(Ко)пределы в произведениях и аксиомы Гротендика для точных категорий
Пусть B -- категория, J -- множество, Aj, j∈J -- семейство категорий, T:B→Πj∈JAj -- функтор. Как вычислить (ко)предел функтора T? Очень легко. Во-первых, имеется формальная аналогия с вычислением (ко)пределов в категориях-степенях (ввиду изоморфизма A×J≅ADJ). Во-вторых, в категории категорий имеется коммутативная диаграмма:
индуцирующая изоморфизм категорий запятых:
Этот изоморфизм, очевидно, естественен во многих смыслах, отчего мне хотелось бы называть его "изоморфизмом теорий пределов". Так или иначе, мы приходим к следующему утверждению:
Предложение 1. Имеется естественное взаимно-однозначное соответствие между (ко)пределами функтора T и семействами (ко)пределов функторов Pj○T. Другими словами, так же, как и в категориях функторов, в произведениях категорий (ко)пределы вычисляются "поточечно".
Следствие 1. Если категории Aj являются B-(ко)полными для каждого j∈J, то и категория Πj∈JAj является B-(ко)полной.
Следствие 2. Пусть (Aj,Ej), j∈J, -- U-малое семейство U-малых точных категорий (в смысле Квиллена). Тогда в категории ExCatU существует произведение данного семейства (Πj∈JAj,EΠ), причём морфизм в Πj∈JAj является допустимым мономорфизмом (допустимым эпиморфизмом) относительно EΠ тогда и только тогда, когда все его проекции на Aj являются таковыми. Аналогично, можно возвести точную категорию в степень обычной категории.
Дополнение (аксиомы Гротендика для точных категорий):
EX3U-категория -- это точная категория, подстилающая аддитивная категория которой U-кополна;
EX4U-категория -- это EX3U-категория (A,E), такая, что для любого U-малого множества J функтор ⊔J:(Πj∈JA,EΠ)→(A,E) является точным (то есть сохраняющим конфляции (см. комментарии));
EX5U-категория -- это EX3U-категория (A,E), такая, что для любой U-малой фильтрованной категории B функтор Colim:(AB,EA,B)→(A,E) является точным (то есть сохраняющим конфляции (см. комментарии)).
индуцирующая изоморфизм категорий запятых:
Этот изоморфизм, очевидно, естественен во многих смыслах, отчего мне хотелось бы называть его "изоморфизмом теорий пределов". Так или иначе, мы приходим к следующему утверждению:
Предложение 1. Имеется естественное взаимно-однозначное соответствие между (ко)пределами функтора T и семействами (ко)пределов функторов Pj○T. Другими словами, так же, как и в категориях функторов, в произведениях категорий (ко)пределы вычисляются "поточечно".
Следствие 1. Если категории Aj являются B-(ко)полными для каждого j∈J, то и категория Πj∈JAj является B-(ко)полной.
Следствие 2. Пусть (Aj,Ej), j∈J, -- U-малое семейство U-малых точных категорий (в смысле Квиллена). Тогда в категории ExCatU существует произведение данного семейства (Πj∈JAj,EΠ), причём морфизм в Πj∈JAj является допустимым мономорфизмом (допустимым эпиморфизмом) относительно EΠ тогда и только тогда, когда все его проекции на Aj являются таковыми. Аналогично, можно возвести точную категорию в степень обычной категории.
Дополнение (аксиомы Гротендика для точных категорий):
EX3U-категория -- это точная категория, подстилающая аддитивная категория которой U-кополна;
EX4U-категория -- это EX3U-категория (A,E), такая, что для любого U-малого множества J функтор ⊔J:(Πj∈JA,EΠ)→(A,E) является точным (то есть сохраняющим конфляции (см. комментарии));
EX5U-категория -- это EX3U-категория (A,E), такая, что для любой U-малой фильтрованной категории B функтор Colim:(AB,EA,B)→(A,E) является точным (то есть сохраняющим конфляции (см. комментарии)).