«Какая математика нужна информатикам?», ч.1
Попалась в руки интересная статья по преподаванию у нас информатики (помянули и индусов), математики, логики и развитию критического мышления. Материал, быть может, спорный, но в любом случае интересный.
Какая математика нужна информатикам?
Николай Николаевич Непейвода, доктор физико-математических наук, профессор
Первый вариант статьи был написан в 1996 г. как один из элементов отчета по теме, выполнявшейся по гранту программы «Университеты России», и послан в НГУ на конференцию по методике преподавания. В результате сопротивления еретическим идеям она была опубликована лишь в электронной форме. Здесь представлен трижды пересмотренный ее вариант. Первый пересмотр осуществлен после работы автора на ФИТ НГУ. Второй - после возобновления работ в УдГУ и подведения первых итогов эксперимента ФИТ НГУ, выхода монографии [10], учебника [11] и сдачи в печать задачника [12], сбора отзывов выпускников, обучавшихся по экспериментальным программам. Третий - после представления доклада на конференции «Преподавание информатики 2005» и его обсуждения.
1. Общие предпосылки
В последнее время становится ясно, что Россия неконкурентоспособна с Индией и Китаем на уровне кодирования и простого программирования. Неизбежные издержки, связанные с более высокой стоимостью рабочей силы и более высоким объективным уровнем затрат на поддержание жизненного уровня, приводят к тому, что даже некоторые российские фирмы привлекают индийских кодеров. Поэтому необходимо занимать свою нишу на уровне brainware, что вызывает необходимость подготовки аналитиков и постановщиков задач. Таких специалистов в принципе можно готовить на базе исключительно высокоуровневого гуманитарного курса (например, философии либо лингвистики), либо на базе математики. Ввиду отсутствия критической массы высококвалифицированных кадров в гуманитарных областях в России остается лишь один выход: готовить информатиков на базе математики.
Собственно с педагогической точки зрения при подготовке информатиков необходимо принимать во внимание следующее проблемное противоречие:
Тот, кто начал на 1 курсе изучать новейшие системы, выходит с 5-го, зная морально устаревшие.
В условиях дефицита населения невозможно относиться к человеческим ресурсам как к чему-то неисчерпаемому. Традиционная российская система подготовки кадров высшей квалификации заранее отметает 80% отнюдь не худших студентов как отходы производства. Особенно ярко это проявляется в системе МГУ, НГУ и МФТИ.
Недопустимо в погоне за формальным приближением к мировому уровню терять свои достоинства, их нужно развивать и смиряться с тем, что любое достоинство имеет неразрывно связанные с ним недостатки. Нужно не пытаться копировать методы подготовки Америки либо Европы, а смело брать оттуда все лучшее. Словом, как перенимать чужое, надо учиться у японцев, а не у наших реформаторов.
Математика, сохраняя единство, все больше делится на две громадных области с разным аппаратом и ценностями: численную и нечисленную. Нечисленная математика дает как раз тот «поворот мозгов», который требуется для успешной работы на средних и высших должностях в IT-производстве. Она великолепно поддерживает нынешние технологии индустриального программирования, что дает возможность всем успешно закончившим стать квалифицированными и востребованными специалистами. Отходы с 80%снижаются до приемлемого уровня 20%.
Тот учебный план в области прикладной математики и информатики (остальные еще хуже), который ныне спущен сверху, составлен специалистами, в принципе понимающими данную проблему. Но они не могут преодолеть идолопоклонничество большинства Ученого Совета и отказаться от анализоцентризма, в итоге недостаточное количество нечисленных курсов оказалось механически добавлено к численным, а весь план получился перегруженным и практически неисполнимым (а даже если его исполнить, все равно ни к чему хорошему это не приведет ввиду отсутствия общей концепции). В критической ситуации не бывает легких решений. Стремясь что-то получить, нужно от чего-то отказаться.
2. Общие педагогические принципы
Как известно, Я. А. Коменский в качестве базового педагогического принципа выдвинул требование, чтобы преподаватель излагал лишь истины, дабы не вводить учащихся в заблуждение. Убеждение, что истина доступна человеку, а не Богу, является одним из проявлений человеческой самонадеянности. Оно поддерживается как многими религиозными проповедниками, так и адептами исповедуемой большинством нынешнего научного сообщества квазирелигии - «религии прогресса». В школе требование Коменского привело к развитию авторитарного стиля преподавания, при котором учитель уверен, что он излагает истины, а учащиеся привыкают без сомнений заглатывать ту информацию, которая им преподносится. Это губительно действует на задатки критического мышления учащихся и в вуз они приходят со сформировавшимися традициями рутинного мышления и ученической в худшем смысле этого слова работы. В результате студенты приходят на первый курс вуза со следующими отрицательными навыками, закрепившимися в ходе школьного обучения.
Развитие логики XX века поставило научное сообщество перед несостоятельностью мифа об абсолютности научной истины и эвфемизмов о том, что научное знание является приближением к истине. Выяснилось, что даже в математике исходные понятия гораздо более относительны, чем это можно было ожидать, когда формировалось мировоззрение науки. Таким образом, упомянутое пожелание Коменского является невыполнимым, и в таком качестве неизбежно превращается в благоглупость. Но призрак абсолютной истины по-прежнему бродит в методиках преподавания. Кажется аморальным учить студентов тому, недостатки чего ты знаешь. А разве не более аморально учить тому, недостатки чего тебе неизвестны (зачастую эта неизвестность - результат сознательного нежелания знать, уклонения от неудобных знаний)?
Принцип 1. Бесспорное бесполезно. Любое научное знание односторонне, оно является результатом самоограничения. И лучше, если это самоограничение будет сознательным и будут осознаваться, а не отвергаться с порога, возможные альтернативы.
Нужно стараться открывать дыры и недостатки даже в самых устоявшихся областях знания, показывать возможные альтернативы, и это зачастую позволяет ярче обосновать преимущества того подхода, который сегодня наиболее распространен, в большинстве встречающихся в нынешней практике ситуаций. Это психологически подготавливает учащихся к возможной смене парадигмы, а наиболее дерзких из них поощряет к критическим исследованиям в альтернативных областях, которые иначе остались бы вотчиной самодовольных невежд.
Соответственно, отказавшись от монополии на истину, преподаватель вынужден отказаться и от монополии на путь к ней. Известно, что каждый человек незаменим. Он идет к знанию своим собственным путем. Таким образом:
Принцип 2. В идеале учитель должен помочь ученику выбрать наиболее подходящий для него путь.
Автор понимает, что это требует от преподавателя глубокого понимания сущности предмета и высокой общей культуры, но по крайней мере даже средний преподаватель в соответствующей атмосфере приучается терпимее относиться к нарушениям формы и не подавлять оригинальность мышления.
Теперь рассмотрим известную оппозицию: творческое и рутинное мышление. Одно из их важнейших различий - отношение к ошибкам. Творчески мыслящий человек рассматривает ошибку как закономерный этап на пути к решению задачи, а рутинно мыслящий - как грех. Творческий стремится превратить выявленную и понятую им ошибку в элемент решения (хотя бы использовав ее для того, чтобы сделать наоборот), а рутинно мыслящий стремится не признавать ошибки до последнего момента, и когда вынужден признать ее, пытается отбросить все сделанное и начать сначала. Итак:
Принцип 3. Ошибка является неизбежным шагом на пути к решению трудной задачи. Задача преподавателя - научить студентов здравому отношению к ошибкам и научить их превращать ошибочные попытки в правильное решение.
Далее, развитие критического мышления требует научить критическому отношению и к словам педагога. Поэтому иногда на занятиях стоит допускать намеренные ошибки либо недостаточно обоснованные утверждения, и поощрять тех, кто это заметит. Соответственно, группа, пропустившая такое место, заслуживает некоторой моральной взбучки, и здесь не стоит жалеть розгу. Необходимо ставить также ловушки другого рода: маскировать под ошибки или необоснованные выводы нетривиальные следствия из изучаемого материала и приводить к противоречию попытки их опровергнуть. Тот, кто возражает, должен быть готов и к тому, чтобы отстаивать свои возражения, и к отступлению, если они будут признаны неправильными (в первую очередь, им самим). Иногда психологически необходимо реагировать на правильные ответы как на неправильные, требуя дополнительных объяснений либо всячески вселяя в учащихся сомнение, поскольку они должны учиться отстаивать то, в чем уверены. Недостаточно обоснованный ответ не является решением с точки зрения математика. И, наконец, еще один вид ловушки: хвалить неверное решение с тем, чтобы стимулировать у учащихся самопроверку, а не ожидание оценки от преподавателя. Поэтому
Принцип 4. Вырабатывая здравое отношение к ошибкам, не стесняйтесь показывать это на своем примере. Допустимы даже некоторые провокационные приемы, чтобы разрушить стереотип безошибочного продвижения к истине и выработать навыки ответственного критического подхода.
Скорость работы и понимания у разных студентов разная. Поэтому при ориентации на средних остаются недогруженными сильнейшие, а за бортом те, кто в силу большей глубины и основательности в дальнейшем мог бы быть как минимум не хуже. Как известно, быстрота понимания не означает его глубину (хотя и не противоречит ей.) Поэтому необходимо в большинстве случаев поощрять коллективную работу студентов, вырабатывая навыки неформальной дисциплины и взаимного общения, не мешающего работе других. Если ты не понял - сначала спроси товарища, а уже затем обращайтесь к преподавателю. Если товарищ понял быстрее, ему будет полезно объяснить тебе, если он только думал, что понимает, он выявит свою дыру и вместе учащиеся смогут задать более глубокий и точный вопрос.
Принцип 5. Поощряйте коллективную работу в маленьких группах и взаимообмен идеями и решениями по инициативе учащихся.
Возможно, что этот принцип связан еще и с особенностями психологии русских учащихся. В русских учебных заведениях никогда не было ни американского духа глубокого индивидуализма и безжалостной конкуренции между учащимися, ни английской щепетильности в вопросах чести. Так что подсказки и списывание неискоренимы, и лучше уж их легализовать и обратить на пользу обучению.
Одна из основных бед школярского подхода - преувеличенное внимание к оформлению работ. При этом упор делается на соответствие некоторым произвольно заданным внешним стандартам и на внешнюю красоту. Такая фетишизация внешних форм приводит многих способных учащихся к негативистской реакции в виде полного пренебрежения оформлением. (Интересна обратная связь данного недостатка с мышлением школьных учителей. В школах повышенного типа безобразный стиль оформления зачастую считается атрибутом творческих, способных учащихся. Хорошее оформление и доведение до конца работ тогда приводит к тому, что преподаватели рассматривают способного ученика как субъекта средних способностей, берущего в основном старательностью и усидчивостью.) В творческой работе оформление является способом отлить содержание в соответствующую ему форму. Оформление плохо, если оно мешает понять основные мысли. Гармония идей и оформления не всегда достижима в работе одного человека: некоторые лучше генерируют идеи, другие - их обосновывают, третьи - популяризируют. Здесь тоже выступает роль коллективной работы.
Принцип 6. Поощряйте хорошее оформление хороших идей. Наказывайте их безобразное оформление либо красивую упаковку на пустышке.
3. Проблема выбора базисного курса
В настоящее время происходит переоценка относительной роли различных математических курсов в образовании. В частности, это касается и курса логики, традиционно относящегося для естественных и лингвистических специальностей к математическому циклу. Стоит вспомнить, что по классификации Британской энциклопедии логика относится к отраслям знания первого уровня, в отличие от математики, являющейся подразделом естественных наук. В Удмуртском университете (УдГУ) на практике преподавания проверен ряд подходов к самому курсу логики и к его месту в системе образования на специальностях математика, прикладная математика и информационные системы.
Изменение подходов к логике оказало влияние и на другие математические курсы, и на общую ориентацию студентов. В дальнейшем это получило отражение в учебных планах групп повышенного уровня, с 1990 г. регулярно набираемых в УдГУ, в учебном плане специальности «Информационные системы». Математический анализ и связанный с ним цикл дисциплин перестал играть роль станового хребта математического образования. На его место уверенно встал логический цикл.
Известно, что хорошая организация обучения требует выделения главного курса, задающего тон, язык и систему ценностей. В математике главной дисциплиной долгое время считалась геометрия, затем она уступила место анализу, а во второй половине XX века в ряде университетов Запада - алгебре (в отдельных - современной геометрии, базирующейся на алгебре и топологии.)
Логика, ставшая в XIX веке в значительной степени математической дисциплиной, накопила громадный потенциал идей, методов и результатов, и задает тон в математическом языке нынешнего времени. Кроме того, логика, к счастью, не утеряла роль одной из ведущих гуманитарных дисциплин, математические методы естественно вписались в систему неформальных и полуформальных методов традиционной логики, и поэтому логика - одно из тех мест, где можно навести мосты между математикой и ее приложениями, прежде всего, нетрадиционными, не охватываемыми аппаратом математического анализа. Но и с традиционными приложениями логика работает не хуже, чем аналитические дисциплины, прежде всего ввиду большей концептуальной мощности ее идей и более глубокого анализа моделей. Поэтому логический цикл в настоящее время подготовлен к тому, чтобы играть роль ведущего.
В целом необходимо подчеркнуть, что выбор одного из четырех возможных базисных курсов диктуется квалификацией преподавательского состава и традициями данного университета, и недопустимо фиксировать его в жестком учебном плане, спускаемом сверху на основе опыта случайной кафедры случайного университета.
Хотя недопустимо делать выводы о том, какая из основ лучше, необходимо сравнивать подходы к преподаванию математики, базирующиеся на разных фундаментах. Разные базисные курсы благоприятствуют различным типам мышления и определяют типы математических моделей, выбираемых в дальнейшем выпускниками. Так, аналитический цикл отрабатывает навыки манипулирования стандартными преобразованиями, символьными вычислениями и стандартными блоками рассуждений. Геометрический цикл всегда базировался прежде всего на соединении образного и точного мышления. Алгебраический - на выделении абстрактных структур и их взаимных представлений. Оказывается, что логический цикл при соответствующем преподавании развивает творческое мышление (здесь и ниже творческое и рутинное мышление - не оценочные слова, а термины современной психологии и науки о творчестве, см., напр., [2]), навыки понимания и критического анализа. Таким образом, он приближает математику к гуманитарным наукам.
Покажем проверенные на многолетнем опыте особенности построения математики на базе курса логики как ведущего.
4. Предварительный курс логики: язык математики
Курс «Язык математики» появился в программе УдГУ в конце 70-х гг., когда была достигнута договоренность о том, чтобы выделить некоторые базисные логические понятия, необходимые для всех математических курсов, в единый курс, и, кроме того, использовать часть часов т.н. «Введения в специальность» для настоящего введения в специальность.
Известно, что одним из базисных умений математика, особенно прикладника, является владение навыками перевода с естественного языка на формализованный и обратно. Традиционно это умение остается за рамками всех математических курсов, считается, что учащийся и так может прочитать сложную формулу, а записывать условия задач в виде формул он научится, подражая действиям преподавателя. Конечно же, такое предположение не обосновано и может рассматриваться как грубая ошибка, одновременно методологическая, психологическая и методическая. Курс, посвященный математическому языку и методам перевода, оказался тем решающим звеном, которое обеспечило высокий престиж логического цикла и его влияние на математику и информатику.
Перед изучением языка логики предикатов рассматривается общая структура высказываний с точки зрения современной логики. Выделяются элементарные высказывания и конструкции, строящие из элементарных более сложные высказывания: логические связки, кванторы, модальности. Уже здесь говорится о возможных мирах, поскольку понимание выражений типа
Иван-царевич женился на царевне-лягушке
требует перехода к тому миру, где действуют данные персонажи.
Вводится важное понятие квазивысказывания. Это утверждение, имеющее внешнюю форму высказываний, но не поддающееся проверке на истинность объективными средствами, например, «Саша любит Машу». Тем не менее с такими выражениями часто обращаются по тем же правилам, что и с высказываниями. Они тесно связаны с высказываниями через аппарат модальностей. Например, два утверждения
Волга впадает в Каспийское море
Сталин утверждал, что Троцкий ненавидел СССР
- высказывания, а следующие два
Ваня уверен, что Волга впадает в Каспийское море
Троцкий ненавидел СССР
- уже квазивысказывания.
Обучению методам перевода мешает традиция начинать изложение логического языка с логики высказываний. Таблицы истинности половина первокурсников проходили самостоятельно либо в школе. Остальные овладевают ими, как показывает опыт, за один академический час. Поэтому стоит начинать прямо с языка логики предикатов. Высказывание A→B практически всегда является либо сокращенным выражением предикатной формулы ∀x(A(x)→B(x)), либо ее подстановочным частным случаем A(t)→B(t). Даже таблица истинности для импликации легче всего объясняется на частных случаях общего выражения, подобного
Если x делится на 6, то x делится на 3
В логике предикатов обращается внимание, что перевод между формальным и естественным языком производится блоками, минимальными из которых являются аристотелевы комбинации
Все A есть B∀x(A(x)→B(x))
Некоторые A есть B∃x(A(x) & B(x))
При переводе на формальный язык обращается внимание не только на формальную правильность высказываний, но и на поиск достаточно выразительной формулировки. Форма в идеале должна хотя бы намекать на те аспекты содержания, которые невыразимы в классической логике (в частности, на модальности) и тем самым облегчать обратный перевод на содержательный язык.
Не поощряется стремление учащихся выносить все кванторы вперед, поскольку эта техника принадлежит лишь классической логике и даже в ней провоцирует ошибки при комбинации ограниченных кванторов. Скажем, для утверждения «Все парни любят девушек» неверны оба перевода
∀x ∃y ((П(x) & Д(y) → Л(x,y))
∀x ∃y ((П(x) & Д(y) & Л(x,y))
Поэтому в большинстве случаев поощряется т. н. водворенная форма, где каждый квантор охватывает минимальную подформулу.
Для многих студентов является открытием, что сложное выражение стоит чаще всего писать либо снаружи внутрь, либо изнутри наружу, но не от начала к концу, и на это стоит обязательно обратить внимание.
Утверждения, одинаковые по синтаксической форме, часто должны переводиться по-разному ввиду того, что подразумевается в их контексте. Например, четыре утверждения
Все члены Политбюро, избранного на XIV съезде ВКП(б), ненавидели друг друга
Все доисторические ящеры пожирали друг друга
Все ханы воевали друг с другом
Все известные философы критиковали друг друга
переводятся, соответственно,
∀x ∀y (ЧП(x) & ЧП(y) & x≠y → Н(x,y) & Н(y,x))
∀x (ДЯ(x)→∃y (ДЯ(y) & (П(x,y) v П(y,x))))
∀x (Хан(x)→∃y (Хан(y) & В(x,y) & В(y,x)))
∀x (ИФ(x)→∃y (ИФ(y) & К(x,y)) & ∃y ИФ(y) & К(y,x)))
Все это позволяет обосновать неалгоритмизируемость задач формализации и деформализации, и показать, что именно в данном месте человек играет главную роль. Утверждение про ящеров позволяет выявить еще одну тонкость. Хочется перевести его как
∀x (ДЯ(x)→∃y (ДЯ(y) & (П(x,y) * П(y,x))))
где * обозначает исключающее или. В самом деле, только у Чуковского «Волки от испуга скушали друг друга». Но формулировка отрицания обоих вариантов позволяет сделать выбор в пользу первого: его отрицание столь же естественно, как и его формулировка. Это позволяет обратить внимание на еще один принцип хорошей формализации:
Не говори лишнего без необходимости.
Если утверждения уже стали истинными в естественной модели, поработайте с ними, а новые добавляйте, лишь если в них выявилась необходимость.
Все это предоставляет возможность проиллюстрировать основные принципы математической формализации, ее достоинства и недостатки и начать подготовку студентов к деятельности аналитика и постановщика задач.
В курс языка математики включаются и базовые математические понятия. Они также используются как для иллюстрации мощи и ограниченности формальных методов, так и для подчеркивания нестандартных ходов. В частности, аппарат диаграмм Венна [7,9] используются для разрушения стереотипа, что чертеж не может быть доказательством, и одновременно для анализа самого понятия доказательства. На их примере обосновывается содержательное определение доказательства с точки зрения прикладной математики и информатики:
Доказательство - конструкция, синтаксическая правильность которой гарантирует семантическую.
Множества используются, чтобы обратить внимание на взаимосвязь между математическими формулировками и представлением данных. После выяснения трудностей, связанных с представлением данных как множеств, естественен переход к мультимножествам (наборам) и кортежам. Обращается внимание, что классическое определение функции полностью опускает одно из центральных мест содержательного: способ преобразования аргумента в результат. Это является мостиком к теории алгоритмов, теории категорий и конструктивной логике. На понятии прямого произведения множеств показывается еще одна неадекватность теоретико-множественных конструкций и вводится на примерах язык коммутативных диаграмм.
Таким образом, вводный логический курс закладывает основу единого видения различных концепций математики и информатики и критического подхода к ним. Можно считать, что материал данного курса уже устоялся, оброс адекватной системой упражнений для отработки необходимых навыков.
Окончание статьи в следующей записи.
Какая математика нужна информатикам?
Николай Николаевич Непейвода, доктор физико-математических наук, профессор
Первый вариант статьи был написан в 1996 г. как один из элементов отчета по теме, выполнявшейся по гранту программы «Университеты России», и послан в НГУ на конференцию по методике преподавания. В результате сопротивления еретическим идеям она была опубликована лишь в электронной форме. Здесь представлен трижды пересмотренный ее вариант. Первый пересмотр осуществлен после работы автора на ФИТ НГУ. Второй - после возобновления работ в УдГУ и подведения первых итогов эксперимента ФИТ НГУ, выхода монографии [10], учебника [11] и сдачи в печать задачника [12], сбора отзывов выпускников, обучавшихся по экспериментальным программам. Третий - после представления доклада на конференции «Преподавание информатики 2005» и его обсуждения.
1. Общие предпосылки
В последнее время становится ясно, что Россия неконкурентоспособна с Индией и Китаем на уровне кодирования и простого программирования. Неизбежные издержки, связанные с более высокой стоимостью рабочей силы и более высоким объективным уровнем затрат на поддержание жизненного уровня, приводят к тому, что даже некоторые российские фирмы привлекают индийских кодеров. Поэтому необходимо занимать свою нишу на уровне brainware, что вызывает необходимость подготовки аналитиков и постановщиков задач. Таких специалистов в принципе можно готовить на базе исключительно высокоуровневого гуманитарного курса (например, философии либо лингвистики), либо на базе математики. Ввиду отсутствия критической массы высококвалифицированных кадров в гуманитарных областях в России остается лишь один выход: готовить информатиков на базе математики.
Собственно с педагогической точки зрения при подготовке информатиков необходимо принимать во внимание следующее проблемное противоречие:
Тот, кто начал на 1 курсе изучать новейшие системы, выходит с 5-го, зная морально устаревшие.
В условиях дефицита населения невозможно относиться к человеческим ресурсам как к чему-то неисчерпаемому. Традиционная российская система подготовки кадров высшей квалификации заранее отметает 80% отнюдь не худших студентов как отходы производства. Особенно ярко это проявляется в системе МГУ, НГУ и МФТИ.
Недопустимо в погоне за формальным приближением к мировому уровню терять свои достоинства, их нужно развивать и смиряться с тем, что любое достоинство имеет неразрывно связанные с ним недостатки. Нужно не пытаться копировать методы подготовки Америки либо Европы, а смело брать оттуда все лучшее. Словом, как перенимать чужое, надо учиться у японцев, а не у наших реформаторов.
Математика, сохраняя единство, все больше делится на две громадных области с разным аппаратом и ценностями: численную и нечисленную. Нечисленная математика дает как раз тот «поворот мозгов», который требуется для успешной работы на средних и высших должностях в IT-производстве. Она великолепно поддерживает нынешние технологии индустриального программирования, что дает возможность всем успешно закончившим стать квалифицированными и востребованными специалистами. Отходы с 80%снижаются до приемлемого уровня 20%.
Тот учебный план в области прикладной математики и информатики (остальные еще хуже), который ныне спущен сверху, составлен специалистами, в принципе понимающими данную проблему. Но они не могут преодолеть идолопоклонничество большинства Ученого Совета и отказаться от анализоцентризма, в итоге недостаточное количество нечисленных курсов оказалось механически добавлено к численным, а весь план получился перегруженным и практически неисполнимым (а даже если его исполнить, все равно ни к чему хорошему это не приведет ввиду отсутствия общей концепции). В критической ситуации не бывает легких решений. Стремясь что-то получить, нужно от чего-то отказаться.
2. Общие педагогические принципы
Как известно, Я. А. Коменский в качестве базового педагогического принципа выдвинул требование, чтобы преподаватель излагал лишь истины, дабы не вводить учащихся в заблуждение. Убеждение, что истина доступна человеку, а не Богу, является одним из проявлений человеческой самонадеянности. Оно поддерживается как многими религиозными проповедниками, так и адептами исповедуемой большинством нынешнего научного сообщества квазирелигии - «религии прогресса». В школе требование Коменского привело к развитию авторитарного стиля преподавания, при котором учитель уверен, что он излагает истины, а учащиеся привыкают без сомнений заглатывать ту информацию, которая им преподносится. Это губительно действует на задатки критического мышления учащихся и в вуз они приходят со сформировавшимися традициями рутинного мышления и ученической в худшем смысле этого слова работы. В результате студенты приходят на первый курс вуза со следующими отрицательными навыками, закрепившимися в ходе школьного обучения.
- Они панически боятся ошибок, поскольку даже исправленная ошибка приводит к снижению оценки за работу.
- Они привыкли к тому, что в первую очередь оценивается полученный ответ и оформление работы, а не ее содержание. Оригинальное решение задачи, сопровождающееся технической либо арифметической ошибкой и заканчивающееся неправильным ответом, как правило, оценивается двойкой. Так же оценивается и оригинальное решение, не соответствующее единственным канонам оформления, которые способен понять учитель. (Пример школярства дал и журнал «Открытые системы», заказавший данную статью. Открытая система ТеХ, в которой был подготовлен текст, им незнакома, и автора заставили переписать его в недокументированную закрытую систему Word.)
- Они привыкли воспринимать слова учителя как нечто не подлежащее сомнению (по крайней мере, выраженному явно). Как известно, попытка указать учителю даже на его явную ошибку обычно жестоко карается.
- Они привыкли к тому, что их решения оцениваются извне, учителем либо сравнением с ответом в конце задачника. Навыки самопроверки почти отсутствуют.
- Они привыкли рассматривать учителя и учебники как единственные источники знаний и теряются при необходимости что-то изучить самостоятельно. Более того, часто самостоятельно полученные неканонические знания наказываются учителем и общественным мнением класса.
- Они почти моментально перестают работать, как только один из них вызывается к доске для показа решения.
- Они привыкли к формальной дисциплине на занятиях и к тому, что спросить нечто у соседа (даже тихо и с целью лучше понять) является криминалом, а тупо сидеть, думая по себя: «Все равно ничего не понимаю» - нет.
- Они практически не могут задавать вопросы и осознанно формулировать, что же не понято. Более того, сознаться в непонимании зачастую считается позором.
Развитие логики XX века поставило научное сообщество перед несостоятельностью мифа об абсолютности научной истины и эвфемизмов о том, что научное знание является приближением к истине. Выяснилось, что даже в математике исходные понятия гораздо более относительны, чем это можно было ожидать, когда формировалось мировоззрение науки. Таким образом, упомянутое пожелание Коменского является невыполнимым, и в таком качестве неизбежно превращается в благоглупость. Но призрак абсолютной истины по-прежнему бродит в методиках преподавания. Кажется аморальным учить студентов тому, недостатки чего ты знаешь. А разве не более аморально учить тому, недостатки чего тебе неизвестны (зачастую эта неизвестность - результат сознательного нежелания знать, уклонения от неудобных знаний)?
Принцип 1. Бесспорное бесполезно. Любое научное знание односторонне, оно является результатом самоограничения. И лучше, если это самоограничение будет сознательным и будут осознаваться, а не отвергаться с порога, возможные альтернативы.
Нужно стараться открывать дыры и недостатки даже в самых устоявшихся областях знания, показывать возможные альтернативы, и это зачастую позволяет ярче обосновать преимущества того подхода, который сегодня наиболее распространен, в большинстве встречающихся в нынешней практике ситуаций. Это психологически подготавливает учащихся к возможной смене парадигмы, а наиболее дерзких из них поощряет к критическим исследованиям в альтернативных областях, которые иначе остались бы вотчиной самодовольных невежд.
Соответственно, отказавшись от монополии на истину, преподаватель вынужден отказаться и от монополии на путь к ней. Известно, что каждый человек незаменим. Он идет к знанию своим собственным путем. Таким образом:
Принцип 2. В идеале учитель должен помочь ученику выбрать наиболее подходящий для него путь.
Автор понимает, что это требует от преподавателя глубокого понимания сущности предмета и высокой общей культуры, но по крайней мере даже средний преподаватель в соответствующей атмосфере приучается терпимее относиться к нарушениям формы и не подавлять оригинальность мышления.
Теперь рассмотрим известную оппозицию: творческое и рутинное мышление. Одно из их важнейших различий - отношение к ошибкам. Творчески мыслящий человек рассматривает ошибку как закономерный этап на пути к решению задачи, а рутинно мыслящий - как грех. Творческий стремится превратить выявленную и понятую им ошибку в элемент решения (хотя бы использовав ее для того, чтобы сделать наоборот), а рутинно мыслящий стремится не признавать ошибки до последнего момента, и когда вынужден признать ее, пытается отбросить все сделанное и начать сначала. Итак:
Принцип 3. Ошибка является неизбежным шагом на пути к решению трудной задачи. Задача преподавателя - научить студентов здравому отношению к ошибкам и научить их превращать ошибочные попытки в правильное решение.
Далее, развитие критического мышления требует научить критическому отношению и к словам педагога. Поэтому иногда на занятиях стоит допускать намеренные ошибки либо недостаточно обоснованные утверждения, и поощрять тех, кто это заметит. Соответственно, группа, пропустившая такое место, заслуживает некоторой моральной взбучки, и здесь не стоит жалеть розгу. Необходимо ставить также ловушки другого рода: маскировать под ошибки или необоснованные выводы нетривиальные следствия из изучаемого материала и приводить к противоречию попытки их опровергнуть. Тот, кто возражает, должен быть готов и к тому, чтобы отстаивать свои возражения, и к отступлению, если они будут признаны неправильными (в первую очередь, им самим). Иногда психологически необходимо реагировать на правильные ответы как на неправильные, требуя дополнительных объяснений либо всячески вселяя в учащихся сомнение, поскольку они должны учиться отстаивать то, в чем уверены. Недостаточно обоснованный ответ не является решением с точки зрения математика. И, наконец, еще один вид ловушки: хвалить неверное решение с тем, чтобы стимулировать у учащихся самопроверку, а не ожидание оценки от преподавателя. Поэтому
Принцип 4. Вырабатывая здравое отношение к ошибкам, не стесняйтесь показывать это на своем примере. Допустимы даже некоторые провокационные приемы, чтобы разрушить стереотип безошибочного продвижения к истине и выработать навыки ответственного критического подхода.
Скорость работы и понимания у разных студентов разная. Поэтому при ориентации на средних остаются недогруженными сильнейшие, а за бортом те, кто в силу большей глубины и основательности в дальнейшем мог бы быть как минимум не хуже. Как известно, быстрота понимания не означает его глубину (хотя и не противоречит ей.) Поэтому необходимо в большинстве случаев поощрять коллективную работу студентов, вырабатывая навыки неформальной дисциплины и взаимного общения, не мешающего работе других. Если ты не понял - сначала спроси товарища, а уже затем обращайтесь к преподавателю. Если товарищ понял быстрее, ему будет полезно объяснить тебе, если он только думал, что понимает, он выявит свою дыру и вместе учащиеся смогут задать более глубокий и точный вопрос.
Принцип 5. Поощряйте коллективную работу в маленьких группах и взаимообмен идеями и решениями по инициативе учащихся.
Возможно, что этот принцип связан еще и с особенностями психологии русских учащихся. В русских учебных заведениях никогда не было ни американского духа глубокого индивидуализма и безжалостной конкуренции между учащимися, ни английской щепетильности в вопросах чести. Так что подсказки и списывание неискоренимы, и лучше уж их легализовать и обратить на пользу обучению.
Одна из основных бед школярского подхода - преувеличенное внимание к оформлению работ. При этом упор делается на соответствие некоторым произвольно заданным внешним стандартам и на внешнюю красоту. Такая фетишизация внешних форм приводит многих способных учащихся к негативистской реакции в виде полного пренебрежения оформлением. (Интересна обратная связь данного недостатка с мышлением школьных учителей. В школах повышенного типа безобразный стиль оформления зачастую считается атрибутом творческих, способных учащихся. Хорошее оформление и доведение до конца работ тогда приводит к тому, что преподаватели рассматривают способного ученика как субъекта средних способностей, берущего в основном старательностью и усидчивостью.) В творческой работе оформление является способом отлить содержание в соответствующую ему форму. Оформление плохо, если оно мешает понять основные мысли. Гармония идей и оформления не всегда достижима в работе одного человека: некоторые лучше генерируют идеи, другие - их обосновывают, третьи - популяризируют. Здесь тоже выступает роль коллективной работы.
Принцип 6. Поощряйте хорошее оформление хороших идей. Наказывайте их безобразное оформление либо красивую упаковку на пустышке.
3. Проблема выбора базисного курса
В настоящее время происходит переоценка относительной роли различных математических курсов в образовании. В частности, это касается и курса логики, традиционно относящегося для естественных и лингвистических специальностей к математическому циклу. Стоит вспомнить, что по классификации Британской энциклопедии логика относится к отраслям знания первого уровня, в отличие от математики, являющейся подразделом естественных наук. В Удмуртском университете (УдГУ) на практике преподавания проверен ряд подходов к самому курсу логики и к его месту в системе образования на специальностях математика, прикладная математика и информационные системы.
Изменение подходов к логике оказало влияние и на другие математические курсы, и на общую ориентацию студентов. В дальнейшем это получило отражение в учебных планах групп повышенного уровня, с 1990 г. регулярно набираемых в УдГУ, в учебном плане специальности «Информационные системы». Математический анализ и связанный с ним цикл дисциплин перестал играть роль станового хребта математического образования. На его место уверенно встал логический цикл.
Известно, что хорошая организация обучения требует выделения главного курса, задающего тон, язык и систему ценностей. В математике главной дисциплиной долгое время считалась геометрия, затем она уступила место анализу, а во второй половине XX века в ряде университетов Запада - алгебре (в отдельных - современной геометрии, базирующейся на алгебре и топологии.)
Логика, ставшая в XIX веке в значительной степени математической дисциплиной, накопила громадный потенциал идей, методов и результатов, и задает тон в математическом языке нынешнего времени. Кроме того, логика, к счастью, не утеряла роль одной из ведущих гуманитарных дисциплин, математические методы естественно вписались в систему неформальных и полуформальных методов традиционной логики, и поэтому логика - одно из тех мест, где можно навести мосты между математикой и ее приложениями, прежде всего, нетрадиционными, не охватываемыми аппаратом математического анализа. Но и с традиционными приложениями логика работает не хуже, чем аналитические дисциплины, прежде всего ввиду большей концептуальной мощности ее идей и более глубокого анализа моделей. Поэтому логический цикл в настоящее время подготовлен к тому, чтобы играть роль ведущего.
В целом необходимо подчеркнуть, что выбор одного из четырех возможных базисных курсов диктуется квалификацией преподавательского состава и традициями данного университета, и недопустимо фиксировать его в жестком учебном плане, спускаемом сверху на основе опыта случайной кафедры случайного университета.
Хотя недопустимо делать выводы о том, какая из основ лучше, необходимо сравнивать подходы к преподаванию математики, базирующиеся на разных фундаментах. Разные базисные курсы благоприятствуют различным типам мышления и определяют типы математических моделей, выбираемых в дальнейшем выпускниками. Так, аналитический цикл отрабатывает навыки манипулирования стандартными преобразованиями, символьными вычислениями и стандартными блоками рассуждений. Геометрический цикл всегда базировался прежде всего на соединении образного и точного мышления. Алгебраический - на выделении абстрактных структур и их взаимных представлений. Оказывается, что логический цикл при соответствующем преподавании развивает творческое мышление (здесь и ниже творческое и рутинное мышление - не оценочные слова, а термины современной психологии и науки о творчестве, см., напр., [2]), навыки понимания и критического анализа. Таким образом, он приближает математику к гуманитарным наукам.
Покажем проверенные на многолетнем опыте особенности построения математики на базе курса логики как ведущего.
4. Предварительный курс логики: язык математики
Курс «Язык математики» появился в программе УдГУ в конце 70-х гг., когда была достигнута договоренность о том, чтобы выделить некоторые базисные логические понятия, необходимые для всех математических курсов, в единый курс, и, кроме того, использовать часть часов т.н. «Введения в специальность» для настоящего введения в специальность.
Известно, что одним из базисных умений математика, особенно прикладника, является владение навыками перевода с естественного языка на формализованный и обратно. Традиционно это умение остается за рамками всех математических курсов, считается, что учащийся и так может прочитать сложную формулу, а записывать условия задач в виде формул он научится, подражая действиям преподавателя. Конечно же, такое предположение не обосновано и может рассматриваться как грубая ошибка, одновременно методологическая, психологическая и методическая. Курс, посвященный математическому языку и методам перевода, оказался тем решающим звеном, которое обеспечило высокий престиж логического цикла и его влияние на математику и информатику.
Перед изучением языка логики предикатов рассматривается общая структура высказываний с точки зрения современной логики. Выделяются элементарные высказывания и конструкции, строящие из элементарных более сложные высказывания: логические связки, кванторы, модальности. Уже здесь говорится о возможных мирах, поскольку понимание выражений типа
Иван-царевич женился на царевне-лягушке
требует перехода к тому миру, где действуют данные персонажи.
Вводится важное понятие квазивысказывания. Это утверждение, имеющее внешнюю форму высказываний, но не поддающееся проверке на истинность объективными средствами, например, «Саша любит Машу». Тем не менее с такими выражениями часто обращаются по тем же правилам, что и с высказываниями. Они тесно связаны с высказываниями через аппарат модальностей. Например, два утверждения
Волга впадает в Каспийское море
Сталин утверждал, что Троцкий ненавидел СССР
- высказывания, а следующие два
Ваня уверен, что Волга впадает в Каспийское море
Троцкий ненавидел СССР
- уже квазивысказывания.
Обучению методам перевода мешает традиция начинать изложение логического языка с логики высказываний. Таблицы истинности половина первокурсников проходили самостоятельно либо в школе. Остальные овладевают ими, как показывает опыт, за один академический час. Поэтому стоит начинать прямо с языка логики предикатов. Высказывание A→B практически всегда является либо сокращенным выражением предикатной формулы ∀x(A(x)→B(x)), либо ее подстановочным частным случаем A(t)→B(t). Даже таблица истинности для импликации легче всего объясняется на частных случаях общего выражения, подобного
Если x делится на 6, то x делится на 3
В логике предикатов обращается внимание, что перевод между формальным и естественным языком производится блоками, минимальными из которых являются аристотелевы комбинации
Все A есть B∀x(A(x)→B(x))
Некоторые A есть B∃x(A(x) & B(x))
При переводе на формальный язык обращается внимание не только на формальную правильность высказываний, но и на поиск достаточно выразительной формулировки. Форма в идеале должна хотя бы намекать на те аспекты содержания, которые невыразимы в классической логике (в частности, на модальности) и тем самым облегчать обратный перевод на содержательный язык.
Не поощряется стремление учащихся выносить все кванторы вперед, поскольку эта техника принадлежит лишь классической логике и даже в ней провоцирует ошибки при комбинации ограниченных кванторов. Скажем, для утверждения «Все парни любят девушек» неверны оба перевода
∀x ∃y ((П(x) & Д(y) → Л(x,y))
∀x ∃y ((П(x) & Д(y) & Л(x,y))
Поэтому в большинстве случаев поощряется т. н. водворенная форма, где каждый квантор охватывает минимальную подформулу.
Для многих студентов является открытием, что сложное выражение стоит чаще всего писать либо снаружи внутрь, либо изнутри наружу, но не от начала к концу, и на это стоит обязательно обратить внимание.
Утверждения, одинаковые по синтаксической форме, часто должны переводиться по-разному ввиду того, что подразумевается в их контексте. Например, четыре утверждения
Все члены Политбюро, избранного на XIV съезде ВКП(б), ненавидели друг друга
Все доисторические ящеры пожирали друг друга
Все ханы воевали друг с другом
Все известные философы критиковали друг друга
переводятся, соответственно,
∀x ∀y (ЧП(x) & ЧП(y) & x≠y → Н(x,y) & Н(y,x))
∀x (ДЯ(x)→∃y (ДЯ(y) & (П(x,y) v П(y,x))))
∀x (Хан(x)→∃y (Хан(y) & В(x,y) & В(y,x)))
∀x (ИФ(x)→∃y (ИФ(y) & К(x,y)) & ∃y ИФ(y) & К(y,x)))
Все это позволяет обосновать неалгоритмизируемость задач формализации и деформализации, и показать, что именно в данном месте человек играет главную роль. Утверждение про ящеров позволяет выявить еще одну тонкость. Хочется перевести его как
∀x (ДЯ(x)→∃y (ДЯ(y) & (П(x,y) * П(y,x))))
где * обозначает исключающее или. В самом деле, только у Чуковского «Волки от испуга скушали друг друга». Но формулировка отрицания обоих вариантов позволяет сделать выбор в пользу первого: его отрицание столь же естественно, как и его формулировка. Это позволяет обратить внимание на еще один принцип хорошей формализации:
Не говори лишнего без необходимости.
Если утверждения уже стали истинными в естественной модели, поработайте с ними, а новые добавляйте, лишь если в них выявилась необходимость.
Все это предоставляет возможность проиллюстрировать основные принципы математической формализации, ее достоинства и недостатки и начать подготовку студентов к деятельности аналитика и постановщика задач.
В курс языка математики включаются и базовые математические понятия. Они также используются как для иллюстрации мощи и ограниченности формальных методов, так и для подчеркивания нестандартных ходов. В частности, аппарат диаграмм Венна [7,9] используются для разрушения стереотипа, что чертеж не может быть доказательством, и одновременно для анализа самого понятия доказательства. На их примере обосновывается содержательное определение доказательства с точки зрения прикладной математики и информатики:
Доказательство - конструкция, синтаксическая правильность которой гарантирует семантическую.
Множества используются, чтобы обратить внимание на взаимосвязь между математическими формулировками и представлением данных. После выяснения трудностей, связанных с представлением данных как множеств, естественен переход к мультимножествам (наборам) и кортежам. Обращается внимание, что классическое определение функции полностью опускает одно из центральных мест содержательного: способ преобразования аргумента в результат. Это является мостиком к теории алгоритмов, теории категорий и конструктивной логике. На понятии прямого произведения множеств показывается еще одна неадекватность теоретико-множественных конструкций и вводится на примерах язык коммутативных диаграмм.
Таким образом, вводный логический курс закладывает основу единого видения различных концепций математики и информатики и критического подхода к ним. Можно считать, что материал данного курса уже устоялся, оброс адекватной системой упражнений для отработки необходимых навыков.
Окончание статьи в следующей записи.