Ответы и приветы

[pech_nik]

    Ответы начнём с шахматной викторины. Всё-таки, на мой взгляд, зная, что речь идёт о чём-то шахматном, что раньше было распространённым явлением, а сейчас - нет, до ответа вполне можно было догадаться. Таль говорил о шахматах по переписке.

Далее задачка, которую я послал в журнал. Решения мне так никто и не рассказал. Никон marchhare8 уже давно

Comments

[magorsky]

По последней задачке: любой n-мерный выпуклый многогранник можно реализовать как пересечение n-мерного (аффинного) подпространства в $\mathbb{R}^m$ с положительным ортантом $\mathbb{R}^m_{\geq 0}$, для некоторого m; это известный факт. Дать ссылку?

[pech_nik]

Круто! Думаю, общий случай доказывается не сильно сложнее, чем про многоугольники, но помнится, когда я над этим думал, у меня-таки с обобщением были какие-то проблемы, так что дай, конечно.
Интересно также, есть ли точная оценка на m в зависимости от каких-то параметров многогранника (числа граней, например).

P.S. А я-то всё думал, как же этот "уголок" называть правильно в произвольной размерности))

[magorsky]

Собственно, m равно числу гиперграней.

[magorsky]

arXiv:1210.2368, Construction 1.2.1.

[pech_nik]

Да, но это не совсем то. Там всё реализуется лишь с точностью до аффинной эквивалентности (которая не сохраняет правильные многоугольники, например). Но, действительно, для выпуклых многоугольников, чуть подправив эту конструкцию, можно добиться и изометрии. А вот, можно ли её добиться для многогранников высших размерностей, мне так и неясно.

[magorsky]

Да, правда, не подумал. Я просто привык интересоваться, в первую очередь, комбинаторикой многогранников, и мне аффинной эквивалентности за глаза хватает.

[deja_vecu]

На самом деле я действительно чего-то такого и ждал. В итоге, правда, решение не очень унылое. Но техники в нем действительно очень много (очень сомневаюсь, что даже олимпиадные школьники способны придумать такое решение).

Про новую задачку: мне приходилось решать [вроде бы] равносильную - про то, что у n-мерного куба есть центральное сечение в виде правильного 2n-угольника (хотелось почти изометрично вложить R^2 в l_{\infty}).

[pech_nik]

У олимпиадных школьников была бы ровно одна проблема, а именно, они, скорее всего, не понимали бы, что в любой плоскости в Q^3, точки с целыми координатами образуют такую же решётку, как и точки с целыми координатами на плоскости. По модулю этого понимания, мне кажется, задача была бы вполне решаемой для школьников. Плюс не факт, что нет других решений.

Я сходу не понимаю, почему равносильную, но очень может быть, да.