-
Открытая проблема в теории категорий
https://mathoverflow.net/questions/31809/pre-triangulated-category-that-isnt-triangulated
Примечательно, что большинство открытых проблем в теории категорий, формулируемых в виде конкретной задачи (наподобие теоремы Ферма в теории чисел), имеют следующий вид:
Существует ли категория, наделённая структурами A,B,C,... и удовлетворяющая свойствам X, ( Read more... ) -
Автофункторы?
Эндоморфизм в категории категорий -- эндофунктор ( Read more... ) -
Бесконечные тензорные произведения
Вопрос: существует ли концептуальный формализм для работы с бесконечными тензорными произведениями ( Read more... ) -
Так ли уж бесконечны ∞-категории?
Существует ли теория κ-категорий, где κ -- несчётный ординал? -
Когерентность алгебраических операций. Часть 4. Теорема когерентности для моноидальных категорий.
Данный постинг является продолжением постингов [1], [2], [3].
В предыдущем постинге по теме было дано общее определение моноидальных категорий и были доказаны базовые утверждения про них. Возвращаясь к теме когерентности, нам необходимо построить дискретную моноидальную категорию DA с множеством объектов A. Конструкция дискретной моноидальной ( Read more... ) -
Когерентность алгебраических операций. Часть 3. Униторы и моноидальные категории.
В следующих постингах будет рассмотрен вопрос о когерентности в моноидальных категориях. Будет использована техника из предыдущих постингов по теме (см. [1] и [2]), но некоторые детали будут изменены/усовершенствованы.
Определение 1. Пусть C -- магматическая категория. Единица в C -- это объект 1C∈Obj(AC). Пара (C,1C), где С -- магматическая ( Read more... ) -
Когерентность алгебраических операций. Часть 2. Ассоциаторы и полугруппоидальные категории.
Для обсуждения вопросов, связанных с ассоциативностью категорных операций, нам потребуется понятие полугруппоидальной категории.
Определение 1. Пусть C -- магматическая категория. Ассоциатор на C -- это естественный изоморфизм α:⊗C○(⊗C⨉IC)→⊗C○(IC⨉⊗C). Ассоциатор α называется когерентным, если коммутативна следующая диаграмма (тождество ( Read more... ) -
Когерентность алгебраических операций. Часть 1. Свободные магмы и магматические категории.
В данном и последующих постингах мы обсудим явление когерентности в моноидальных категориях. Теория категорий со (слабыми) бинарными операциями естественно приводит к теории магм, поэтому мы начнём с соответствующего исследования категории магм.
Определение 1. Магма M -- это пара (XM,⊗M), где XM -- множество и ⊗M:XM⨉XM→XM -- отображение. ( Read more... ) -
Пример магмы
Пример магмы: множество объектов любой моноидальной категории. -
Тензорные произведения обогащённых категорий и моноидальные обогащённые категории
При перемножении обычных категорий задействуется декартова моноидальная структура категории множеств для образования новых hom-объектов. В обогащённом случае для этой цели необходимо использовать моноидальную структуру категории, используемой для обогащения.
Определение 1. Пусть C -- симметричная моноидальная категория, A и B -- С-обогащённые ( Read more... )