Массаракш!
Читая «Обитаемый остров» братьев Стругацких (или смотря фильм Ф.Бондарчука), многие наверняка задавались вопросом: а возможно ли в реальности существование атмосферы, в которой поверхность планеты будет казаться вогнутой? И если такая атмосфера возможна, получится ли в ней жить без скафандра?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сначала понять, при каких условиях такое возможно. Вот рисунок, демонстрирующий распространение в атмосфере световых лучей, первоначально направленных строго горизонтально. Того, что луч искривлён, пугаться не сто́ит, поскольку волновой фронт, распостраняясь в среде с плавно изменяющимся показателем преломления, поворачивает, а значит, поворачивает и перпендикуляр к нему, который мы и называем направлением луча. Синие линии показывают, как распространяются лучи в атмосфере типа земной. Они немного отклоняются вниз, но всё-таки уходят в космос, оставляя краешек Земли ниже. Поэтому заглянуть за него не получится.
Красным показано распространение лучей на планете Саракш. На ней, если смотреть строго горизонтально, будет видна поверхность планеты. Если же понемногу поднимать глаза выше, то будут видны все более и более удалённые местности. Теоретически так можно увидеть даже самого себя сзади, когда луч опишет полную траекторию вокруг планеты (на практике, естественно, воздушные потоки на таком расстоянии «размоют» изображение и разглядеть свой затылок в деталях не получится). И лишь подняв глаза ещё выше, на достаточно большой угол, мы увидим горизонт - край между поверхностью планеты и небом (космосом). Если всё это живо представить, легко понять, что планета действительно будет казаться наблюдателю вогнутой - правда, относительно чётко можно будет видеть лишь местность на 20-30 км вокруг, изображение более удалённых предметов будет размываться с нелинейным возрастанием.
Каково же граничное условие для «саракшевости» атмосферы? Оно просто: луч, пущенный строго горизонтально, должен описать полный круг и вернуться в ту же точку. Или, переходя к волновой терминологии, волновой фронт должен огибать планету так, чтобы повернуться на 360° к моменту возвражения в исходную точку.
Пустим два луча, с небольшим расстоянием по вертикали Δh. Когда они пройдут некоторое небольшое расстояние (на рисунке это обозначено стрелочками), положение волнового фронта можно определить, проведя прямую через концы стрелочек. Поскольку тот луч, который пущен ниже, распространяется через более плотную атмосферу, он идёт медленнее, а значит, волновой фронт поворачивается. И если он поворачивается так, чтобы каждый раз проходить через центр планеты, мы получим нужную нам картину - к моменту возврата волновой фронт повернётся на полный круг. А это значит, что оба луча, верхний и нижний будут идти строго одинаковое время!
Пытливый читатель может найти тут аналогию с вычислением первой космической скорости - там тоже тело, брошенное с нужной скоростью, летит по замкнутому кругу, прилетая в то же место, из которого его бросили. Но аналогия тут не очень хорошая, поскольку свет искривляется не из-за гравитации - для такого сильного искривления луча света в вакууме нужна не планета, а как минимум нейтронная звезда.
Для написания полного уравнения нам не хватает знания того, как зависит скорость распространения света от высоты. Скорость распространения света в среде вычисляется через показатель преломления:
У достаточно разреженных газов n в первом приближении линейно зависит от концентрации, которую легко выразить через уравнение состояния идеального газа:
Коэффициент пропорциональности α легко вычислить, зная, что при T = 273,15 K и p = 101372 Па n = 1,0002926, отсюда α≈7,88×10-7
Для простоты предположим, что нижний луч идёт впритирочку по поверхности планеты. Время, за которое нижний луч света опишет окружность вокруг планеты, равно:
Время, затраченное верхним лучом, равно:
Так как t0 = t1, имеем:
Раскрываем скобки справа и отбрасываем произведение малых членов друг на друга:
Чтобы решить это уравнение, нужно знать, как зависит p и T от высоты. Если принять, что температура от высоты не зависит, то давление меняется по формуле:
Однако это только первое приближение, атмосфера сохраняет свою устойчивость и при более выраженном, адиабатическом градиенте:
где γ - показатель адиабаты и для воздуха равен 1,4 (в метеорологии чаще используют другую, более точную адиабатическую модель, с линейным падением температуры, но для нас это неважно).
На практике справедливо нечто среднее, и можно записать:
:
где β - некая постоянная в диапазоне от 1 до 1,4, для стандартной атмосферы её принимают равной примерно 1,24.
Поскольку
, можно экспоненту аппроксимировать линейной функцией и записать:
Отсюда:
Аппроксимируя частное, имеем:
Подставляем в уравнение:
Осталось решить, какую именно переменную мы хотим вычислить из этого уравнения. Пусть радиус и гравитация Саракша равны земным, температуру тоже возьмём стандартную (+15°C). Тогда искомой переменной будет являться давление. Вычислим его.
= 574кПа = 5,65 атмосферы.
Но это мы вычислили граничное давление, при котором поверхность планеты визуально будет казаться плоской. Чтобы она казалась вогнутой, давление нужно чуть увеличить, скажем, до 6 атмосфер.
Да, такая атмосфера существенно плотнее земной. Но вполне пригодна для жизни, примерно при таком давлении часами работают без видимого вреда для себя аквалангисты на глубине около 50 метров (правда, при таком давлении при длительной работе рекомендуется использовать так называемую донную смесь, содержащую 15% кислорода, будем считать, что на Саракше его содержится именно столько). Так что жизнь на Саракше есть.
Интересно, что на Саракше гораздо выгоднее, чем на Земле, использовать аэростаты и дирижабли - при той же подъёмной силе они имели бы там вшестеро меньший объём. Дозвуковая авиация тоже имела бы фору (вшестеро меньшая площадь крыла при той же подъёмной силе), а вот со сверхзвуком были бы проблемы, впрочем, решаемые использованием очень высоких эшелонов (порядка 25-30 км). Кстати, на таких высотах «саракш-эффект» исчезает и поверхность планеты начинает выглядеть выпуклой.
Любопытно рассмотреть модель Саракша, имеющего гравитацию, на 20% бо́льшую земной (к чему легко привыкнуть), и плотность, равную 0,6 земной (это примерно плотность Луны). Искомое давление воздуха на такой планете было бы всего лишь в 2,4 раза больше земного, что соответствует глубине 14 метров, безопасной при длительном пребывании даже для нетренированного человека.
Между прочим, «саракш-эффект» должен наблюдаться на Венере, имеющей очень плотную атмосферу: давление на поверхности этой планеты вшестеро превышает критическое (для углекислого газа при температуре 464°C).
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сначала понять, при каких условиях такое возможно. Вот рисунок, демонстрирующий распространение в атмосфере световых лучей, первоначально направленных строго горизонтально. Того, что луч искривлён, пугаться не сто́ит, поскольку волновой фронт, распостраняясь в среде с плавно изменяющимся показателем преломления, поворачивает, а значит, поворачивает и перпендикуляр к нему, который мы и называем направлением луча. Синие линии показывают, как распространяются лучи в атмосфере типа земной. Они немного отклоняются вниз, но всё-таки уходят в космос, оставляя краешек Земли ниже. Поэтому заглянуть за него не получится.
Красным показано распространение лучей на планете Саракш. На ней, если смотреть строго горизонтально, будет видна поверхность планеты. Если же понемногу поднимать глаза выше, то будут видны все более и более удалённые местности. Теоретически так можно увидеть даже самого себя сзади, когда луч опишет полную траекторию вокруг планеты (на практике, естественно, воздушные потоки на таком расстоянии «размоют» изображение и разглядеть свой затылок в деталях не получится). И лишь подняв глаза ещё выше, на достаточно большой угол, мы увидим горизонт - край между поверхностью планеты и небом (космосом). Если всё это живо представить, легко понять, что планета действительно будет казаться наблюдателю вогнутой - правда, относительно чётко можно будет видеть лишь местность на 20-30 км вокруг, изображение более удалённых предметов будет размываться с нелинейным возрастанием.
Каково же граничное условие для «саракшевости» атмосферы? Оно просто: луч, пущенный строго горизонтально, должен описать полный круг и вернуться в ту же точку. Или, переходя к волновой терминологии, волновой фронт должен огибать планету так, чтобы повернуться на 360° к моменту возвражения в исходную точку.
Пустим два луча, с небольшим расстоянием по вертикали Δh. Когда они пройдут некоторое небольшое расстояние (на рисунке это обозначено стрелочками), положение волнового фронта можно определить, проведя прямую через концы стрелочек. Поскольку тот луч, который пущен ниже, распространяется через более плотную атмосферу, он идёт медленнее, а значит, волновой фронт поворачивается. И если он поворачивается так, чтобы каждый раз проходить через центр планеты, мы получим нужную нам картину - к моменту возврата волновой фронт повернётся на полный круг. А это значит, что оба луча, верхний и нижний будут идти строго одинаковое время!
Пытливый читатель может найти тут аналогию с вычислением первой космической скорости - там тоже тело, брошенное с нужной скоростью, летит по замкнутому кругу, прилетая в то же место, из которого его бросили. Но аналогия тут не очень хорошая, поскольку свет искривляется не из-за гравитации - для такого сильного искривления луча света в вакууме нужна не планета, а как минимум нейтронная звезда.
Для написания полного уравнения нам не хватает знания того, как зависит скорость распространения света от высоты. Скорость распространения света в среде вычисляется через показатель преломления:
У достаточно разреженных газов n в первом приближении линейно зависит от концентрации, которую легко выразить через уравнение состояния идеального газа:
Коэффициент пропорциональности α легко вычислить, зная, что при T = 273,15 K и p = 101372 Па n = 1,0002926, отсюда α≈7,88×10-7
Для простоты предположим, что нижний луч идёт впритирочку по поверхности планеты. Время, за которое нижний луч света опишет окружность вокруг планеты, равно:
Время, затраченное верхним лучом, равно:
Так как t0 = t1, имеем:
Раскрываем скобки справа и отбрасываем произведение малых членов друг на друга:
Чтобы решить это уравнение, нужно знать, как зависит p и T от высоты. Если принять, что температура от высоты не зависит, то давление меняется по формуле:
Однако это только первое приближение, атмосфера сохраняет свою устойчивость и при более выраженном, адиабатическом градиенте:
где γ - показатель адиабаты и для воздуха равен 1,4 (в метеорологии чаще используют другую, более точную адиабатическую модель, с линейным падением температуры, но для нас это неважно).
На практике справедливо нечто среднее, и можно записать:
:
где β - некая постоянная в диапазоне от 1 до 1,4, для стандартной атмосферы её принимают равной примерно 1,24.
Поскольку
, можно экспоненту аппроксимировать линейной функцией и записать:
Отсюда:
Аппроксимируя частное, имеем:
Подставляем в уравнение:
Осталось решить, какую именно переменную мы хотим вычислить из этого уравнения. Пусть радиус и гравитация Саракша равны земным, температуру тоже возьмём стандартную (+15°C). Тогда искомой переменной будет являться давление. Вычислим его.
= 574кПа = 5,65 атмосферы.
Но это мы вычислили граничное давление, при котором поверхность планеты визуально будет казаться плоской. Чтобы она казалась вогнутой, давление нужно чуть увеличить, скажем, до 6 атмосфер.
Да, такая атмосфера существенно плотнее земной. Но вполне пригодна для жизни, примерно при таком давлении часами работают без видимого вреда для себя аквалангисты на глубине около 50 метров (правда, при таком давлении при длительной работе рекомендуется использовать так называемую донную смесь, содержащую 15% кислорода, будем считать, что на Саракше его содержится именно столько). Так что жизнь на Саракше есть.
Интересно, что на Саракше гораздо выгоднее, чем на Земле, использовать аэростаты и дирижабли - при той же подъёмной силе они имели бы там вшестеро меньший объём. Дозвуковая авиация тоже имела бы фору (вшестеро меньшая площадь крыла при той же подъёмной силе), а вот со сверхзвуком были бы проблемы, впрочем, решаемые использованием очень высоких эшелонов (порядка 25-30 км). Кстати, на таких высотах «саракш-эффект» исчезает и поверхность планеты начинает выглядеть выпуклой.
Любопытно рассмотреть модель Саракша, имеющего гравитацию, на 20% бо́льшую земной (к чему легко привыкнуть), и плотность, равную 0,6 земной (это примерно плотность Луны). Искомое давление воздуха на такой планете было бы всего лишь в 2,4 раза больше земного, что соответствует глубине 14 метров, безопасной при длительном пребывании даже для нетренированного человека.
Между прочим, «саракш-эффект» должен наблюдаться на Венере, имеющей очень плотную атмосферу: давление на поверхности этой планеты вшестеро превышает критическое (для углекислого газа при температуре 464°C).