Контрамодули и l-адические числа (век живи-2)
Оказывается, есть такое понятие: модуль над кольцом целых l-адических чисел с дополнительной структурой -- для каждой бесконечной последовательности элементов модуля xn определена их сумма с коэффициентами ln. Для бесконечных двухиндексных последовательностей xij должно быть выполнено условие согласования (ассоциативности), которое нетрудно сформулировать. Контрамодули образуют абелеву категорию, как я понимаю. Всякая абелева про-l-группа является контрамодулем. Всякий Z/lmZ-модуль является контрамодулем.
Чем интересны контрамодули?
1. Непрерывные когомологии топологической группы с коэффициентами в топологическом контрамодуле -- например, проконечной группы с коэффициентами в конечно-порожденном Zl-модуле -- являются контрамодулями.
2. На контрамодуле есть "адическая" топология, но она может быть неотделимой.
3. Контрамодули могут содержать бесконечно делимые элементы, но не содержат делимых подгрупп.
Все это немного странно, и, наверно, в науке про l-адические пучки хорошо известно. А может, и не очень хорошо.
Update. См. Uwe Jannsen, "Continuous \'Etale Cohomology". Там объясняется, что когомологии l-адических проективных систем принимают значения в некоторой абелевой подкатегории категории абелевых групп. Эта категория "слабо l-полных" абелевых групп выделяется условием Ext^*(Z[1/l],A)=0 (для Ext^0 получается отсутствие l-делимых подгрупп как раз). Все ее объекты имеют естественную структуру модулей над целыми l-адическими числами.
Связь с "контрамодулями" следует теперь продумать. У Янсена такого понятия, кажется, нет.
Чем интересны контрамодули?
1. Непрерывные когомологии топологической группы с коэффициентами в топологическом контрамодуле -- например, проконечной группы с коэффициентами в конечно-порожденном Zl-модуле -- являются контрамодулями.
2. На контрамодуле есть "адическая" топология, но она может быть неотделимой.
3. Контрамодули могут содержать бесконечно делимые элементы, но не содержат делимых подгрупп.
Все это немного странно, и, наверно, в науке про l-адические пучки хорошо известно. А может, и не очень хорошо.
Update. См. Uwe Jannsen, "Continuous \'Etale Cohomology". Там объясняется, что когомологии l-адических проективных систем принимают значения в некоторой абелевой подкатегории категории абелевых групп. Эта категория "слабо l-полных" абелевых групп выделяется условием Ext^*(Z[1/l],A)=0 (для Ext^0 получается отсутствие l-делимых подгрупп как раз). Все ее объекты имеют естественную структуру модулей над целыми l-адическими числами.
Связь с "контрамодулями" следует теперь продумать. У Янсена такого понятия, кажется, нет.