Логические парадоксы и человеческое сознание (окончание)
Окончание статьи, начало см. 1), 2).
Подводя итог «математической» части моей статьи, я хочу подчеркнуть следующее: подавляющее большинство людей, которые что-либо слышали о теоремах Геделя, и даже подавляющее большинство математиков понимают их значение неверно. То есть, формально верно, но по сути - неверно. Если отталкиваться только от формулировок теорем, то они вроде бы о том, что доказать непротиворечивость математики нельзя, ее можно только предполагать (если угодно, верить). Но если посмотреть на доказательство Геделя, то мы приходим к другому осмыслению сути его теорем: Гедель показывает, что наличие натуральных чисел позволяет построить формальное выражение, отрицающее само себя (парадокс типа «парадокса лжеца»). И в этом смысл открытия Геделя.
То есть, в конце XIX и первой половине XX века в математике разыгралась следующая драма: математики обнаружили возможность построения парадоксов - утверждений, на которых логика перестает работать. Тогда математики объявили: ранее мы использовали в математике недостаточно строгий язык. Теперь, осознав проблему, мы создадим более строгий, более формальный язык и таким образом сможем избежать ситуаций, когда логика оказывается бессильной. Но Гедель показал, что даже средствами этого строгого языка все равно можно строить парадоксы. А значит, уйти от проблемы не удалось, попытка оказалась негодной. Математики же, вместо того, чтобы открыто это признать, разрешили себе использовать логические рассуждения, построенные на автореферентных утверждениях - правда, лишь для тех случаев, когда сомнительность результатов, полученных таким способом, неочевидна. В приведенном мной ранее «доказательстве» теоремы Ферма сомнительность результата видна с ходу, а в случаях теорем Кантора и Геделя - нет. Но проблема в том, что на логическом уровне отделить «доказательство» теоремы Ферма от доказательств Кантора и Геделя невозможно - там все логически безупречно. Просто это случаи, когда логика дает сбои и на нее полагаться нельзя! А это означает, что и на доказательство Геделя полагаться нельзя. Он вовсе не доказал, что непротиворечивость математики недоказуема, он просто поколдовал с формально-логическими утверждениями в ситуации, когда они могут попросту не работать.
Чтоб два раза не вставать - существует популярный комментарий к теореме Геделя, в духе: «Гедель доказал, что математическая теория не может доказать непротиворечивость самой себя, так же, как человек не может вытащить сам себя за волосы из болота». Эта аналогия в данном случае некорректна: например, исчисление предикатов первого порядка непротиворечиво (есть такая теорема). А, поясним, исчисление предикатов первого порядка - это математическая формализация и расширение классической логики Аристотеля. Таким образом, дело не в «вытащить самого себя за волосы», а в том, что внутри исчисления предикатов нет натуральных чисел - нет инструмента, при помощи которого можно было бы формально построить парадокс.
Какое же свойство натуральных чисел дает им такую разрушительную силу? А вот какое: для каждого натурального числа существует следующее - то, которое на единицу больше предыдущего. Вот эта потенциальная бесконечность натуральных чисел, возможность «сосчитать» любое количество объектов дала Геделю способ построить нумерацию всех возможных высказываний, без всяких ограничений. А потом построить парадокс.
Для дальнейшего изложения мне нужно сказать еще пару слов о действительных числах.
Как я уже упоминал ранее, выяснилось, что классическая математика не может обойтись без непредикативных определений (определений, содержащих явную или неявную автореференцию). Одно из таких определений - классическое определение действительных чисел, предложенное Дедекиндом. Потом вместо определения Дедекинда была предложена система аксиом для действительных чисел. Одна из принципиально важных аксиом - это «аксиома непрерывности». Ее суть в том, что действительные числа можно считать точками на прямой, любой точке на прямой можно поставить в соответствие некоторое действительное число.
А прямая - это умственная абстракция луча, наблюдаемого человеческим глазом. Для нас естественно считать, что луч - прямой и непрерывный.
Вот только современные знания о мире говорят, что луч вовсе не является непрерывным: он состоит из квантов, из отдельных энергетических частиц.
И вообще в природе нет ничего непрерывного - все в мире состоит из элементарных частиц.
А значит, действительные числа - это фикция, игра ума. Нет таких в природе. А значит, классический математический анализ, целиком построенный на фундаменте действительных чисел - это наука о несуществующих сущностях. «Несуществующие сущности» - чувствуете, повеяло самоотрицающими утверждениями, парадоксами и лжецами?
К счастью, в современном мире, все явления, доступные наблюдению, анализируются при помощи вычислительных машин. А внутри компьютеров нет ничего непрерывного - там все обсчитывается при помощи методов дискретной математики. Кроме того, там нет и бесконечно разворачивающегося ряда натуральных чисел. В каждом компьютере (или массиве компьютеров) имеется максимально возможное число, а следующего за ним уже не существует.
Таким образом, компьютерная математика оказывается свободной и от несуществующих в реальности феноменов типа «непрерывности», и от парадоксов. И в этом плане она является надежным инструментом для познания мира.
Ура. Ура?
Есть одна тонкость.
Человек разработал методы дискретной математики, которые используются в вычислительной технике. Вот только дискретная математика достигла выдающихся успехов путем создания «дискретных» аналогов для методов классического «непрерывного» анализа и производных от него разделов современной математики. Например, вовсю используются «дискретное дифференцирование» и «дискретное интегрирование». Во многих случаях просто используются достижения «непрерывной» математики. Так, целые числа изучаются методами «алгебраической геометрии». А геометрия в современном понимании - это математическая наука о кривых, поверхностях (n-мерных поверхностях и т. п., не будем углубляться), короче говоря, о непрерывных объектах.
С точки зрения квантовой механики - науки о том, что все в мире состоит из элементарных частиц и ничего непрерывного в природе нет - каждая элементарная частица описывается пси-функцией, непрерывной, интегрируемой и дифференцируемой функцией определенного вида.
То есть, человек пришел к пониманию того, что в мире ничего непрерывного нет, но тем не менее осмысляет этот дискретный мир в терминах непрерывности. Разрабатывая способы познания дискретного мира, человек сначала создает концепции и теории в терминах непрерывности, с использованием натурального ряда и прочих кунштюков, ведущих к парадоксам и противоречиям, и лишь потом адаптирует все это к дискретным методам, пригодным для использования в компьютерных расчетах.
И получается, что человеческое сознание противоречит само себе: оно исследует открытое им отсутствие непрерывности в природе, квантовость мира при помощи методов, опирающихся на понятие непрерывности.
Потому что по-другому человеческое сознание не умеет.
Потому что законы, по которым устроено человеческое сознание, отличаются от законов, по которым устроена вселенная.
Человеческое сознание - это самопротиворечивая аномалия в реальном, вещественном мире.
Подводя итог «математической» части моей статьи, я хочу подчеркнуть следующее: подавляющее большинство людей, которые что-либо слышали о теоремах Геделя, и даже подавляющее большинство математиков понимают их значение неверно. То есть, формально верно, но по сути - неверно. Если отталкиваться только от формулировок теорем, то они вроде бы о том, что доказать непротиворечивость математики нельзя, ее можно только предполагать (если угодно, верить). Но если посмотреть на доказательство Геделя, то мы приходим к другому осмыслению сути его теорем: Гедель показывает, что наличие натуральных чисел позволяет построить формальное выражение, отрицающее само себя (парадокс типа «парадокса лжеца»). И в этом смысл открытия Геделя.
То есть, в конце XIX и первой половине XX века в математике разыгралась следующая драма: математики обнаружили возможность построения парадоксов - утверждений, на которых логика перестает работать. Тогда математики объявили: ранее мы использовали в математике недостаточно строгий язык. Теперь, осознав проблему, мы создадим более строгий, более формальный язык и таким образом сможем избежать ситуаций, когда логика оказывается бессильной. Но Гедель показал, что даже средствами этого строгого языка все равно можно строить парадоксы. А значит, уйти от проблемы не удалось, попытка оказалась негодной. Математики же, вместо того, чтобы открыто это признать, разрешили себе использовать логические рассуждения, построенные на автореферентных утверждениях - правда, лишь для тех случаев, когда сомнительность результатов, полученных таким способом, неочевидна. В приведенном мной ранее «доказательстве» теоремы Ферма сомнительность результата видна с ходу, а в случаях теорем Кантора и Геделя - нет. Но проблема в том, что на логическом уровне отделить «доказательство» теоремы Ферма от доказательств Кантора и Геделя невозможно - там все логически безупречно. Просто это случаи, когда логика дает сбои и на нее полагаться нельзя! А это означает, что и на доказательство Геделя полагаться нельзя. Он вовсе не доказал, что непротиворечивость математики недоказуема, он просто поколдовал с формально-логическими утверждениями в ситуации, когда они могут попросту не работать.
Чтоб два раза не вставать - существует популярный комментарий к теореме Геделя, в духе: «Гедель доказал, что математическая теория не может доказать непротиворечивость самой себя, так же, как человек не может вытащить сам себя за волосы из болота». Эта аналогия в данном случае некорректна: например, исчисление предикатов первого порядка непротиворечиво (есть такая теорема). А, поясним, исчисление предикатов первого порядка - это математическая формализация и расширение классической логики Аристотеля. Таким образом, дело не в «вытащить самого себя за волосы», а в том, что внутри исчисления предикатов нет натуральных чисел - нет инструмента, при помощи которого можно было бы формально построить парадокс.
Какое же свойство натуральных чисел дает им такую разрушительную силу? А вот какое: для каждого натурального числа существует следующее - то, которое на единицу больше предыдущего. Вот эта потенциальная бесконечность натуральных чисел, возможность «сосчитать» любое количество объектов дала Геделю способ построить нумерацию всех возможных высказываний, без всяких ограничений. А потом построить парадокс.
Для дальнейшего изложения мне нужно сказать еще пару слов о действительных числах.
Как я уже упоминал ранее, выяснилось, что классическая математика не может обойтись без непредикативных определений (определений, содержащих явную или неявную автореференцию). Одно из таких определений - классическое определение действительных чисел, предложенное Дедекиндом. Потом вместо определения Дедекинда была предложена система аксиом для действительных чисел. Одна из принципиально важных аксиом - это «аксиома непрерывности». Ее суть в том, что действительные числа можно считать точками на прямой, любой точке на прямой можно поставить в соответствие некоторое действительное число.
А прямая - это умственная абстракция луча, наблюдаемого человеческим глазом. Для нас естественно считать, что луч - прямой и непрерывный.
Вот только современные знания о мире говорят, что луч вовсе не является непрерывным: он состоит из квантов, из отдельных энергетических частиц.
И вообще в природе нет ничего непрерывного - все в мире состоит из элементарных частиц.
А значит, действительные числа - это фикция, игра ума. Нет таких в природе. А значит, классический математический анализ, целиком построенный на фундаменте действительных чисел - это наука о несуществующих сущностях. «Несуществующие сущности» - чувствуете, повеяло самоотрицающими утверждениями, парадоксами и лжецами?
К счастью, в современном мире, все явления, доступные наблюдению, анализируются при помощи вычислительных машин. А внутри компьютеров нет ничего непрерывного - там все обсчитывается при помощи методов дискретной математики. Кроме того, там нет и бесконечно разворачивающегося ряда натуральных чисел. В каждом компьютере (или массиве компьютеров) имеется максимально возможное число, а следующего за ним уже не существует.
Таким образом, компьютерная математика оказывается свободной и от несуществующих в реальности феноменов типа «непрерывности», и от парадоксов. И в этом плане она является надежным инструментом для познания мира.
Ура. Ура?
Есть одна тонкость.
Человек разработал методы дискретной математики, которые используются в вычислительной технике. Вот только дискретная математика достигла выдающихся успехов путем создания «дискретных» аналогов для методов классического «непрерывного» анализа и производных от него разделов современной математики. Например, вовсю используются «дискретное дифференцирование» и «дискретное интегрирование». Во многих случаях просто используются достижения «непрерывной» математики. Так, целые числа изучаются методами «алгебраической геометрии». А геометрия в современном понимании - это математическая наука о кривых, поверхностях (n-мерных поверхностях и т. п., не будем углубляться), короче говоря, о непрерывных объектах.
С точки зрения квантовой механики - науки о том, что все в мире состоит из элементарных частиц и ничего непрерывного в природе нет - каждая элементарная частица описывается пси-функцией, непрерывной, интегрируемой и дифференцируемой функцией определенного вида.
То есть, человек пришел к пониманию того, что в мире ничего непрерывного нет, но тем не менее осмысляет этот дискретный мир в терминах непрерывности. Разрабатывая способы познания дискретного мира, человек сначала создает концепции и теории в терминах непрерывности, с использованием натурального ряда и прочих кунштюков, ведущих к парадоксам и противоречиям, и лишь потом адаптирует все это к дискретным методам, пригодным для использования в компьютерных расчетах.
И получается, что человеческое сознание противоречит само себе: оно исследует открытое им отсутствие непрерывности в природе, квантовость мира при помощи методов, опирающихся на понятие непрерывности.
Потому что по-другому человеческое сознание не умеет.
Потому что законы, по которым устроено человеческое сознание, отличаются от законов, по которым устроена вселенная.
Человеческое сознание - это самопротиворечивая аномалия в реальном, вещественном мире.