Когерентность алгебраических операций. Часть 1. Свободные магмы и магматические категории.
В данном и последующих постингах мы обсудим явление когерентности в моноидальных категориях. Теория категорий со (слабыми) бинарными операциями естественно приводит к теории магм, поэтому мы начнём с соответствующего исследования категории магм.
Определение 1. Магма M -- это пара (XM,⊗M), где XM -- множество и ⊗M:XM⨉XM→XM -- отображение. Обозначение: ⊗M(m1,m2)=m1⊗Mm2 (∀m1,m2∈XM).
Определение 2. Пусть M и N -- магмы. Гомоморфизм магм f:M→N -- это такое отображение f:XM→XN, что следующая диаграмма является коммутативной:
Предложение 1. Композиция гомоморфизмов магм является гомоморфизмом магм. Тождественное отображение является гомоморфизмом магм.
Доказательство предложения 1. Следует из леммы о расширении диаграммы.
Определение 3. Пусть U -- универсум. Обозначим через MagU категорию всех U-малых магм и гомоморфизмов между ними. Данная категория является U(1)-малой и локально U-малой (соответствующие определения даны в постинге [1]).
Определение 4. Пусть U -- универсум. Определим забывающий функтор категории магм UndU:MagU→SetU следующим образом: UndU(M)=XM, UndU(f)=f.
Определение 5. Пусть X - множество. Обозначим
(1)=
\{0}. Введём обозначение: X*=
(n∈
(1)) X⨉n. Обозначим через □:X*⨉X*→X* отображение конкатенации. Пара (X*,□) является полугруппой (см. определение 7 в постинге [2]), которую мы будем называть полугруппой Клини.
Определение 6. Пусть X -- множество и пусть ((открывающая скобка), )(закрывающая скобка), ,(запятая), ⊗(операция) -- некоторые достаточно хорошие (см. замечание 1) множества. Определим свободную магму F[X], порождённую множеством X, следующим образом. В качестве подстилающего множества F[X] возьмём наименьшее подмножество в ({(,),,,⊗}∪X)*, такое, что X⊂XF[X], и для любых t,s∈XF[X] выполнено (⊗,(,t,,,s,))∈XF[X]. Операция определяется очевидным образом.
Замечание 1. По очевидным соображениям множества (, ), ,, ⊗ необходимо выбирать различными и отличными от всех элементов множества X. Иногда необходимо выбрать их ещё и достаточно малыми. Такой выбор предполагается всегда возможным и в дальнейшем не будет специально оговариваться.
Операция взятия свободной магмы, очевидно, определяет функтор из категории множеств в категорию магм. Более того, этот функтор является левым сопряжённым к забывающему функтору из определения 4.
Определение 7. Пусть X -- множество. Определим отображение ω0:X→X* как тривиальное вложение множества X в однобуквенные слова. Обозначим через ω:F[X]→X* гомоморфизм магм, сопряжённый отображению ω0. Определим отображение ψ0:X→
как постоянное отображение в единицу. Обозначим через ψ:F[X]→
гомоморфизм магм, сопряжённый отображению ψ0 (где под
подразумевается магма натуральных чисел по сложению). Если t∈F[X], будем называть число ψ(t) длиной t. Определим также серию отображений φn:X⨉n→F[X], n∈
(1), индуктивно при помощи соотношений φ1=id(X), φn(x1,...,xn)=φn-1(x1,...,xn-1)⊗xn. Обозначим через φ:X*→F[X] универсальный морфизм из копроизведения, построенный при помощи φn. Определим отображение ν:F[X]→F[X] как композицию ν=φ○ω. Определим отображение δ:F[X]→
индуктивно по длине элементов свободной магмы следующим образом: для всех x∈X положим δ(x)=0; для всех t,s∈F[X] положим δ(t⊗s)=δ(t)+δ(s)+ψ(s)-1. Если t∈F[X], будем называть число δ(t) рангом t.
Пример 1. Для иллюстрации определения 7 приведём какие-нибудь "случайные" примеры их использования (X={a,b,c,d,e,f,g}):
ω((a⊗b)⊗(c⊗d))=(a,b,c,d);
ψ(a⊗(((b⊗c)⊗d)⊗e))=5;
φ(a,b,c,d)=((a⊗b)⊗c)⊗d;
ν(a⊗(b⊗((c⊗d)⊗e)))=(((a⊗b)⊗c)⊗d)⊗e;
δ(a⊗(b⊗(c⊗d)))=3.
Теперь, как говорится, "категорифицируем" происходящее. Для начала немного обобщим понятие моноидальной категории, чтобы лучше разглядеть некоторые явления.
Определение 8. Магматическая категория С -- это пара (AC,⊗C), где AC -- категория и ⊗C:AC⨉AC→AC -- функтор. Понятие магматического функтора аналогично понятию гомоморфизма магм. Таким образом, получаем категорию MagCatU U-малых магматических категорий и магматических функторов между ними, а также соответствующие забывающие функторы UndU:MagCatU→CatU и ObjU:MagCatU→MagU. Более того, имеется коммутативная диаграмма:
Как и следовало ожидать, все участвующие в диаграмме функторы являются право-сопряжёнными; cледовательно, данная диаграмма индуцирует диаграмму левых сопряжённых функторов. Левый сопряжённый к нижнему функтору мы только что построили, левый сопряжённый к правому функтору -- это функтор взятия дискретной категории на множестве, левый сопряжённый к левому функтору -- это то, что следовало бы называть "функтором взятия дискретной магматической категории на магме". Отсюда следует, что свободная магматическая категория, порождённая дискретной категорией на множестве X, имеет магму объектов F[X]. Удивительным образом, для рассмотрения вопросов когерентности необходимы именно свободные категории, порождённые дискретными категориями, ведь именно они несут всю информацию о формальных диаграммах.
Замечание 2. Я думал, что термин "магматическая категория" придумал я, до тех пор, пока не наткнулся на блог Bartosz Milewski. Весьма занятный постинг о магматических категориях (он там над ними ещё и обогащает).
Продолжение следует.
Определение 1. Магма M -- это пара (XM,⊗M), где XM -- множество и ⊗M:XM⨉XM→XM -- отображение. Обозначение: ⊗M(m1,m2)=m1⊗Mm2 (∀m1,m2∈XM).
Определение 2. Пусть M и N -- магмы. Гомоморфизм магм f:M→N -- это такое отображение f:XM→XN, что следующая диаграмма является коммутативной:
Предложение 1. Композиция гомоморфизмов магм является гомоморфизмом магм. Тождественное отображение является гомоморфизмом магм.
Доказательство предложения 1. Следует из леммы о расширении диаграммы.
Определение 3. Пусть U -- универсум. Обозначим через MagU категорию всех U-малых магм и гомоморфизмов между ними. Данная категория является U(1)-малой и локально U-малой (соответствующие определения даны в постинге [1]).
Определение 4. Пусть U -- универсум. Определим забывающий функтор категории магм UndU:MagU→SetU следующим образом: UndU(M)=XM, UndU(f)=f.
Определение 5. Пусть X - множество. Обозначим
(1)=
\{0}. Введём обозначение: X*=
(n∈
(1)) X⨉n. Обозначим через □:X*⨉X*→X* отображение конкатенации. Пара (X*,□) является полугруппой (см. определение 7 в постинге [2]), которую мы будем называть полугруппой Клини.
Определение 6. Пусть X -- множество и пусть ((открывающая скобка), )(закрывающая скобка), ,(запятая), ⊗(операция) -- некоторые достаточно хорошие (см. замечание 1) множества. Определим свободную магму F[X], порождённую множеством X, следующим образом. В качестве подстилающего множества F[X] возьмём наименьшее подмножество в ({(,),,,⊗}∪X)*, такое, что X⊂XF[X], и для любых t,s∈XF[X] выполнено (⊗,(,t,,,s,))∈XF[X]. Операция определяется очевидным образом.
Замечание 1. По очевидным соображениям множества (, ), ,, ⊗ необходимо выбирать различными и отличными от всех элементов множества X. Иногда необходимо выбрать их ещё и достаточно малыми. Такой выбор предполагается всегда возможным и в дальнейшем не будет специально оговариваться.
Операция взятия свободной магмы, очевидно, определяет функтор из категории множеств в категорию магм. Более того, этот функтор является левым сопряжённым к забывающему функтору из определения 4.
Определение 7. Пусть X -- множество. Определим отображение ω0:X→X* как тривиальное вложение множества X в однобуквенные слова. Обозначим через ω:F[X]→X* гомоморфизм магм, сопряжённый отображению ω0. Определим отображение ψ0:X→
как постоянное отображение в единицу. Обозначим через ψ:F[X]→
гомоморфизм магм, сопряжённый отображению ψ0 (где под
подразумевается магма натуральных чисел по сложению). Если t∈F[X], будем называть число ψ(t) длиной t. Определим также серию отображений φn:X⨉n→F[X], n∈
(1), индуктивно при помощи соотношений φ1=id(X), φn(x1,...,xn)=φn-1(x1,...,xn-1)⊗xn. Обозначим через φ:X*→F[X] универсальный морфизм из копроизведения, построенный при помощи φn. Определим отображение ν:F[X]→F[X] как композицию ν=φ○ω. Определим отображение δ:F[X]→
индуктивно по длине элементов свободной магмы следующим образом: для всех x∈X положим δ(x)=0; для всех t,s∈F[X] положим δ(t⊗s)=δ(t)+δ(s)+ψ(s)-1. Если t∈F[X], будем называть число δ(t) рангом t.
Пример 1. Для иллюстрации определения 7 приведём какие-нибудь "случайные" примеры их использования (X={a,b,c,d,e,f,g}):
ω((a⊗b)⊗(c⊗d))=(a,b,c,d);
ψ(a⊗(((b⊗c)⊗d)⊗e))=5;
φ(a,b,c,d)=((a⊗b)⊗c)⊗d;
ν(a⊗(b⊗((c⊗d)⊗e)))=(((a⊗b)⊗c)⊗d)⊗e;
δ(a⊗(b⊗(c⊗d)))=3.
Теперь, как говорится, "категорифицируем" происходящее. Для начала немного обобщим понятие моноидальной категории, чтобы лучше разглядеть некоторые явления.
Определение 8. Магматическая категория С -- это пара (AC,⊗C), где AC -- категория и ⊗C:AC⨉AC→AC -- функтор. Понятие магматического функтора аналогично понятию гомоморфизма магм. Таким образом, получаем категорию MagCatU U-малых магматических категорий и магматических функторов между ними, а также соответствующие забывающие функторы UndU:MagCatU→CatU и ObjU:MagCatU→MagU. Более того, имеется коммутативная диаграмма:
Как и следовало ожидать, все участвующие в диаграмме функторы являются право-сопряжёнными; cледовательно, данная диаграмма индуцирует диаграмму левых сопряжённых функторов. Левый сопряжённый к нижнему функтору мы только что построили, левый сопряжённый к правому функтору -- это функтор взятия дискретной категории на множестве, левый сопряжённый к левому функтору -- это то, что следовало бы называть "функтором взятия дискретной магматической категории на магме". Отсюда следует, что свободная магматическая категория, порождённая дискретной категорией на множестве X, имеет магму объектов F[X]. Удивительным образом, для рассмотрения вопросов когерентности необходимы именно свободные категории, порождённые дискретными категориями, ведь именно они несут всю информацию о формальных диаграммах.
Замечание 2. Я думал, что термин "магматическая категория" придумал я, до тех пор, пока не наткнулся на блог Bartosz Milewski. Весьма занятный постинг о магматических категориях (он там над ними ещё и обогащает).
Продолжение следует.