-
Теория категорий для работающего математика
Одна из основных задач математики -- классификация математических объектов. Главная задача любой классификации -- научиться различать "неодинаковые" объекты. Как в этом может помочь теория категорий ( Read more... ) -
Различные структуры на множествах
В математических текстах принято опускать обозначение структуры на множествах. Например, кольцо -- это тройка (R,+,*), где R -- множество, + и * -- отображения RxR-->R с некоторыми свойствами. Обозначают кольцо (R,+,*) просто R. В таком обозначении есть плюсы и минусы. Минус состоит в том, что на одном и том же множестве можно задавать разные ( Read more... ) -
Операция на алгебрах (терминологическое)
Как называется операция, делающая из некоммутативной алгебры коммутативную?
Пусть U -- универсум, R -- U-малое унитальное ассоциативное коммутативное кольцо. Тогда легко видеть, что категория СAlgU(R) U-малых унитальных ассоциативных коммутативных R-алгебр рефлективна в категории AlgU(R) U-малых унитальных ассоциативных R-алгебр. Очевидно, ( Read more... ) -
Оидификация
В советских книгах по алгебре группоидами называли магмы. В современной же терминологии суффикс "-оид" принято приписывать горизонтальным категорификациям сущностей, из-за чего их иногда также называют оидификациями. В частности, моноидоид -- это то же, что категория; группоид -- это категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами; ( Read more... ) -
Консервативный функтор отражает сохраняемые (ко)пределы
Ещё одно полезное утверждение из абстрактной теории категорий, которое я где-то упустил. Искушённый предельщик-копредельщик понимает, что такие вещи достаточно проверять для инициальных объектов. Действительно, если A и B -- категории, T:A→B -- консервативный функтор, сохраняющий инициальные объекты, то если в A существует инициальный объект, то T ( Read more... ) -
Toposes VS Topoi
Poll Так как всё-таки правильно? -
Неограниченная производная категория от точной категории
Пусть A -- аддитивная категория, Z -- множество целых чисел с естественным отношением порядка. Комплекс F в A -- это такой функтор F:Z→A, что F((n+1,n+2))○F((n,n+1))=0 для всех n∈Z. Морфизм комплексов -- естественное преобразование между такими функторами. Категория комплексов Ch(A) -- это полная подкатегория категории AZ, объекты которой -- ( Read more... ) -
(Ко)пределы в произведениях и аксиомы Гротендика для точных категорий
Пусть B -- категория, J -- множество, Aj, j∈J -- семейство категорий, T:B→Πj∈JAj -- функтор. Как вычислить (ко)предел функтора T? Очень легко. Во-первых, имеется формальная аналогия с вычислением (ко)пределов в категориях-степенях (ввиду изоморфизма A×J≅ADJ). Во-вторых, в категории категорий имеется коммутативная диаграмма:
( Диаграмма 1 ) -
О пунктированных, аддитивных, Гротендиковых категориях
Из предыдущего видно, что значительная часть свойств, появляющихся в аддитивных категориях, основана на возможности брать ядра и коядра; следовательно, они имеют аналоги в пунктированных категориях. Возможность складывать и вычитать позволяет использовать линейно-алгебраические приёмы и интуицию (матрицы). Последние аксиомы Гротендика описывают ( Read more... ) -
Многообразие аддитивных категорий
Предаддитивная категория -- это (AbU)⊗-обогащённая категория. Имеется простая модель: тройка (A,○,+), где A -- колчан, ○ -- бинарная операция на последовательных стрелках, + -- бинарная операция на параллельных стрелках (удовлетворяющие соответствующим свойствам). Если в предаддитивной категории имеется нулевой объект (=объект, являющийся ( Read more... )