Парадокс

[olgayaroslavna]

Объясните мне, пожалуйста, в чем состоит парадокс двух конвертов.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_о_двух_конвертах

"Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают

Comments

[vgramagin]

Во-первых, называй ее правильно - петербургский парадокс :-)

Во-вторых, я не понимаю, чем тебя смущают два чека

X и Y выписывают арбитру A два чека (x и y) на имя противника, оставляя открытой сумму. A впиcывает (без ограничения общности) в x - $20, а в y - $40, и отдает обратно владельцу чека. После этого обоим предоставляется выбор - либо порвать чек, либо обменять на чек противника.

Матожидание выигрыша для X: (1/2*10 + 1/2*40)-$20 =$5
Матожидание выигрыша для Y: (1/2*20 + 1/2*80)-$40 =$10

[vgramagin]

А сумма игры, естественно, ноль

[olgayaroslavna]

Тем, что отдает владельцу чека. Если Х и Y не должны знать, с чьего счета был выписан полученный чек.

[vgramagin]

Почему не должны? Я владелец чека X, я знаю, что если я согласен на обмен, то я заплачу за это $20. В обмен на это я могу либо получить чек $10 (убыток в $10), либо чек на $40 (прибыль $20) с равной вероятностью. То есть моя цена игры - $20 при матожидании - $25. То же верно и для противника. Таким образом, для игры с нулевой суммой матожидание выигрыша для обоих игроков - положительное.

Собственно, потому он и парадокс.

[ave_pequena]

что-то я утеряла смысл на "то у меня в среднем будет"
казалось бы, весь смысл обмена в том, что вот как раз "среднего" у меня не будет никогда.
Вообще, как из наличия среднего может следовать повышение шансов на это среднее?
И почему оно не уже у меня в руках - если после любого количества обменов (включая 0) - оно остается прежним?

[vgramagin]

Потому, что это парадокс. Сумма матожиданий выигрышей игроков не равна цене игры с нулевой суммой.

[ave_pequena]

так в расчеты, которые в Вашем посте - вводится заведомая неправильность: не может быть и 10, и 20, и 40, и 80. "Парадоксальность" наступает ровно в этот момент, насколько я понимаю - когда незнание самих игроков, о том, что в конвертах, включается в формулу. А она (поправьте, если ошибаюсь) работает для известных исходов с известными вероятностями. Тут же исходы неизвестны. О них есть только частичное знание.
Парадокс происходит из-за решения размножить это частичное знание на два числа, лишь одно из которых имеет отношение к реальности.

[spamsink]

Ошибка в том, что при Я вижу в своём конверте сумму X. В чужом конверте равновероятно может находиться 2X или X/2. в игру вступают три значения, в то время как на самом деле их только два. Поэтому надо так:

Я вижу в своём конверте сумму X. Это может быть или меньшее значение из двух Y, или большее из двух 2Y. В другом конверте с той же вероятностью 2Y или Y соответственно. Средние равны, меняться нет смысла, но можно.

мне это не кажется объяснением парадокса

[efimpp]

это правильное решение вопроса, но опровергнуть утверждение: "В чужом конверте равновероятно может находиться 2X или X/2" все же следует.
что-то вроде такого, на мой взгляд: нам совершенно неизвестно пространство событий, поэтому утверждение о равновероятности 2X и X/ совершенно беспочвенно.

Re: мне это не кажется объяснением парадокса

[spamsink]

Это, конечно, так, но на это возразят, что бог с ней, с равной вероятностью, пусть получится не 1.25X, а хоть 1.000001X.

[tuda_i_obratno]

Я не математик ни разу, но мне пришла в голову мысль, как объяснить этот парадокс: появляется риск и он вознаграждается выгодой, хотя начальная сумма не меняется.

Да, мат. ожидание показывает, что меняться выгодно X<1.25X

[mtsyr]

ОБА участника остаются в выигрыше (большем или меньшем) и для обоих оптимальна стратегия обмена

но если так, то каждый из них может заранее сказать "я меняю", не глядя на сумму в конверте. То есть просто обменяться конвертами, пока они закрыты. Но очевидно, что это не имеет никакого смысла, так как приведет к исходной ситуации (конверты распределены случайным образом).

[efimpp]

в чем собсно парадокс и заключается

[efimpp]

рассмотрим такую игру
в 100 конвертах суммы от 1 до 100 (каждая по 1 разу)
двоим достались конверты с суммами 5 и 10 соответственно
они посмотрели на суммы и оба хотят меняться - матожидание выигрыша от обмена для каждого порядка 40

вряд ли это вызовет чье-то удивление

в чем же разница? в том, что в описанном в посте случае меняться вроде как нужно не глядя

но это заблуждение, потому, что вероятности того, что в другом конверте большая или меньшая сумма не могут быть равны независимо от суммы в твоем конверте. есть какое-то распределение вероятностей сумм и если его интеграл не расходится, то окажется, что полезность обмена очень даже зависит от суммы

не глядя же, можно только оценивать матожидание по всему распределению которое, естественно, равно нулю (какое бы _возможное_ распределения игрок не придумал!)
тот факт что мы ничего не знаем о распределении и у нас есть два события (будет больше или будет меньше) все же не позволяет говорить о их равновероятности