), типа Т - 150 кН (15 тс), типа ТМ - 250 кН (25 тс)…
Немалые, однако, усилия!
В будущем при расчете я проверю на гирестойкость все типы люков.
4. Самое важное! То, что помогло мне понять процесс разрушения крышки: …Корпуса люков всех типов, крышки и ремонтную вставку отливают из чугуна не ниже марки СЧ15 по ГОСТ 1412. Крышки люков типа ТМ отливают из чугуна не ниже марки ВЧ45 по ГОСТ 7293… Ну конечно! Люки отливаются из чугуна, который не имеет никакого предела текучести! Таким образом, из этого пункта я сделал следующий вывод: крышка люка при ударе в нее гири будет разрушаться хрупко, без каких-либо пластических деформаций, что сильно упрощает расчет. Осталось лишь установить (хотя бы приблизительно) механику этого разрушения.
На мой взгляд, самым вероятным сценарием разрушения будет раскол крышки люка на две или более частей, и лишь в этом случае произойдет необходимое событие провала гири с осколками крышки в колодец. Опять же, мой гениальный рисунок.
В итоге, после вышеизложенных изысканий я получил следующую редакцию условия задачи: «С высоты какого этажа необходимо скинуть пудовую гирю на канализационный люк типа X, чтобы гарантированно пробить последний с последующим расколом и падением в колодец?».
Часть третья, вычислительная.
Итак, согласно части второй данной статьи, критерием выполнения условия «пробития» крышки люка является хрупкое разрушение всего ее объема. Для этого напряжения в материале крышки в каждой ее точке после удара должны достичь предела прочности материала крышки, то есть:
σmin = σВ
Составим расчетную схему для решения задачи. Очевидно, что в данном случае легче всего рассмотреть крышку люка как осесимметрично нагруженную круглую пластину. Нагружение в данном случае выберем также наиболее простым - сосредоточенной силой в центре крышки (то есть будем считать, что гиря упадет ровно в центр крышки люка).
Пусть R - радиус пластины, h - ее толщина.
Определим поперечную силу Q. Для центральной части пластины радиусом r из уравнения равновесия получим:
Определим значения угла поворота нормали по известной формуле:
Проинтегрируем дважды полученное выше выражение для поперечной силы Q:
Получим следующее выражение для величины
:
Определим из данного выражения те константы, которые возможно определить. При r = 0,
= 0, поэтому:
Определим значения моментов
и
по известным формулам:
Определим значения выражений
и
:
Получим следующие выражения для величин
и
:
Определим из данных выражений те константы, которые возможно определить. При r = R,
= 0, поэтому:
Наибольшие напряжения определяются по формулам:
Получим следующие выражения для максимальных напряжений:
Рассмотрим графики распределения максимальных напряжений по радиусу пластины:
Как видно из графиков, максимальные напряжения достигают своих минимальных значений при r = R. Причем значение
при этом равно нулю. Определим
при r = R:
Что меня чрезвычайно удивило, в данной формуле нет никаких характеристик самого материала (модуля упругости и коэффициента Пуассона), что заставляет задуматься о правильности решения…
Теперь определим зависимость нагрузки P от высоты сброса гири.
Для этого необходимо определить так называемую жесткость системы, в данном случае она будет равна отношению нагрузки P на прогиб пластины в ее центральной части. Прогиб определяется по формуле:
Константу C’ определим из условия отсутствия прогиба при r = R:
Тогда жесткостью пластины будет величина, равная прогибу в сечении r = 0, поделенному на нагрузку:
Величина D - цилиндрическая жесткость пластины, определяется по формуле:
После подстановки получим:
Тогда статическая деформация от нагрузки будет равна:
Определим коэффициент динамичности:
Так как статическая нагрузка от гири будет равна mg, где m - масса гири (1 пуд = 16.38 килограмма), то:
Определим величину ударной нагрузки:
Итак, теперь составим окончательное уравнение для определения высоты H:
;
;
.
Из трех этих уравнений составим одно:
Итак, рассчитаем значение высоты сброса для трех типов люков. Воспользуемся маткадом.
Легкий люк: h = 0.012 м; R = 0,313 м; материал: чугун не ниже марки СЧ15 по ГОСТ 1412 (E = 0,9•1011 Па; σВ = 1,5•108 Па; µ=0,25).
H = 1,857 • 1012 м.
Тяжелый люк: h = 0.015 м; R = 0,3225 м; материал: чугун не ниже марки СЧ15 по ГОСТ 1412 (E = 0,9•1011 Па; σВ = 1,5•108 МПа; µ=0,25)
H = 8,385 • 1012 м.
Тяжелый магистральный люк: h = 0.015 м; R = 0,323 м; материал: чугун не ниже марки ВЧ45 по ГОСТ 7293 (E = 0,9•1011 Па; σВ = 4,5•108 МПа; µ=0,25)
H = 1,585 • 1013 м.
Часть четвертая, итоговая.
Как видим, получились высоты, большие, чем диаметр Земли…
Собственно, я в шоке и жду ваших замечаний по решению =)
Здесь всяческие копирайты и предупреждения про обязательную ссылку на первоисточник при публикации.
Внимание! Решение с ошибкой!
Часть первая, вступительная.
Широко известная во всемирной паутине веселая история про студентов, решивших однажды проверить, пробьет ли пудовая гиря, сброшенная из окна 14 этажа, канализационный люк, обошла в свое время все юмористические ресурсы и не один концерт тов. М. Задорнова. Последний, в одном из своих концертов утверждал, что некий преподаватель сопромата прислал ему свои расчеты с описанием решения данной задачи. Бегло просмотрев интернеты на наличие оного решения и не найдя его, ваш покорный слуга решил самостоятельно провести расчет и представить на суд мирового сообщества подробное решение данной задачи.
Часть вторая, размышлительная.
В этой части я постараюсь четко поставить условие задачи (а, как известно, без четкого условия нет и четкого решения).
Изначальной постановкой задачи была выбрана следующая: «С высоты какого этажа необходимо скинуть пудовую гирю на канализационный люк, чтобы пробить последний?». Неясность заключалась в слове «пробить». Пробитие гирей люка означало ее дальнейший полет в просторы канализационного колодца, что же при этом происходило с самим люком предстояло выяснить. Итак, для начала под словом «пробить» я рассматривал сценарий пробития гирей отверстия в крышке люка. Данный сценарий сразу же показался мне неправдоподобным, и практически сразу я понял почему - ведь крышка люка провалится в колодец и при менее разрушительных последствиях. Представим себе такую деформацию крышки люка, при которой она превращается в некое подобие широкого блюда, при этом окружной диаметр крышки люка становится меньше диаметра колодца, и крышка вместе с гирей совершает путешествие в канализацию (см. мои клевые картинки!).
Задача с данным развитием сценария, как мне показалось, являлась труднорешаемой (как и большинство задач сопромата, здесь смех), ибо, так как в данном случае речь шла об изгибе осесимметрично нагруженной круглой пластины - крышки люка (то, почему она круглая, также является вопросом довольно неоднозначным, читаем Гугол), то мне пришлось бы решить несколько подзадач:
1. Определить форму, которую примет люк после деформации.
2. В зависимости от этой формы рассчитать необходимую величину ударной нагрузки от падающей гири для провала люка в колодец.
Причем расчет должен бы был вестись за пределами упругости материала крышки люка, в зоне пластических ее деформаций. Честно говоря, ума не приложу, как это осуществить.
Немного погрустнев, я начал снова и снова представлять в голове возможные сценарии поведения пары «гиря - крышка люка». И (о чудо!) мысль моя остановилась на этой самой крышке. Итак, открываем ГОСТ 3634-89 (ЛЮКИ ЧУГУННЫЕ ДЛЯ СМОТРОВЫХ КОЛОДЦЕВ). Полная версия - здесь.
В данном ГОСТе представлено описание конструкций люков, их типов и размеров. Итак, что я считаю важным в данном документе:
1. Люки бывают разных типов: …Условное обозначение люка должно состоять из обозначения типа, наименования инженерной сети, для которой он предназначен, и обозначения настоящего стандарта. Наименование инженерных сетей, для которых предназначен люк, обозначают: В - водопровод; Г - пожарный гидрант; К - бытовая и производственная канализация; Д - дождевая канализация… Вон оно как! Вот что обозначают эти буковки на люках!
2. Люки бывают разных масс и размеров: …Типы, масса и область применения люков, в зависимости от условий эксплуатации, указаны в таблице…
Тип
Наименование
Масса деталей люка
по исполнениям, кг
Условия эксплуатации
1
11
корпус
крышка
корпус
крышка
Л
Легкий люк
35
30
В зоне зеленых насаждений и на проезжей части улиц
Т
Тяжелый люк
50
50
50
48
На общегородских автомобильных дорогах
ТМ
Тяжелый магистральный люк
50
45
50
43
На магистральных автомобильных дорогах с интенсивным движением транспорта
Р
Ремонтная вставка
35
В корпусах люков типов Т и ТМ при ремонтных работах на дорогах (наращивание дорожного полотна)
3. Крышки люков должны проходить испытания на прочность: …При испытании на механическую прочность крышка люков должна выдерживать усилие: типа Л - 30 кН (3 тс), типа Т - 150 кН (15 тс), типа ТМ - 250 кН (25 тс)…
Немалые, однако, усилия!
В будущем при расчете я проверю на гирестойкость все типы люков.
4. Самое важное! То, что помогло мне понять процесс разрушения крышки: …Корпуса люков всех типов, крышки и ремонтную вставку отливают из чугуна не ниже марки СЧ15 по ГОСТ 1412. Крышки люков типа ТМ отливают из чугуна не ниже марки ВЧ45 по ГОСТ 7293… Ну конечно! Люки отливаются из чугуна, который не имеет никакого предела текучести! Таким образом, из этого пункта я сделал следующий вывод: крышка люка при ударе в нее гири будет разрушаться хрупко, без каких-либо пластических деформаций, что сильно упрощает расчет. Осталось лишь установить (хотя бы приблизительно) механику этого разрушения.
На мой взгляд, самым вероятным сценарием разрушения будет раскол крышки люка на две или более частей, и лишь в этом случае произойдет необходимое событие провала гири с осколками крышки в колодец. Опять же, мой гениальный рисунок.
В итоге, после вышеизложенных изысканий я получил следующую редакцию условия задачи: «С высоты какого этажа необходимо скинуть пудовую гирю на канализационный люк типа X, чтобы гарантированно пробить последний с последующим расколом и падением в колодец?».
Часть третья, вычислительная.
Итак, согласно части второй данной статьи, критерием выполнения условия «пробития» крышки люка является хрупкое разрушение всего ее объема. Для этого напряжения в материале крышки в каждой ее точке после удара должны достичь предела прочности материала крышки, то есть:
σmin = σВ
Составим расчетную схему для решения задачи. Очевидно, что в данном случае легче всего рассмотреть крышку люка как осесимметрично нагруженную круглую пластину. Нагружение в данном случае выберем также наиболее простым - сосредоточенной силой в центре крышки (то есть будем считать, что гиря упадет ровно в центр крышки люка).
Пусть R - радиус пластины, h - ее толщина.
Определим поперечную силу Q. Для центральной части пластины радиусом r из уравнения равновесия получим:
Определим значения угла поворота нормали по известной формуле:
Проинтегрируем дважды полученное выше выражение для поперечной силы Q:
Получим следующее выражение для величины
:
Определим из данного выражения те константы, которые возможно определить. При r = 0,
= 0, поэтому:
Определим значения моментов
и
по известным формулам:
Определим значения выражений
и
:
Получим следующие выражения для величин
и
:
Определим из данных выражений те константы, которые возможно определить. При r = R,
= 0, поэтому:
Наибольшие напряжения определяются по формулам:
Получим следующие выражения для максимальных напряжений:
Рассмотрим графики распределения максимальных напряжений по радиусу пластины:
Как видно из графиков, максимальные напряжения достигают своих минимальных значений при r = R. Причем значение
при этом равно нулю. Определим
при r = R:
Что меня чрезвычайно удивило, в данной формуле нет никаких характеристик самого материала (модуля упругости и коэффициента Пуассона), что заставляет задуматься о правильности решения…
Теперь определим зависимость нагрузки P от высоты сброса гири.
Для этого необходимо определить так называемую жесткость системы, в данном случае она будет равна отношению нагрузки P на прогиб пластины в ее центральной части. Прогиб определяется по формуле:
Константу C’ определим из условия отсутствия прогиба при r = R:
Тогда жесткостью пластины будет величина, равная прогибу в сечении r = 0, поделенному на нагрузку:
Величина D - цилиндрическая жесткость пластины, определяется по формуле:
После подстановки получим:
Тогда статическая деформация от нагрузки будет равна:
Определим коэффициент динамичности:
Так как статическая нагрузка от гири будет равна mg, где m - масса гири (1 пуд = 16.38 килограмма), то:
Определим величину ударной нагрузки:
Итак, теперь составим окончательное уравнение для определения высоты H:
;
;
.
Из трех этих уравнений составим одно:
Итак, рассчитаем значение высоты сброса для трех типов люков. Воспользуемся маткадом.
Легкий люк: h = 0.012 м; R = 0,313 м; материал: чугун не ниже марки СЧ15 по ГОСТ 1412 (E = 0,9•1011 Па; σВ = 1,5•108 Па; µ=0,25).
H = 1,857 • 1012 м.
Тяжелый люк: h = 0.015 м; R = 0,3225 м; материал: чугун не ниже марки СЧ15 по ГОСТ 1412 (E = 0,9•1011 Па; σВ = 1,5•108 МПа; µ=0,25)
H = 8,385 • 1012 м.
Тяжелый магистральный люк: h = 0.015 м; R = 0,323 м; материал: чугун не ниже марки ВЧ45 по ГОСТ 7293 (E = 0,9•1011 Па; σВ = 4,5•108 МПа; µ=0,25)
H = 1,585 • 1013 м.
Часть четвертая, итоговая.
Как видим, получились высоты, большие, чем диаметр Земли…
Собственно, я в шоке и жду ваших замечаний по решению =)
Здесь всяческие копирайты и предупреждения про обязательную ссылку на первоисточник при публикации.