Дырявые коники

[nzak]

Не секрет, что вещественные кривые второго порядка на вещественной проективной плоскости пересекаются в четном числе точек (с учетом кратностей). Однако если заменить вещественные на рациональные, то кажется, что препятствий к тому, чтобы они пересекались ровно по одной точке, нет. Вот сижу придумываю пример таких дырявых коник..

Comments

[misha2]

Ничего не понял. Под порядком кривой ты понимаешь степень? 2 коники пересекаются не более, чем в 4х точках.

[kostya_pr]

А меня скорее этот пост запутал...

[nzak]

это прикольно, расскажу при встрече за рюмочкой чего-нибудь ;-)

[misha2]

похоже, у меня глюки. Прочитал "счетном" вместо "четном".
Я думаю, что Q-точек отже должно быть четное число. Если нечетное, то только одна. В это случае остальые 3 точки пересечения над замыканием поля Q Галуа-сопряжены. Теперь пусть k - поле порожденное координатами этих 3х точек. Из предыдущего следует, что в группе Gal(k/Q) есть элемент порядка 3. Но Gal(k/Q) имеет порядок 1,2 или 4.

[anonymous]

x^2+2*y^2=1
(x+1)^2+(y+1)^2=1

В любом случае вопрос решился положительно :-)

[nzak]

Мы с Костей Шрамовым придумали вчера более хитрый пример:
y^2-x+x^2-2y+1.5xy-3
x^2-2y+xy-1
Там единственная точка пересечения с рациональными координатами это (0,-1).
А анонимус хочет сказать что у него только (-1,0).. В этом мы похожи :-)
В любом случае спасибо! Кстати, искать другие точки пересечения вроде сложнее чем придумывать пример.. Криптография какая-то.. Меняю свои точки пересечения на анонимные!
Кстати, аноним вы кто?

Re: В любом случае вопрос решился положительно :-)

[misha2]

там касания точно нет?

Аффтар

[_ljoha]

ето я. Случайно не залогинился

Re: Аффтар

[nzak]

ясно) че-то тебя давно на лыжах не видно..?

исправление

[nzak]

В нашем примере должно было быть так:
y^2-x+x^2-2y+1.5xy-3
x^2-2y+xy-2.